1、福建省漳州市 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（每题 2 分，共 20 分） 1若 ，则 的值为（ ） A B C D 2下列计算正确的是（ ） A + = B3 =2 C =2 D =3 3一元二次方程 2x2+3x4=0 的根的情况是（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 4若一个三角形各边的长度都扩大 2 倍，则扩大后的三角形各角的度数都（ ） A缩小 2 倍 B不变 C扩大 2 倍 D扩大 4 倍 5一元二次方程（x+1） 2=4 的根是（ ） Ax 1=2，x 2=2 Bx= 3 Cx 1=1，x 2=3 Dx=1 6若两
2、个相似三角形的面积比是 9：16，则它们的相似比是（ ） A9：16 B16：9 C81：256 D3：4 7如图，ABC 中， C=90，若 AC=4，BC=3 ，则 cosB 等于（ ） A B C D 8下列事件为必然事件的是（ ） A抛一枚硬币，正面朝上 B打开电视，正在播放动画片 C3 个人分成两组，每组至少 1 人，一定有 2 个人分在同一组 D随意掷两个均匀的骰子，上面的点数之和为 6 9某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为 ”，下列说法正确的是（ ） A抽一次不可能抽到一等奖 B抽 10 次也可能没有抽到一等奖 C抽 10 次奖必有一次抽到一等奖 D抽了 9 次如果
3、没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 10正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、BC 的中点，AF 与 DE 相交于点 O，则 =（ ） A B C D 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11若式子 有意义，则实数 x 的取值范围是 12若关于 x 的方程（m+1 ） x22x2=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是 13在不透明的袋子中装有 5 个白球和 3 个黄球，这些球除了颜色外其它都相同，现从袋子中随机 摸出一个球，则它是黄球的概率是 14某县近年来加强对教育经费的投入，2014 年投入 5000 万元，预计投入 8000 万元，设这两年 的年平均增长率为 x，
4、根据题意可列方程为 15升国旗时，某同学站在离旗杆底部 24 米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的 仰角恰为 30，若双眼离地面 1.5 米，则旗杆的高度为 米 （用含根号的式子表示） 16如图，在 RtABC 中， C=90，AC=6，BC=8把ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90得 到ABC，AC交 AB 于点 E若 AD=BE，则ADE 的面积是 三、解答题 17计算： （ 4） 02sin45+| | 18解方程：x 22x1=0 19定义：若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程” ，已知关于 x 的一元二次方程 x22x=0 与 x2
5、+3x+m1=0 为“友好方程”，求 m 的值 20如图，在每个小正方形边长为 1 个单位长的网格中，建立直角坐标系 xOy，点 A，B ，C 均在 格点上 （1）请在该网格内部画出A 1BC1，使其与 ABC 关于点 B 成位似图形，且位似比为 2：1； （2）直接写出（1）中 C1 点的坐标为 21某校组织学生参加网络安全知识竞赛，现从 2016 届九年级（1）班的 3 名男生（小白、小明、 小军）和 2 名女生（小丽、小红）中，各随机选取 1 名男生和 1 名女生参赛，请用树状图或列表法 求出恰好选中小明与小丽参赛的概率 22某商场经销一种玩具，每件进价为 8 元，原售价为 10 元，平
6、均每天可售出 200 件，现商场决 定提高售价，经市场预测，销售价每增加 1 元，每天销售量就减少 20 件，设这种玩具每件售价增 加 x 元 （1）填空：提价后每件玩具的利润是 元（用含 x 的代数式表示） ； （2）为了使每天获得 700 元的利润，求提价后每件玩具的售价应定为多少？ 23如图，公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 20cm，深为 30cm，为方便残疾人士，拟将台 阶改成斜坡，台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，若斜坡的坡角BCA 设计为 14，则斜坡起点 C 应离 A 点多远？（精确到 1cm） （参考数据：sin140.24 ，cos140.97，tan140.25）
7、 24如图，直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ，动点 Q 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长 度的速度从点 A 向终点 B 运动，过点 Q 作 AB 的垂线交 x 轴于点 P，设点 Q 的运动时间为 t 秒 （1）求证：AQP AOB； （2）是否存在 t 值，使POQ 为等腰三角形？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由 25类比三角形中位线的定义，我们给出梯形中位线的定义：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC， 点 E、F 分别是 AB、DC 的中点，称线段 EF 为梯形 ABCD 的中位线 （1）理解：如图，若点 E 是 AB 的中点，EF BC 交 CD
