1、2015-2016 学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1若关于的 x 方程 x2+3x+a=0 有一个根为 1，则 a 的值为( ) A4 B2 C2 D4 2二次函数 y=x2+2x+4 的最大值为( ) A3 B4 C5 D6 3下列图形中，是中心对称图形的为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 3 个球，下列事件为必然事件的是( ) A至少有 1 个球是黑球 B至少有 1 个球是白球 C至少有 2 个球是黑球 D至少有 2 个球是白球 5
2、在 RtABC 中， C=90，若 BC=1，AC=2，则 cosA 的值为( ) A B C D2 6若二次函数 y=x2+bx 的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的方程 x2+bx=5 的解为( ) Ax 1=0，x 2=4 Bx 1=1，x 2=5 Cx 1=1，x 2=5 Dx 1=1，x 2=5 7如图，在ABC 中，DE BC，AD=6 ，DB=3 ，则 的值为( ) A B C D 8如图，O 的半径为 3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连接 OP，若 OP=4，P=30， 则弦 AB 的长为( ) A2 B2 C D2 9如图，点 A，B
3、，C 在 O 上，CO 的延长线交 AB 于点 D， A=50，B=30，则 ADC 的度数为( ) A70 B90 C110 D120 10如图 1，在ABC 中，AB=AC ，BAC=120，点 O 是 BC 的中点，点 D 沿 BAC 方向从 B 运动到 C设点 D 经过的路径长为 x，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是图 1 中的( ) ABD BOD CAD DCD 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11请你写出一个一元二次方程，满足条件：二次项系数是 1；方程有两个相等的实 数根，此方程可以是_ 12
4、抛物线 y=x22x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物 线的解析式为_ 13已知，AB 是 O 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使 AC=3BC，CD 与 O 相切于 D 点， 若 CD= ，则 O 半径的长为_ 14如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形小硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的 高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在 同一直线上，已知 DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米，到旗杆的 水平距离 DC=20 米，则旗杆的高度为_米 15如
5、图，已知 A（2 ，2） ，B （2 ，1） ，将 AOB 绕着点 O 逆时针旋转 90，得到 AOB，则图中阴影部分的面积为_ 16阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图，过圆外一点作圆的切线 已知：O 和点 P 求过点 P 的O 的切线 小涵的主要作法如下： 如图， （1）连结 OP，作线段 OP 的中点 A； （2）以 A 为圆心，OA 长为半径作圆，交O 于点 B，C； （3）作直线 PB 和 PC 所以 PB 和 PC 就是所求的切线 老师说：“小涵的做法正确的 ” 请回答：小涵的作图依据是_ 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27
6、 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 17计算：4cos45+tan60 （ 1） 2 18解方程：x 26x1=0 19如图，ABC 中，D 为 BC 上一点，BAD=C，AB=6，BD=4，求 CD 的长 20已知：抛物线 y=x2+（2m1）x+m 21 经过坐标原点，且当 x0 时，y 随 x 的增大而减 小 （1）求抛物线的解析式； （2）结合图象写出 y0 时，对应的 x 的取值范围； （3）设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于 另一点 D，再作 ABx 轴于点 B，DCx 轴于点 C当 BC=1 时，直接写
7、出矩形 ABCD 的 周长 21列方程或方程组解应用题： 某公司在 2013 年的盈利额为 200 万元，预计 2015 年的盈利额达到 242 万元，若每年比上 一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？ 22如图，在方格网中已知格点ABC 和点 O （1）画ABC和ABC 关于点 O 成中心对称； （2）请在方格网中标出所有使以点 A、O 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的 D 点 23石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏，游戏时的各方 每次用一只手做“石头” 、 “剪刀”、 “布”三种手势中的一种，规定“ 石头”胜“ 剪刀”、
8、“剪刀” 胜“布” 、 “布”胜“石头”两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游 戏结束，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续，若出现两人 手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则，例如 甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次都是随机地 做这三种手势，那么： （1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率； （2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率 24如图，ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D，与
