1、第 1 页（共 30 页） 2016-2017 学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期末数学模拟 试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1方程 3x28x10=0 的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A3 和 8 B3 和8 C3 和 10 D3 和 10 2不透明袋子中有 2 个红球、3 个绿球，这些球除颜色外其它无差别从袋子 中随机取出 1 个球，则（ ） A能够事先确定取出球的颜色 B取到红球的可能性更大 C取到红球和取到绿球的可能性一样大 D取到绿球的可能性更大 3抛物线 y= x2 向左平移 1 个单位长度得到抛物线的解析式为（ ） Ay= x（x+1 ）
2、 2 By= x（x1） 2 Cy= x2+1 Dy= x21 4用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为 0.9，下列说法正确的是（ ） A种植 10 棵幼树，结果一定是“ 有 9 棵幼树成活 ” B种植 100 棵幼树，结果一定是 “90 棵幼树成活”和“10 棵幼树不成活” C种植 10n 棵幼树，恰好有“n 棵幼树不成活” D种植 n 棵幼树，当 n 越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于 0.9 5如图，在O 中，相等的弦 AB、AC 互相垂直，OEAC 于 E，ODAB 于 D，则四边形 OEAD 为（ ） 第 2 页（共 30 页） A正方形 B菱形
3、C矩形 D平行四边形 6已知点 A（a，1）与点 B（5，b）关于原点对称，则 a、b 值分别是（ ） Aa=1，b=5 Ba=5，b=1 Ca=5，b=1 Da=5，b= 1 7RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4 ，以点 C 为圆心，r 为半径作C ，则正 确的是（ ） A当 r=2 时，直线 AB 与C 相交 B当 r=3 时，直线 AB 与C 相离 C当 r=2.4 时，直线 AB 与C 相切 D当 r=4 时，直线 AB 与C 相切 8用配方法解方程 x2+6x4=0，下列变形正确的是（ ） A （x +3） 2=5 B （x+3） 2=13 C （x3） 2=13 D （x
4、+3） 2=5 9如图所示的抛物线是二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象，则下列结论： abc0；b+2a=0；抛物线与 x 轴的另一个交点为（4，0） ；a+cb，其 中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10如图，线段 EF 的长为 4，O 是 EF 的中点，以 OF 为边长做正方形 OABC， 连接 AE、CF 交于点 P，将正方形 OABC 从 OA 与 OF 重合的位置开始，绕着点 O 逆时针旋转 90止，则点 P 运动的路径长为（ ） A B C2 D2 第 3 页（共 30 页） 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 1
5、1同时抛掷三枚质地均匀的硬币，三枚硬币全部正面向上的概率是 12已知函数 y=2（x+1） 2+2，当 x 时，y 随 x 的增大而减小 13某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支 干和小分支的总数是 91设每个支干长出 x 个小分支，则可得方程为 14如图，圆锥形的烟囱冒的底面直径是 80cm，母线长是 50cm，制作一个这 样的烟囱冒至少需要 cm 2 的铁皮 15如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 8m，宽是 2m， 抛物线的最高点到路面的距离为 6 米，该抛物线的函数表达式为 16若直线 y=2x+t3 与函数 y= 的图象有且只有两个公共点时
6、， 则 t 的取值范围是 三、解答题（共 8 题，共 72 分） 17已知关于 x 的方程 x2+2xm=0 （1）若 x=2 是方程的根，求 m 的值； （2）若方程总有两个实数根，求 m 的取值范围 18不透明的袋子中装有 4 个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们 分别标号：1、2、3、4 （1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图 第 4 页（共 30 页） 的方法求出“ 两次取的球标号相同” 的概率 （2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和等于 4”的概率 19如图，BE 是O 的直径，半径 OA弦 BC，点 D 为垂足，连 AE，EC
7、（1）若AEC=28 ，求 AOB 的度数； （2）若BEA=B，BC=6，求O 的半径 20如图，点 P 是等边ABC 外一点，PA=3，PB=4，PC=5 （1）将APC 绕点 A 逆时针旋转 60得到P 1AC1，画出旋转后的图形； （2）在（1）的图形中，求APB 的度数 21如图 1，AB 是O 的直径，AC 是弦，点 P 是 的中点，PEAC 交 AC 的延 长线于 E （1）求证：PE 是O 的切线； （2）如图 2，作 PHAB 于 H，交 BC 于 N，若 NH=3，BH=4，求 PE 的长 22某网店销售某款童装，每件售价 60 元，每星期可卖 300 件，为了促销，该 网