8、于 F，则 EF 是梯形 ABCD 的中位线吗？ 为什么？ （2）探究：如图，梯形 ABCD 的中位线 EF 与线段 AD、BC 三者之间的位置关系和数量关系如何？ 请说明理由：（点拨：可连接 DE 并延长交 CB 的延长线于 G，这样就可把四边形的问题转化为三 角形问题来解决） （3）应用：如图，已知C=60，CD=8，梯形中位线 EF=6，求梯形 ABCD 的面积 福建省漳州市 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 2 分，共 20 分） 1若 ，则 的值为（ ） A B C D 【考点】比例的性质 【专题】计算题 【分析】用 b 表示 a，代入求解即
9、可 【解答】解： = ， a= b， 即 = = 故选 A 【点评】本题主要考查了简单的比例问题，能够熟练掌握 2下列计算正确的是（ ） A + = B3 =2 C =2 D =3 【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法 【分析】结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项 【解答】解：A、 和 不能合并，故本选项错误； B、3 =2 ，原式计算错误，故本选项错误； C、 =2 ，计算正确，故本选项正确； D、 = ，原式计算错误，故本选项错误 故选 C 【点评】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减法则和乘 除法则 3一元二次方程 2x2
10、+3x4=0 的根的情况是（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 【考点】根的判别式 【分析】先求出的值，再判断出其符号即可 【解答】解：=3 242（4 ）=410， 方程有两个不相等的实数根 故选 D 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与的关系是解答 此题的关键 4若一个三角形各边的长度都扩大 2 倍，则扩大后的三角形各角的度数都（ ） A缩小 2 倍 B不变 C扩大 2 倍 D扩大 4 倍 【考点】相似图形 【分析】由一个三角形各边的长度都扩大 2 倍，可得新三角形与原三角形相似，然后由相似三角
11、形 的对应角相等，求得答案 【解答】解：一个三角形各边的长度都扩大 2 倍， 新三角形与原三角形相似， 扩大后的三角形各角的度数都不变 故选 B 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质注意根据题意得到新三角形与原三角形相似是解此 题的关键 5一元二次方程（x+1） 2=4 的根是（ ） Ax 1=2，x 2=2 Bx= 3 Cx 1=1，x 2=3 Dx=1 【考点】解一元二次方程-直接开平方法 【专题】计算题 【分析】把两方程两边开方得到 x+1=2，然后解两个一次方程即可 【解答】解：（x+1） 2=4， x+1=2， 所以 x1=1，x 2=3 故选 C 【点评】本题考查了解一元二次方
12、程直接开平方法：形如 x2=p 或（nx+m ） 2=p（p0）的一元二次 方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程 6若两个相似三角形的面积比是 9：16，则它们的相似比是（ ） A9：16 B16：9 C81：256 D3：4 【考点】相似三角形的性质 【分析】直接根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论 【解答】解：两个相似三角形的面积比是 9：16， 它们的相似比= =3：4 故选 D 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题 的关键 7如图，ABC 中， C=90，若 AC=4，BC=3 ，则 cosB 等于（ ） A B C
13、D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据勾股定理，可得 AB 的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案 【解答】解：由勾股定理，得 AB= =5， cosB= = ， 故选：A 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻 边比斜边，正切为对边比邻边 8下列事件为必然事件的是（ ） A抛一枚硬币，正面朝上 B打开电视，正在播放动画片 C3 个人分成两组，每组至少 1 人，一定有 2 个人分在同一组 D随意掷两个均匀的骰子，上面的点数之和为 6 【考点】随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件 【解答】解：A、抛一枚硬币
14、，正面朝上是随机事件，故 A 错误； B、打开电视，正在播放动画片是随机事件，故 B 错误； C、3 个人分成两组，每组至少 1 人，一定有 2 个人分在同一组是必然事件，故 C 正确； D、随意掷两个均匀的骰子，上面的点数之和为 6 是随机事件，故 D 错误； 故选：C 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概 念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事 件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 9某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为 ”，下列说法正确的是（ ） A抽一次不可