9、 CA 的延长线 相交于点 E，过点 D 作 DFAC 于点 F （1）求证：DF 是 O 的切线； （2）若 sinC= ，半径 OA=3，求 AE 的长 25如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆 PQ 的高度，他们采取的方法是： 先在地面上的点 A 处测得杆顶端点 P 的仰角是 45，再向前走到 B 点，测得杆顶端点 P 和 杆底端点 Q 的仰角分别是 60和 30，这时只需要测出 AB 的长度就能通过计算求出电线杆 PQ 的高度，你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路， 不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路 26请阅读下面材
10、料，并回答所提出的问题 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分队边所得的两条线段和这个角的两边对应 成比例 已知： = 证明：过 C 作 CEDA，交 BA 的延长线于 E 1=E， 2=3 AD 是角平分线， 1=2 3=E 又 ADCE， = = （1）上述证明过程中，步骤处的理由是什么？（写出两条即可） （2）用三角形内角平分线定理解答，已知，ABC 中，AD 是角平分线， AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求 BD 的长； （3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比请你通过研究 ABBD 和ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理 27在平面直角坐
11、标系 xOy 中，抛物线 y=mx28mx+16m1（m 0）与 x 轴的交点分别为 A（x 1，0） ，B（x 2，0） （1）求证：抛物线总与 x 轴有两个不同的交点； （2）若 AB=2，求此抛物线的解析式 （3）已知 x 轴上两点 C（2， 0） ，D（5，0） ，若抛物线 y=mx28mx+16m1（m0）与线段 CD 有交点，请写出 m 的取值范围 28已知，在等边ABC 中，AB=2 ，D ，E 分别是 AB，BC 的中点（如图 1） 若将 BDE 绕点 B 逆时针旋转，得到 BD1E1，设旋转角为 （ 0180 ） ，记射线 CE1 与 AD1 的交点为 P （1）判断BDE
12、的形状； （2）在图 2 中补全图形， 猜想在旋转过程中，线段 CE1 与 AD1 的数量关系并证明； 求 APC 的度数； （3）点 P 到 BC 所在直线的距离的最大值为_ （直接填写结果） 29已知两个函数，如果对于任意的自变量 x，这两个函数对应的函数值记为 y1，y 2，都 有点（x，y 1） 、 （x，y 2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于 y=x 的对称函数， 例如，y 1= x 和 y2= x 为关于 y=x 的对称函数 （1）判断：y 1=3x 和 y2=x；y 1=x+1 和 y2=x1；y 1=x2+1 和 y2=x21，其中为关于 y=x 的对称函数的是_（
13、填序号） （2）若 y1=3x+2 和 y2=kx+b（k 0）为关于 y=x 的对称函数 求 k、b 的值 对于任意的实数 x，满足 xm 时，y 1y 2 恒成立，则 m 满足的条件为_ （3）若 y1=ax2+bx+c（a 0）和 y2=x2+n 为关于 y=x 的对称函数，且对于任意的实数 x，都 有 y1y 2，请结合函数的图象，求 n 的取值范围 2015-2016 学年北京市东城区九年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1若关于的 x 方程 x2+3x+a=0 有一个根为 1，则 a 的值为( ) A4 B2 C2 D4 【考点】一元二次方程的
14、解 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 x=1 代入方程得到关于 a 的一次方程，然后解 此一次方程即可 【解答】解：把 x=1 代入方程 x2+3x+a=0 得 13+a=0， 解得 a=2 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是 一元二次方程的解 2二次函数 y=x2+2x+4 的最大值为( ) A3 B4 C5 D6 【考点】二次函数的最值 【专题】计算题 【分析】先利用配方法得到 y=（x1） 2+5，然后根据二次函数的最值问题求解 【解答】解：y= （x1） 2+5， a=10， 当 x=1 时，y 有最大值，最大值为 5 故选：
15、C 【点评】本题考查了二次函数的最值：当 a0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 减少；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当 x= 时，y= ；当 a0 时，抛物线在对称轴左侧， y 随 x 的增大而增大；在对称 轴右侧，y 随 x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当 x= 时，y= ；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时， 其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点 处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值 3下列图形中，是中心对称图形的为( ) A1
16、个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：第 1 个、3 个图形是中心对称图形，共 2 个 故选 B 【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度 后与原图重合 4一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 3 个球，下列事件为必然事件的是( ) A至少有 1 个球是黑球 B至少有 1 个球是白球 C至少有 2 个球是黑球 D至少有 2 个球是白球 【考点】随机事件 【分析】由于只有 2 个白球，则从中任意摸出 3 个球中至少有 1 个球是黑球，于是根据