8、店决定降价销售市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 30 件已知该 款童装每件成本价 40 元，设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； 第 5 页（共 30 页） （2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ （3）若该网店每星期想要获得不低于 6480 元的利润，每星期至少要销售该款 童装多少件？ 23已知正方形 ABCD 和正方形 CGEF，且 D 点在 CF 边上，M 为 AE 中点，连接 MD、MF （1）如图 1，请直接给出线段 MD、MF 的数量及位置关系是 ； （2）如图 2，把正方形 CGEF
9、 绕点 C 顺时针旋转，则（1）中的结论是否成立？ 若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明； （3）若将正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转 30时，CF 边恰好平分线段 AE，请直 接写出 的值 24若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线 C1：y 1=2x2+4x+2 与 C2：y 2=x2+mx+n 为“友好抛物线” （1）求抛物线 C2 的解析式 （2）点 A 是抛物线 C2 上在第一象限的动点，过 A 作 AQx 轴，Q 为垂足，求 AQ+OQ 的最大值 （3）设抛物线 C2 的顶点为 C，点 B 的坐标为（1，4） ，问在 C2 的对称轴上是 否存在点
10、M，使线段 MB 绕点 M 逆时针旋转 90得到线段 MB，且点 B恰好落 在抛物线 C2 上？若存在求出点 M 的坐标，不存在说明理由 第 6 页（共 30 页） 第 7 页（共 30 页） 2016-2017 学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期末 数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1方程 3x28x10=0 的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A3 和 8 B3 和8 C3 和 10 D3 和 10 【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b ，c 是常数且 a0）的 a、b、c 分别
11、是二次项系数、一次项系数、常数项 【解答】解：3x 28x10=0 的二次项系数和一次项系数分别为 3，8， 故选：B 2不透明袋子中有 2 个红球、3 个绿球，这些球除颜色外其它无差别从袋子 中随机取出 1 个球，则（ ） A能够事先确定取出球的颜色 B取到红球的可能性更大 C取到红球和取到绿球的可能性一样大 D取到绿球的可能性更大 【考点】可能性的大小 【分析】根据不同颜色的球的数量确定摸到哪种球的可能性的大小后即可确定 正确的选项 【解答】解：不透明袋子中有 2 个红球、3 个绿球，这些球除颜色外其它无 差别， 绿球数量大于红球数量，其摸球具有随机性， 摸到绿球的可能性大于摸到红球的可能
12、性， 故选 D 第 8 页（共 30 页） 3抛物线 y= x2 向左平移 1 个单位长度得到抛物线的解析式为（ ） Ay= x（x+1 ） 2 By= x（x1） 2 Cy= x2+1 Dy= x21 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】直接根据“ 左加右减” 的法则进行解答即可 【解答】解：抛物线 y= x2 向左平移 1 个单位长度得到抛物线的解析式为： y= （x+1） 2 故选 A 4用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为 0.9，下列说法正确的是（ ） A种植 10 棵幼树，结果一定是“ 有 9 棵幼树成活 ” B种植 100 棵幼树，结果一定是 “90
13、 棵幼树成活”和“10 棵幼树不成活” C种植 10n 棵幼树，恰好有“n 棵幼树不成活” D种植 n 棵幼树，当 n 越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于 0.9 【考点】利用频率估计概率 【分析】根据用频率估计概率的意义即可确定正确的选项 【解答】解：用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的 概率为 0.9，是在大量重复实验中得到的概率的近似值， 故 A、B、C 错误，D 正确， 故选 D 5如图，在O 中，相等的弦 AB、AC 互相垂直，OEAC 于 E，ODAB 于 D，则四边形 OEAD 为（ ） 第 9 页（共 30 页） A正方形 B菱形 C矩形 D平行四
