1、 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（文）答案及评分参考 2015.1 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）B （2 ）D （3）A （4）D （5）B （6 ）C （7） C （8）A 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。有两空的小题，第一空 2 分，第二空 3 分） （9） （10）3 （11） 1(,0)2 （12） （13） ；4 （14）1(,1,) 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（） 的值是 . 2 分3 的值是 . 5 分0x4 （）由（）可知： .()cos)3fx 因为 ，1,23x
2、所以 . 7 分6 所以 当 ，即 时， 取得最大值 ； 10 分0x13x()fx1 当 ，即 时， 取得最小值 . 13 分23 2 （16）（共 13 分） 解：（）抽取的 5 人中男同学的人数为 ，女同学的人数为 .530520 4 分 （）记 3 名男同学为 ，2 名女同学为 . 从 5 人中随机选出 2 名同学，所有可能的13,A12,B 结果有 ，共 10 个.12 12, ,BA312, 6 分 用 表示： “选出的两名同学中恰有一名女同学 ”这一事件，则 中的结果有 6 个，它们是：C C . 8 分1212,ABB312,A 所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 .
3、10 分63()105P （） . 13 分21s （17）（共 14 分） 证明：（）在菱形 中， .1BC1B 因为 平面 ， 平面 ，AA 所以 平面 . 3 分/1 （）连接 .BC 在正方形 中， . 1A1B 因为 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，C1AB11CBA1B 所以 平面 . 5 分B1 因为 平面 ， 1C 所以 . 6 分A 在菱形 中， .1B1BC 因为 平面 ， 平面 ， ，CA1BCA= 所以 平面 . 8 分11 因为 平面 ， AB 所以 . 10 分1C1 （） 四点不共面 . 理由如下： 11 分,EFHG 因为 分别是 的中点，1,B 所以 .
4、C 同理可证： .GH1ACBC1B1A1A 因为 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平GEHEHG=1C1A1C 面 ， 1AC 所以 平面 平面 .1AC 因为 平面 ，F1 所以 平面 ，即 四点不共面. 14 分EHG,F （18）（共 13 分） 解：（）由题意可知椭圆 的标准方程为： ，则 .M21xy2,1ab 所以 椭圆 的长轴长为 . 2 分2 因为 ，21cab 所以 ，即 的离心率为 . 4 分eM2 （）若 三点共线，由 是线段 的垂直平分线可得：,CODCAB . 6 分AB 由（）可得 ，设 . 7 分(0,1)0(,)xy 所以 . 20xy 又因为 ， 10 分
5、20 由可得： （舍），或 11 分0,1xy0,1.xy 当 时，直线 的方程为 ，显然满足题意.0,xyl 所以 存在直线 使得 三点共线，直线 的方程为 . 13 分l,CODl0x HGFECBC1B1A1A （19）（共 13 分） （）解： . 1 分2e() xf 因为 切线 过原点 ，0ay(,) 所以 . 3 分 002eexx 解得： . 4 分0 （）证明：设 ，则 .2()e0)xfgx24e()xg 令 ，解得 . 6 分 24e()xx 在 上变化时， 的变化情况如下表(0,)(),gx222+()g - +x 2e4 所以 当 时， 取得最小值 . 8 分()gx
6、2e 所以 当 时， ，即 . 9 分0x 2()14()fx （）解：当 时，集合 的元素个数为 0； b0xfbR 当 时，集合 的元素个数为 1； 2e04()fx 当 时，集合 的元素个数为 2； 2b()0xfb 当 时，集合 的元素个数为 3. 13 分 2e4()fxR （20）（共 14 分） 解：（）因为 ， ，1a12nap 所以 ， .2 32p 因为 ，3S 所以 ，即 . 2 分64pp6 所以 .1(1,23)na 所以 数列 是以 1 为首项，3 为公差的等差数列. 所以 . 4 分 2()n nS （）若数列 是等比数列，则 .na213a 由（）可得： . 6
7、 分2(1)()p 解得： .0 当 时，由 得： .p12nap1na 显然，数列 是以 1 为首项， 1 为公比的等比数列. 所以 . 7 分0 （）当 时，由（）知： .p(,23)na 所以 ，即数列 就是一个无穷等差数列.1(,23)na 1n 所以 当 时，可以得到满足题意的等差数列.0p 当 时，因为 ， ，即 ，1a12nap12npa 所以 数列 是以 1 为首项， 为公差的等差数列.n 所以 .12npa 下面用反证法证明：当 时，数列 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数01na 列. 假设存在 ，从数列 中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为 . 设数列0p1na nb 的公差为 .nbd 当 时， .0p0(1,23)n 所以 数列 是各项均为正数的递减数列. 所以 .d 因为 ，1()1,23)nbdn 所以 当 时， ，这与 矛盾.111()0n bbddnb 当 时，令 ，解得： . 0p002p02np 所以 当 时， 恒成立.01nna 所以 数列 必然是各项均为负数的递增数列.nb 所以 .d 因为 ，1()1,23)nd 所以 当 时， ，这与 矛盾.b111()0n bddnb 综上所述， 是唯一满足条件的 的值. 14 分0pp