17、必 然事件的定义可判断 A 选项正确 【解答】解：一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从 中任意摸出 3 个球，至少有 1 个球是黑球是必然事件；至少有 1 个球是白球、至少有 2 个 球是黑球和至少有 2 个球是白球都是随机事件 故选 A 【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机 事件事件分为确定事件和不确定事件（随机事件） ，确定事件又分为必然事件和不可能事 件， 5在 RtABC 中， C=90，若 BC=1，AC=2，则 cosA 的值为( ) A B C D2 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据题意画出图形
18、，进而利用勾股定理求出斜边长，再利用锐角三角函数关系得 出答案 【解答】解：如图所示：C=90，BC=1 ，AC=2， AB= ， cosA= = 故选：B 【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是 解题关键 6若二次函数 y=x2+bx 的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的方程 x2+bx=5 的解为( ) Ax 1=0，x 2=4 Bx 1=1，x 2=5 Cx 1=1，x 2=5 Dx 1=1，x 2=5 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】根据对称轴方程 =2，得 b=4，解 x24x=5 即可 【解答】解：对
19、称轴是经过点（2，0）且平行于 y 轴的直线， =2， 解得：b= 4， 解方程 x24x=5， 解得 x1=1，x 2=5， 故选：D 【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大 7如图，在ABC 中，DE BC，AD=6 ，DB=3 ，则 的值为( ) A B C D 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】条件可以求出 AD：AB=2；3，再由条件可以得出ADE ABC，最后由相似三 角形的性质就可以得出结论 【解答】解：AD=6 ，DB=3， AB=9， DEBC， ADEABC， =（ ） 2=（ ） 2= 故选 D 【点评】本题考查了相似三角形的判
20、定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的 平方是解题的关键 8如图，O 的半径为 3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连接 OP，若 OP=4，P=30， 则弦 AB 的长为( ) A2 B2 C D2 【考点】垂径定理；含 30 度角的直角三角形；勾股定理 【分析】连接 OA，作 OCAB 于 C，根据垂直定理得到 AC=BC，根据直角三角形的性质 得到 OC=2，根据勾股定理求出 AC 的长即可得到答案 【解答】解：连接 OA，作 OCAB 于 C， 则 AC=BC， OP=4，P=30 ， OC=2， AC= = ， AB=2AC=2 ， 故选：A 【点评】本题考查的是垂直定理
21、和直角三角形的性质，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关 键 9如图，点 A，B，C 在 O 上，CO 的延长线交 AB 于点 D， A=50，B=30，则 ADC 的度数为( ) A70 B90 C110 D120 【考点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理求得BOC=100，进而根据三角形的外角的性质求得 BDC=70， 然后根据邻补角求得ADC 的度数 【解答】解：A=50， BOC=2A=100， B=30， BOC=B+BDC， BDC=BOCB=10030=70， ADC=180BDC=110， 故选 C
22、【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 10如图 1，在ABC 中，AB=AC ，BAC=120，点 O 是 BC 的中点，点 D 沿 BAC 方向从 B 运动到 C设点 D 经过的路径长为 x，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是图 1 中的( ) ABD BOD CAD DCD 【考点】动点问题的函数图象 【分析】根据图象，结合等腰三角形的性质，分点当点 D 在 AB 上，当点 D 在 AC 上以及 勾股定理分析得出答案即可 【解答】解
23、：当点 D 在 AB 上，则线段 BD 表示为 y=x，线段 AD 表示为 y=ABx 为一次函 数，不符合图象； 同理当点 D 在 AC 上，也为为一次函数，不符合图象； 如图， 作 OEAB， 点 O 是 BC 中点，设 AB=AC=a，BAC=120 AO= ，BO= a，OE= a，BE= a， 设 BD=x，OD=y，AB=AC=a， DE= ax， 在 RtODE 中， DE2+OE2=OD2， y2=（ ax） 2+（ a） 2 整理得：y 2=x2 ax+ a2， 当 0xa 时，y 2=x2 ax+ a2，函数的图象呈抛物线并开口向上， 由此得出这条线段可能是图 1 中的 O
24、D 故选：B 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据图形运用数形结合列出函数表达式是解决 问题的关键 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11请你写出一个一元二次方程，满足条件：二次项系数是 1；方程有两个相等的实 数根，此方程可以是 x2+2x+1=0 【考点】根的判别式 【专题】开放型 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于 0答案不唯一 【解答】解：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）有两个相等的实数根， b24ac=0， 符合条件的一元二次方程可以为 x2+2x+1=0（答案不唯一） 故答案是：x 2+2x+1=0 【点评】此题考查了根的判别式一元二