14、边形 【考点】垂径定理 【分析】先根据垂径定理，由 ODAB，OEAC 得到 AD= AB，AE= AC，且 ADO=AEO=90，加上DAE=90 ，则可判断四边形 ADOE 是矩形，由于 AB=AC，所以 AD=AE，于是可判断四边形 ADOE 是正方形 【解答】证明：ODAB 于 D，OEAC 于 E， AD= AB，AE= AC， ADO=AEO=90， ABAC， DAE=90 ， 四边形 ADOE 是矩形， AB=AC， AD=AE， 四边形 ADOE 是正方形； 故选 A 6已知点 A（a，1）与点 B（5，b）关于原点对称，则 a、b 值分别是（ ） Aa=1，b=5 Ba=5
15、，b=1 Ca=5，b=1 Da=5，b= 1 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数 【解答】解：由题意，得 a=5，b= 1， 第 10 页（共 30 页） 故选：D 7RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4 ，以点 C 为圆心，r 为半径作C ，则正 确的是（ ） A当 r=2 时，直线 AB 与C 相交 B当 r=3 时，直线 AB 与C 相离 C当 r=2.4 时，直线 AB 与C 相切 D当 r=4 时，直线 AB 与C 相切 【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理 【分析】过 C 作 CDAB 于 D，根据勾股定理求出 AB，根据
16、三角形面积公式求 出 CD，和C 的半径比较即可 【解答】 解：过 C 作 CDAB 于 D， 在 RtACB 中，由勾股定理得： AB= =5， 由三角形面积公式得： 34= 5CD， CD=2.4， 即 C 到 AB 的距离等于C 的半径长， C 和 AB 的位置关系是相切， 故选 C 8用配方法解方程 x2+6x4=0，下列变形正确的是（ ） A （x +3） 2=5 B （x+3） 2=13 C （x3） 2=13 D （x+3） 2=5 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半可得 【解答】解：x 2+6x=4， x 2+6x+9=4
17、+9，即（x+3 ） 2=13， 故选：B 第 11 页（共 30 页） 9如图所示的抛物线是二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象，则下列结论： abc0；b+2a=0；抛物线与 x 轴的另一个交点为（4，0） ；a+cb，其 中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系 【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，利用抛物线的对称轴方程得到 b=2a0，则可对进行判断；利用抛物线与 y 轴的交点位置得到 c0，则可 对进行判断；利用抛物线的对称性得到可对进行判断；利用 x=1 时，y0 可对进行判断 【解答】解：抛物
18、线开口向上， a 0 ， 抛物线的对称轴为直线 x= =1， b=2a0，所以正确； 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0， abc0，所以正确； 点（2，0）关于直线 x=1 的对称点的坐标为（4，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ 4，0 ） ，所以正确； x=1 时，y 0， 即 ab+c0， 第 12 页（共 30 页） a +cb，所以错误 故选 C 10如图，线段 EF 的长为 4，O 是 EF 的中点，以 OF 为边长做正方形 OABC， 连接 AE、CF 交于点 P，将正方形 OABC 从 OA 与 OF 重合的位置开始，绕着点 O 逆时针旋转 90止，则点
19、 P 运动的路径长为（ ） A B C2 D2 【考点】轨迹；正方形的性质；旋转的性质 【分析】如图，连接 AC首先证明 EPF=135，推出点 P 在与 K 为圆心的圆上， 点 P 的运动轨迹是 ，在K 上取一点 M，连接 ME、MF 、EK、FK ，则 M=180 EPF=45，推出 EKF=2M=90 ，因为 EF=4，所以 KE=KF=2 ，根 据弧长公式计算即可解决问题 【解答】解：如图，连接 AC AOCB 是正方形， AOC=90， 第 13 页（共 30 页） AFC= AOC=45 ， EF 是直径， EAF=90 ， APF=AFP=45， EPF=135， 点 P 在与
20、K 为圆心的圆上，点 P 的运动轨迹是 ， 在K 上取一点 M，连接 ME、MF、EK、FK，则M=180 EPF=45 ， EKF=2M=90 ， EF=4， KE=KF=2 ， P 运动的路径长= = ， 故选 B 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11同时抛掷三枚质地均匀的硬币，三枚硬币全部正面向上的概率是 【考点】列表法与树状图法 【分析】画树状图展示所有 8 种等可能的结果数，再找出三枚硬币全部正面向 上的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 8 种等可能的结果数，其中三枚硬币全部正面向上的结果数为 1， 所以三枚硬币全部正面向