15、能抽到一等奖 B抽 10 次也可能没有抽到一等奖 C抽 10 次奖必有一次抽到一等奖 D抽了 9 次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【考点】概率的意义 【分析】根据大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件 概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案 【解答】解：A、 “抽到一等奖的概率为 ”中奖的可能性小，故 A 错误； B、 “抽到一等奖的概率为 ”，中奖的可能性小，故 B 正确； C、 “抽到一等奖的概率为 ”，不是必然结果，故 C 错误； D、 “抽到一等奖的概率为 ”，不是必然结果，故 D 错误； 故选：B 【点评】本题考查了概率的意
16、义，大量反复试验下频率稳定值即概率注意随机事件发生的概率在 0 和 1 之间 10正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、BC 的中点，AF 与 DE 相交于点 O，则 =（ ） A B C D 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质 【专题】压轴题 【分析】由已知条件易证ADEBAF，从而进一步得AODEAD运用相似三角形的性质求 解 【解答】解：根据题意，AE=BF，AD=AB，EAD= B=90， ADEBAF ADE=BAF，AED=BFA DAO+FAB=90，FAB+ BFA=90， DAO=BFA， DAO=AED AODEAD 所以 = = 故
17、选 D 【点评】本题考查的是全等三角形的判定，正方形的性质以及相似三角形的性质的有关知识的综合 运用 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11若式子 有意义，则实数 x 的取值范围是 x1 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的性质可以得到 x1 是非负数，由此即可求解 【解答】解：依题意得 x10， x1 故答案为：x1 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题 12若关于 x 的方程（m+1 ） x22x2=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是 m 1 【考点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是
18、 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含 有一个未知数，可得答案 【解答】解：由关于 x 的方程（m+1）x 22x2=0 是一元二次方程，得 m+10， 解得 m1， 则 m 的取值范围是 m1， 故答案为：m 1 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整 式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 13在不透明的袋子中装有 5 个白球和 3 个黄球，这些球除了颜色外其它都相同，现从袋子中随机 摸出一个球，则它是黄球的概率是 【考点】概率公式 【分析】由在不透明的袋子中装有 5 个白球和 3 个黄球，这些球除了颜色外其它都
19、相同，直接利用 概率公式求解即可求得答案 【解答】解：在不透明的袋子中装有 5 个白球和 3 个黄球，这些球除了颜色外其它都相同， 现从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率是： = 故答案为： 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 14某县近年来加强对教育经费的投入，2014 年投入 5000 万元，预计投入 8000 万元，设这两年 的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为 5000（1+x） 2=8000 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率） ，参照本题，如果教育
20、经费的 年平均增长率为 x，根据 2014 年投入 5000 万元，预计投入 8000 万元即可得出方程 【解答】解：设教育经费的年平均增长率为 x， 则 2015 的教育经费为：5000（1+x） 2016 的教育经费为：5000（1+x） 2 那么可得方程：5000（1+x） 2=8000 故答案为：5000（1+x） 2=8000 【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所 得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程 15升国旗时，某同学站在离旗杆底部 24 米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的 仰角恰为 30，若双眼离地面 1.5
21、米，则旗杆的高度为 8 +1.5 米 （用含根号的式子表示） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【专题】压轴题 【分析】运用勾股定理的知识，即可得 BC由题意得 BE=BC+CE，CE=AD ，从而得出结果 【解答】解：ACB=90，BAC=30， AB=2BC， 设 BC=x 米，则 AB=2x 米， 在直角三角形 ABC 中，又 DE=AC=24 米， 根据勾股定理得：24 2+x2=（2x） 2， 解得：x=8 即 BC=8 BE=BC+CE， BE=8 +1.5， 故答案为：8 +1.5 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合 适