25、次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 的关 系为： 当0 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当=0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当0 时，方程无实数根 上面的结论反过来也成立 12抛物线 y=x22x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物 线的解析式为 y=x28x+20 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新 抛物线的解析式 【解答】解：y=x 22x+3=（x 1） 2+2，其顶点坐标为（1，2） 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后的顶点
26、坐标为（4，4） ，得到的抛物线 的解析式是 y=（x 4） 2+4=x28x+20， 故答案为：y=x 28x+20 【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减， 上加下减 13已知，AB 是 O 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使 AC=3BC，CD 与 O 相切于 D 点， 若 CD= ，则 O 半径的长为 1 【考点】切线的性质 【分析】如图，连接 DO，首先根据切线的性质可以得到 ODC=90，又 AC=3BC，O 为 AB 的中点，由此可以得到C=30，利用锐角三角函数的定义可得 OD= CD，可得结 果 【解答】解：如图，连接 DO， CD
27、是O 切线， ODCD， ODC=90， AB 是O 的一条直径，AC=3BC ， AB=2BC=OC=2OD， C=30， OD= CD， CD= ， OD=BC=1 故答案为：1 【点评】本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识，常通过作辅助线连接圆心和切 点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题是解答本题的关键 14如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形小硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的 高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在 同一直线上，已知 DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米
28、，到旗杆的 水平距离 DC=20 米，则旗杆的高度为 11.5 米 【考点】相似三角形的应用 【分析】根据题意证出DEF DCA，进而利用相似三角形的性质得出 AC 的长，即可得 出答案 【解答】解：由题意得：DEF=DCA=90，EDF= CDA， DEFDCA， 则 ，即 ， 解得：AC=10， 故 AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m ） ， 即旗杆的高度为 11.5m； 故答案为：11.5 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关 键 15如图，已知 A（2 ，2） ，B （2 ，1） ，将 AOB 绕着点 O 逆时针旋转 90，得到 AOB
29、，则图中阴影部分的面积为 【考点】扇形面积的计算；坐标与图形变化-旋转 【分析】根据旋转的性质可知阴影部分的面积=S 扇形 AOAS 扇形 BOB，根据扇形的面积公式 S= 计算即可 【解答】解：点 A 的坐标为（ 2 ，2） ， OA=4， 点 B 的坐标为（2 ，1） ， OB= ， 由旋转的性质可知，S AOB=SAOB， 阴影部分的面积=S 扇形 AOAS 扇形 BOB = = ， 故答案为： 【点评】本题考查的是扇形的面积计算和旋转的性质，掌握扇形的面积公式 S= 、 正确根据旋转的性质表示出阴影部分的面积是解题的关键 16阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图，过圆
30、外一点作圆的切线 已知：O 和点 P 求过点 P 的O 的切线 小涵的主要作法如下： 如图， （1）连结 OP，作线段 OP 的中点 A； （2）以 A 为圆心，OA 长为半径作圆，交O 于点 B，C； （3）作直线 PB 和 PC 所以 PB 和 PC 就是所求的切线 老师说：“小涵的做法正确的 ” 请回答：小涵的作图依据是直径所对的圆周角是直角 【考点】切线的判定；作图复杂作图 【分析】根据圆周角定理得出PBO= PCO=90，即 OBPB，OCPC，即可证得 PB、PC 是 O 的切线 【解答】解：OP 是A 的直径， PBO=PCO=90， OBPB，OCPC， OB、OC 是O 的半
31、径， PB、PC 是O 的切线； 则小涵的作图依据是：直径所对的圆周角是直角 故答案为：直径所对的圆周角是直角 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般 是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性 质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了切线的判 定 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 17计算：4cos45+tan60 （ 1） 2 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】分别进行特殊角的