21、上的概率= 第 14 页（共 30 页） 故答案为 12已知函数 y=2（x+1） 2+2，当 x 1 时，y 随 x 的增大而减小 【考点】二次函数的性质 【分析】由函数解析式可确定出其开口方向及对称轴，再利用函数的增减性可 求得答案 【解答】解： y= 2（x +1） 2+2， 抛物线开口向下，且对称轴为 x=1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小， 故答案为：1 13某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支 干和小分支的总数是 91设每个支干长出 x 个小分支，则可得方程为 x2+x+1=91 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】由题意设每个支干长
22、出 x 个小分支，每个小分支又长出 x 个分支，则 又长出 x2 个分支，则共有 x2+x+1 个分支，即可列方程 【解答】解：设每个支干长出 x 个小分支， 根据题意列方程得：x 2+x+1=91 故答案为 x2+x+1=91 14如图，圆锥形的烟囱冒的底面直径是 80cm，母线长是 50cm，制作一个这 样的烟囱冒至少需要 2000 cm 2 的铁皮 【考点】圆锥的计算 第 15 页（共 30 页） 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周 长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算 【解答】解：圆锥形的烟囱冒的侧面积= 8050=2000（cm 2
23、） 故答案为 2000 15如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 8m，宽是 2m， 抛物线的最高点到路面的距离为 6 米，该抛物线的函数表达式为 y= 【考点】二次函数的应用 【分析】根据题意可以得到抛物线的顶点坐标，可以设出抛物线的顶点式，然 后根据抛物线过点（0，2） ，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得，抛物线的顶点坐标是（4，6） ，函数图象过点 （0，2） ， 设抛物线的解析式为 y=a（x 4） 2+6， 则 2=a（04） 2+6， 解得，a= ， 即抛物线的解析式为 y= ， 故答案为：y= 16若直线 y=2x+t3 与函数 y= 的图象有且只有两个公共
24、点时， 第 16 页（共 30 页） 则 t 的取值范围是 t=0 或 t1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系 【分析】画出函数图象，利用图象分两种情形讨论即可 【解答】解：函数 y= 的图象如图所示， A（1，0） 当直线 y=2x+t3 经过点 A（1，0）时，直线与函数 y 的图象有 3 个交点，此时 0=2+t3，解得 t=1， 观察图象可知，t1 时，直线 y=2x+t3 与函数 y 的图象有且只有两个公共点， 当直线 y=2x+t3 与 y=x22x+1 相切时，则有 x24xt+4=0， =0， 164t16=0， t=0， 此时直线为 y=2x3，
25、由 解得 ， 直线与 y=x2+2x3 只有一个交点， t=0 时，直线 y=2x3 与函数 y 有两个交点， 综上所述，t1 或 t=0 时，直线 y=2x+t3 与函数 y 的图象有且只有两个公共 点 第 17 页（共 30 页） 故答案为 t=0 或 t1 三、解答题（共 8 题，共 72 分） 17已知关于 x 的方程 x2+2xm=0 （1）若 x=2 是方程的根，求 m 的值； （2）若方程总有两个实数根，求 m 的取值范围 【考点】根的判别式；一元二次方程的解 【分析】 （1）把 x=2 代入方程，即可得出关于 m 的方程，求出方程的解即可； （2）根据已知得出0，求出不等式的解
26、集即可 【解答】解：（1）把 x=2 代入方程 x2+2xm=0 得： 4+4m=0， 解得：m=8； （2）方程 x2+2xm=0 有两个实数根， =2 241（m）0， 解得：m1 18不透明的袋子中装有 4 个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们 分别标号：1、2、3、4 （1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图 的方法求出“ 两次取的球标号相同” 的概率 （2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和等于 4”的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，找出两次取的球标号相 同的结果数，然后根据概
27、率公式求解 （2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出两次取出的球标号和等 于 4 的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：（1）画树状图为： 第 18 页（共 30 页） 共有 16 种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为 4， 所以“两次取的球标号相同” 的概率= = ； （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和等于 4 的结果数为 2， 所以“两次取出的球标号和等于 4”的概率= = 19如图，BE 是O 的直径，半径 OA弦 BC，点 D 为垂足，连 AE，EC （1）若AEC=28 ，求 AOB 的度数； （2）若BEA=B