22、的边角关系解题，要求学生熟练掌握 16如图，在 RtABC 中， C=90，AC=6，BC=8把ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90得 到ABC，AC交 AB 于点 E若 AD=BE，则ADE 的面积是 6 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质 【分析】在 RtABC 中，由勾股定理求得 AB=10，由旋转的性质可知 AD=AD，设 AD=AD=BE=x，则 DE=102x，根据旋转 90可证 ADEACB，利用相似比求 x，再求 ADE 的 面积 【解答】解：RtABC 中，由勾股定理求 AB= =10， 由旋转的性质，设 AD=AD=BE=x，则 DE=102x
23、， ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90得到 ABC， A=A， ADE=C=90， ADEACB， = ，即 = ，解得 x=3， SADE= DEAD= （102 3）3=6， 故答案为：6 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的性质关键是根据旋转的性质得 出相似三角形，利用相似比求解 三、解答题 17计算： （ 4） 02sin45+| | 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点针对每个考 点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解： （ 4） 02s
24、in45+| | =212 + 1 =21 + 1 =0 【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地 2016 届中考题中常见的计算题型解决此类题目 的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算 18解方程：x 22x1=0 【考点】解一元二次方程-公式法 【专题】计算题 【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可 【解答】解：解法一：a=1，b=2，c=1 b24ac=441（ 1）=80 ， ； 解法二：（x1 ） 2=2 ， 【点评】命题意图：考查学生解一元二次方程的能力，且方法多样，可灵活选择本题考查了解一 元二次
25、方程的方法，公式法适用于任何一元二次方程方程 ax2+bx+c=0 的解为 x= （b 24ac0） 19定义：若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程” ，已知关于 x 的一元二次方程 x22x=0 与 x2+3x+m1=0 为“友好方程”，求 m 的值 【考点】一元二次方程的解 【专题】新定义 【分析】首先解得第一个方程，然后利用友好方程的定义代入第二个方程求得 m 的值即可； 【解答】解：解 x22x=0 得：x=0 或 x=2， 关于 x 的一元二次方程 x22x=0 与 x2+3x+m1=0 为“友好方程” ， 22+32+m1=0 或 02+30+m1=0，
26、 解得：m=9 或 m=1， m 的值为 9 或 1 【点评】本题考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是能够理解友好方程的定义，难度不 大 20如图，在每个小正方形边长为 1 个单位长的网格中，建立直角坐标系 xOy，点 A，B ，C 均在 格点上 （1）请在该网格内部画出A 1BC1，使其与 ABC 关于点 B 成位似图形，且位似比为 2：1； （2）直接写出（1）中 C1 点的坐标为 （1，0） 【考点】作图-位似变换 【专题】计算题；作图题 【分析】 （1）延长 BC 到 C1，使 CC1=BC，延长 BA 到 A1，使 AA1=BA，连接 A1C1，可得出所求 三角形； （2）根据
27、图形确定出 C1 点的坐标即可 【解答】解：（1）如图所示，A 1BC1 为所求三角形； （2）根据（1）得 C1 点的坐标为（ 1，0） 故答案为：（1，0） 【点评】此题考查了作图位似变换，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并 延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺 次连接上述各点，得到放大或缩小的图形 21某校组织学生参加网络安全知识竞赛，现从 2016 届九年级（1）班的 3 名男生（小白、小明、 小军）和 2 名女生（小丽、小红）中，各随机选取 1 名男生和 1 名女生参赛，请用树状图或列表法 求出恰好选中小明与小丽参赛的概率
28、【考点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中小明与小丽参 赛的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，恰好选中小明与小丽参赛的有 1 种情况， 恰好选中小明与小丽参赛的概率为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比 22某商场经销一种玩具，每件进价为 8 元，原售价为 10 元，平均每天可售出 200 件，现商场决 定提高售价，经市场预测，销售价每增加 1 元，每天销售量就减少 20 件，设这种玩具每件售价增 加 x 元 （1）填空：提价后每