32、三角函数值、二次根式的化简、乘方等运算，然后合并 【解答】解：原式=2 + 2 1 = 1 【点评】本题考查了实数的运算，涉及了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、乘方等 知识，属于基础题 18解方程：x 26x1=0 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上 9，左边化为完全平方式，右边合并， 开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解 【解答】解：x 26x1=0， 移项得：x 26x=1， 配方得：x 26x+9=10，即（x 3） 2=10， 开方得：x3= ， 则 x1=3+ ，x 2=3 【点评】此题考查了解一元二次方程配方
33、法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化 为 1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方 式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解 19如图，ABC 中，D 为 BC 上一点，BAD=C，AB=6，BD=4，求 CD 的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】易证BAD BCA，然后运用相似三角形的性质可求出 BC，从而可得到 CD 的 值 【解答】解：BAD= C，B= B， BADBCA， = AB=6，BD=4， = ， BC=9， CD=BCBD=94=5 【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本 题的
34、关键 20已知：抛物线 y=x2+（2m1）x+m 21 经过坐标原点，且当 x0 时，y 随 x 的增大而减 小 （1）求抛物线的解析式； （2）结合图象写出 y0 时，对应的 x 的取值范围； （3）设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于 另一点 D，再作 ABx 轴于点 B，DCx 轴于点 C当 BC=1 时，直接写出矩形 ABCD 的 周长 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）根据图象过原点，可得关于 m 的方程，根据解方程，可得答案； （2）根据函数与不等式的关系：图象位于 x 轴下方部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据平行
35、于 x 轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得 A、D 点关于对称轴对 称，根据 ABx 轴于点 B，DC x 轴于点 C，可得 B 点坐标，根据自变量与函数值的对应 关系，可得 A 点坐标，根据矩形的周长公式，可得答案 【解答】解：（1）由 y=x2+（2m 1）x+m 21 经过坐标原点，得 m21=0，解得 m=1 或 m=1 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， 得 m=1 抛物线的解析式 y=x23x； （2）由图象 1 ，得 位于 x 轴下方的部分， y0 时，对应的 x 的取值范围 0x3； （3）如图 2 ， 由 ADx 轴，得 A、D 关于对称轴 x=1.5 对称，
36、B、C 关于对称轴 x=1.5 对称，且 BC=1，得 1.50.5=1，即 B（1，0） 当 x=1 时，y=13= 2， 即 A（1，2） 矩形 ABCD 的周长为 2（AB+BC）=2（2+1）=6 【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式 的关系：图象位于 x 轴下方部分是不等式的解集；利用平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 关于对称轴对称得出 A、D 关于对称轴对称是解题关键 21列方程或方程组解应用题： 某公司在 2013 年的盈利额为 200 万元，预计 2015 年的盈利额达到 242 万元，若每年比上 一年盈利额增长的百分率相同，求该公司
37、这两年盈利额的年平均增长率是多少？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】设该公司这两年盈利额的年平均增长率是 x，根据题意可得，2013 年的盈利额 （1+ 增长率） 2=2015 年的盈利额，据此列方程求解 【解答】解：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是 x， 由题意得，200 （1+x） 2=242， 解得：x=0.1 答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是 0.1 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找 出合适的等量关系，列方程求解 22如图，在方格网中已知格点ABC 和点 O （1）画ABC和ABC 关于点 O 成中心对称；
38、 （2）请在方格网中标出所有使以点 A、O 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的 D 点 【考点】作图-旋转变换；平行四边形的判定 【专题】作图题 【分析】 （1）根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形， （2）根据平行四边形的判定，画出使以点 A、O 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的 点即可 【解答】解：（1）画ABC和 ABC 关于点 O 成中心对称的图形如下： （2）根据题意画图如下： 【点评】此题考查了作图旋转变换，用到的知识点是旋转、中心对称、平行四边形的判定， 关键是掌握中心对称的作法，作平行四边形时注意画出所有符合要求的图形 23石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一