28、，BC=6，求O 的半径 【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系 【分析】 （1）根据垂径定理得到 = ，根据圆周角定理解答； （2）根据圆周角定理得到C=90，根据等腰三角形的性质得到B=30 ，根据 余弦的定义求出 BE 即可 【解答】解：（1）OA BC ， = ， AEB=AEC=28， 由圆周角定理得，AOB=2AEB=56 ； （2）BE 是O 的直径， C=90， 第 19 页（共 30 页） CEB+B=90， BEA=B，AEB= AEC， B=30， BE= =4 ， O 的半径为 2 20如图，点 P 是等边ABC 外一点，PA=3，PB=4，PC=
29、5 （1）将APC 绕点 A 逆时针旋转 60得到P 1AC1，画出旋转后的图形； （2）在（1）的图形中，求APB 的度数 【考点】作图-旋转变换；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理 【分析】 （1）将APC 绕点 A 逆时针旋转 60得到 P 1AC1 如图所示 （2）只要证明APP 1 是等边三角形，由 PB2+PP12=P1B2，推出P 1PB=90，即可 解决问题 【解答】解：（1）将APC 绕点 A 逆时针旋转 60得到P 1AC1，如图所示， （2）AP 1C1 是由APC 旋转所得， AP 1C1APC， 第 20 页（共 30 页） P 1C1=PC=5，AP=AP 1=3，
30、PAP 1=60， APP 1 是等边三角形， PP 1=AP=3，APP 1=60， PB=4，P 1B=5，PP 1=3， PB 2+PP12=P1B2， P 1PB=90 APB=BPP 1APP 1=30 21如图 1，AB 是O 的直径，AC 是弦，点 P 是 的中点，PEAC 交 AC 的延 长线于 E （1）求证：PE 是O 的切线； （2）如图 2，作 PHAB 于 H，交 BC 于 N，若 NH=3，BH=4，求 PE 的长 【考点】切线的判定；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系 【分析】 （1）连接 BC、OP，由 AB 是O 的直径、PEAE 知 PEBC，根据点
31、P 是 的中点知 OPBC ，即可得 OPPE，得证； （2）由（1）知，四边形 PECQ 是矩形，从而可设 PE=CQ=BQ=x，根据勾股定理 求得 BN 的长，先证 BHN BQO 得 ，表示出 BO、OQ 的长，再 证PQN BHN 得 ，即 ，求出 x 即可 【解答】解：（1）如图 1，连接 BC、OP， 第 21 页（共 30 页） AB 是O 的直径， ACB=90 ，即 BCAE， 又PEAE， PEBC ， 点 P 是 的中点， OPBC， OPPE ， PE 是O 的切线； （2）如图 2，连接 OP， 由（1）知，四边形 PECQ 是矩形， 设 PE=CQ=BQ=x， NH
32、=3，BH=4，PH AB ， BN=5， B= B ，BHN= BQO=90 ， BHNBQO， 第 22 页（共 30 页） ，即 ， 解得：BO= x，OQ= x， PQ=POOQ=BO OQ= x， PNQ= BNH，PQN=BHN=90， PQN BHN， ，即 ， 解得：x=8， PE=8 22某网店销售某款童装，每件售价 60 元，每星期可卖 300 件，为了促销，该 网店决定降价销售市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 30 件已知该 款童装每件成本价 40 元，设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当每件售
33、价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ （3）若该网店每星期想要获得不低于 6480 元的利润，每星期至少要销售该款 童装多少件？ 【考点】二次函数的应用；一元二次不等式 【分析】 （1）根据售量 y（件）与售价 x（元/件）之间的函数关系即可得到结 论 （2） ）设每星期利润为 W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题 （3）列出不等式先求出售价的范围，再确定销售数量即可解决问题 【解答】解：（1）y=300+30（60 x）= 30x+2100 （2）设每星期利润为 W 元， W=（x40） （30x+2100）=30（x55） 2+6750 x=55 时，W 最大值=
34、6750 第 23 页（共 30 页） 每件售价定为 55 元时，每星期的销售利润最大，最大利润 6750 元 （3）由题意（x40） （30x+2100）6480，解得 52x58， 当 x=52 时，销售 300+308=540， 当 x=58 时，销售 300+302=360， 该网店每星期想要获得不低于 6480 元的利润，每星期至少要销售该款童装 360 件 23已知正方形 ABCD 和正方形 CGEF，且 D 点在 CF 边上，M 为 AE 中点，连接 MD、MF （1）如图 1，请直接给出线段 MD、MF 的数量及位置关系是 MD=MF，MDMF ； （2）如图 2，把正方形 C
35、GEF 绕点 C 顺时针旋转，则（1）中的结论是否成立？ 若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明； （3）若将正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转 30时，CF 边恰好平分线段 AE，请直 接写出 的值 【考点】四边形综合题；全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形； 正方形的性质 【分析】 （1）延长 DM 交 EF 于点 P，易证 AM=EM，即可证明ADM EPM，可得 DM=PM，根据DFP 是直角三角形即可解题； （2）延长 DM 交 CE 于点 N，连接 FN、DF，易证DAM= NEM ，即可证明 ADMENM，可得 EN=AD，DM=MN，可证 CD=EN，
36、即可证明CDF ENF，可得 DF=NF，即可解题； （3）根据（1）可得 MD=MF，MD MF ，若 CF 边恰好平分线段 AE，则 CF 过 第 24 页（共 30 页） 点 M，最后根据 RtCDM 中，DCF=30，即可求得 的值 【解答】解：（1）线段 MD、MF 的数量及位置关系是 MD=MF，MDMF， 理由：如图 1，延长 DM 交 EF 于点 P， 四边形 ABCD 和四边形 FCGE 是正方形， ADEF， MAD=MEP CFE=90 DFP 是直角三角形 M 为 AE 的中点， AM=EM 在ADM 和EPM 中， ， ADMEPM（ASA） ， DM=PM，AD=P
37、E， M 是 DP 的中点 MF= DP=MD， AD=CD， CD=PE， FC=FE， FD=FP， DFP 是等腰直角三角形， 第 25 页（共 30 页） FM DP，即 FMDM 故答案为：MD=MF ，MDMF ； （2）MD=MF ，MDMF 仍成立 证明：如图 2，延长 DM 交 CE 于点 N，连接 FN、DF， CE 是正方形 CFEG 对角线， FCN= CEF=45， DCE=90， DCF=45， ADBC， DAM=NEM ， 在ADM 和ENM 中， ， ADMENM（ASA） ， EN=AD，DM=MN ， AD=CD， CD=EN， 在CDF 和ENF 中，
38、第 26 页（共 30 页） ， CDFENF， （SAS） DF=NF， FM=DM，FMDM （3）如图所示，若 CF 边恰好平分线段 AE，则 CF 过点 M， 由（1）可得 FM=DM，FMDM， 设 FM=DM=1， DCF=30， RtDCM 中， CM= ，CD=2=CB， CF= +1=CG， = 24若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线 C1：y 1=2x2+4x+2 与 C2：y 2=x2+mx+n 为“友好抛物线” （1）求抛物线 C2 的解析式 （2）点 A 是抛物线 C2 上在第一象限的动点，过 A 作 AQx 轴，Q 为垂足，求 AQ+OQ 的最
39、大值 （3）设抛物线 C2 的顶点为 C，点 B 的坐标为（1，4） ，问在 C2 的对称轴上是 第 27 页（共 30 页） 否存在点 M，使线段 MB 绕点 M 逆时针旋转 90得到线段 MB，且点 B恰好落 在抛物线 C2 上？若存在求出点 M 的坐标，不存在说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）先求得 y1 顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得 m、n 的值； （2）设 A（a，a 2+2a+3） 则 OQ=x，AQ= a2+2a+3，然后得到 OQ+AQ 与 a 的函 数关系式，最后依据配方法可求得 OQ+AQ 的最值； （3）连接 BC，过点 B作 BDCM
40、，垂足为 D接下来证明BCMMDB， 由全等三角形的性质得到 BC=MD，CM=BD，设点 M 的坐标为（1，a ） 则用含 a 的式子可表示出点 B的坐标，将点 B的坐标代入抛物线的解析式可求得 a 的 值，从而得到点 M 的坐标 【解答】解：（1）y 1=2x2+4x+2=2（x 1） 2+4， 抛物线 C1 的顶点坐标为（1，4） 抛物线 C1 与 C2 顶点相同， =1，1+m+n=4 解得：m=2， n=3 抛物线 C2 的解析式为 y2=x2+2x+3 （2）如图 1 所示： 第 28 页（共 30 页） 设点 A 的坐标为（a，a 2+2a+3） AQ=a 2+2a+3，OQ=a
41、 ， AQ+ OQ=a2+2a+3+a=a2+3a+3=（a ） 2+ 当 a= 时，AQ+OQ 有最大值，最大值为 （3）如图 2 所示；连接 BC，过点 B作 BDCM，垂足为 D B（1，4 ） ，C （1，4） ，抛物线的对称轴为 x=1， BC CM，BC=2 BMB=90， BMC+ BMD=90 BDMC， MBD+BMD=90 MBD=BMC 在BCM 和 MDB中， ， BCM MDB BC=MD，CM=BD 第 29 页（共 30 页） 设点 M 的坐标为（ 1，a ） 则 BD=CM=4a，MD=CB=2 点 B的坐标为（ a3，a 2） （a 3） 2+2（a 3）+3=a 2 整理得：a 27a+10=0 解得 a=2，或 a=5 当 a=2 时，M 的坐标为（1，2） ， 当 a=5 时，M 的坐标为（1，5） 综上所述当点 M 的坐标为（ 1，2）或（1，5）时，B恰好落在抛物线 C2 上 第 30 页（共 30 页） 2017 年 2 月 9 日