39、种起源于中国流传多年的猜拳游戏，游戏时的各方 每次用一只手做“石头” 、 “剪刀”、 “布”三种手势中的一种，规定“ 石头”胜“ 剪刀”、 “剪刀” 胜“布” 、 “布”胜“石头”两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游 戏结束，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续，若出现两人 手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则，例如 甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次都是随机地 做这三种手势，那么： （1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率； （2）请你画出树状图求出
40、一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率 【考点】列表法与树状图法 【专题】计算题 【分析】 （1）甲、乙两人出第一次手势时，共有 9 种等可能的结果数，其中出现相同手势 的结果数为 3，于是根据概率公式可计算出不分胜负的概率； （2）画树状图展示所有 27 种等可能的结果数，再找出三种手势都相同或都不相同的结果 数，然后根据概率公式求解 【解答】解：（1）一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率= ； （2）画树状图为： 共有 27 种等可能的结果数，其中三种手势都相同或都不相同的结果数为 9， 所以甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率= = 【点评】本题考查
41、了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求 出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的 概率 24如图，ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线 相交于点 E，过点 D 作 DFAC 于点 F （1）求证：DF 是 O 的切线； （2）若 sinC= ，半径 OA=3，求 AE 的长 【考点】切线的判定 【分析】 （1）连接 OD，根据等边对等角得出B=ODB，B=C，得出ODB= C，证得 ODAC，证得 ODDF，从而证得 DF 是O 的切线； （2）连接 BE，AD
42、，AB 是直径，AEB=ADB=90，根据等腰三角形的性质得出 ABC=C，BD=DC，通过解直角三角形求得 AD，根据勾股定理得出 BD，进而求得 BC，解直角三角形 BCE 求得 BE，然后根据勾股定理即可求得 AE 【解答】 （1）证明：连接 OD， OB=OD， B=ODB， AB=AC， B=C， ODB=C， ODAC， DFAC， ODDF， DF 是 O 的切线； （2）解：连接 BE，AD， AB 是直径， AEB=ADB=90， AB=AC， ABC=C， BD=DC， sinC= ， sinABC= = ， AB=2OA=6， AD=2 ， BD= =2 ， BC=2BD
43、=4 ， 在 RTBEC 中， sinC= ， BE= BC= 4 =4 ， 在 RTABE 中，AE= = =2 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的 应用以及直角三角函数等，是一道综合题，难度中等 25如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆 PQ 的高度，他们采取的方法是： 先在地面上的点 A 处测得杆顶端点 P 的仰角是 45，再向前走到 B 点，测得杆顶端点 P 和 杆底端点 Q 的仰角分别是 60和 30，这时只需要测出 AB 的长度就能通过计算求出电线杆 PQ 的高度，你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思
44、路， 不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】延长 PQ 交直线 AB 于点 E，设测出 AB 的长度为 m 米，在直角 APE 和直角 BPE 中，根据三角函数利用 PE 表示出 AE 和 BE，根据 AB=AEBE 即可列出方程求得 PE 的值，再在直角BQE 中利用三角函数求得 QE 的长，则 PQ 的长度即可求解 【解答】解：同意他们的测量方案； 延长 PQ 交直线 AB 于点 E， 设测出 AB 的长度为 m 米 在直角APE 中，A=45， 则 AE=PE； PBE=60 BPE=30 在直角BPE 中， B
45、E= PE， AB=AEBE=m， 则 PE PE=m， 解得：PE= m 则 BE= mm= m 在直角BEQ 中，QE= BE= （ m）= m PQ=PEQE= m m= m 【点评】本题考查解直角三角形的应用，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出 这条公共边的长是解答此类题的一般思路 26请阅读下面材料，并回答所提出的问题 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分队边所得的两条线段和这个角的两边对应 成比例 已知： = 证明：过 C 作 CEDA，交 BA 的延长线于 E 1=E， 2=3 AD 是角平分线， 1=2 3=E 又 ADCE， = = （1）上述证明过程中，步骤处
46、的理由是什么？（写出两条即可） （2）用三角形内角平分线定理解答，已知，ABC 中，AD 是角平分线， AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求 BD 的长； （3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比请你通过研究 ABBD 和ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）由比例式 = ，想到作平行线，用到了平行线的性质定理；只要证明 AE=AC 即可，用到了等腰三角形的判定定理；由 CEAD，写出比例式 = ，用到了平 行线分线段成比例定理（推论） ； （2）利用三角形内角平分线性质定理，列出比例式，代入数据计算出结果 （3）根据三角形的面积公式进行证明即可 【解答】解：（1）证明过程中用到的定理有： 平行线的性质定理； 等腰三角形的判定定理； 平行线分线段成比例定理； （2）AD 是角平分线， ， 又 AB=7cm， AC=4cm，BC=6cm， ，