29、件玩具的利润是 （x+2） 元（用含 x 的代数式表示） ； （2）为了使每天获得 700 元的利润，求提价后每件玩具的售价应定为多少？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】销售问题 【分析】 （1）根据利润=售价进价表示出商品的利润即可； （2）设提价后每件玩具的售价应定为 y 元，根据等量关系：每天获得 700 元的利润，列出方程求 解即可 【解答】解：（1）提价后每件玩具的利润是 10+x8=x+2 元（用含 x 的代数式表示） 故答案为（x+2） ； （2）设提价后每件玩具的售价应定为 y 元，依题意有 （y8） 20020（y 10） =700， 解得 y1=13，y 2=15 故提
30、价后每件玩具的售价应定为 13 元或 15 元 【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出一元二次方程， 注意：利润=售价 进价 23如图，公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 20cm，深为 30cm，为方便残疾人士，拟将台 阶改成斜坡，台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，若斜坡的坡角BCA 设计为 14，则斜坡起点 C 应离 A 点多远？（精确到 1cm） （参考数据：sin140.24 ，cos140.97，tan140.25） 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】首先过点 B 作 BDAC 于点 D，由题意得：BD=203=60（cm）
31、，AD=302=60（cm） ， C=14，然后由三角函数的性质，求得 CD 的长，继而求得答案 【解答】解：过点 B 作 BDAC 于点 D， 由题意得：BD=20 3=60（cm） ，AD=30 2=60（cm ） ， C=14， 在 RtBCD 中，CD= = 240（cm ） AC=CDAD=180（cm ） 答：斜坡起点 C 应离 A 点约 180cm 【点评】此题考查了坡度坡角问题此题难度不大，注意构造直角三角形，并借助与直角三角形的 性质求解是关键 24如图，直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ，动点 Q 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长 度的速度从点
32、A 向终点 B 运动，过点 Q 作 AB 的垂线交 x 轴于点 P，设点 Q 的运动时间为 t 秒 （1）求证：AQP AOB； （2）是否存在 t 值，使POQ 为等腰三角形？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由 【考点】一次函数综合题 【分析】 （1）根据 PQAB 可得出AQP=90，再由AOB=90 即可得出结论； （2）先求出 A、B 两点的坐标，再分 QP=OP，OQ=QP，OP=OQ 三种情况进行讨论 【解答】解：（1）PQ AB， AQP=90， AOB=90， AQP=AOB=90 QAP 为公共角， AQPAOB； （2）直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于
33、点 A、B， A（ 3， 0） ，B（0，4） ， OA=3，OB=5，AB= =5， AQPAOB， = = ，即 = = ， AP= ，QP= ， 当 QP=OP 时， =3 ，解得 t=1； 点 Q 在直线 y= x+4 上，AQ=t， Q（ 3 ， ） ， OQ= ， 当 OQ=QP 时， = ，解得 t1= ，t 2= （舍去） ； 当 OQ=OP 时， =3 ，解得 t3= ，t 4=0（舍去） 综上所述，t 的值为 1 或 或 【点评】本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、等腰三角形的判定 与性质等知识，解答此题时要注意进行分类讨论 25类比三角形中位线的
34、定义，我们给出梯形中位线的定义：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC， 点 E、F 分别是 AB、DC 的中点，称线段 EF 为梯形 ABCD 的中位线 （1）理解：如图，若点 E 是 AB 的中点，EF BC 交 CD 于 F，则 EF 是梯形 ABCD 的中位线吗？ 为什么？ （2）探究：如图，梯形 ABCD 的中位线 EF 与线段 AD、BC 三者之间的位置关系和数量关系如何？ 请说明理由：（点拨：可连接 DE 并延长交 CB 的延长线于 G，这样就可把四边形的问题转化为三 角形问题来解决） （3）应用：如图，已知C=60，CD=8，梯形中位线 EF=6，求梯形 ABCD 的面积 【考点
35、】四边形综合题；梯形中位线定理 【分析】 （1）根据平行线等分线段定理证明即可； （2）连接 DE 并延长交 CB 的延长线于 H，证明 DAEHBE，根据全等三角形的性质和三角形 中位线定理解答即可； （3）作 DPBC 于 P，根据正弦的定义求出 DP，根据梯形中位线定理和梯形面积公式计算即可 【解答】解：（1）EF 是梯形 ABCD 的中位线， ADBC，EF BC， ADEFBC， = ，又点 E 是 AB 的中点， 点 F 是 CD 的中点， EF 是梯形 ABCD 的中位线； （2）梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 如图 1，连接 DE 并延长交 CB 的延长线于 H， ADBC， DAE=HBE， 在DAE 和 HBE 中， ， DAEHBE， AD=BH，DE=EH，又点 F 是 CD 的中点， EF 是DHC 的中位线， EFBC，EF= CH= （AD+BC） ； （3）如图 2，作 DPBC 于 P， sinC= ， 则 DP=8 =4 ， EF= （AD+BC） ， （ AD+BC）=6 ， 梯形 ABCD 的面积= （AD+BC）DP=24 【点评】本题考查的是梯形的中位线定理的推导和应用、全等三角形的判定和性质、平行线等分线 段定理的应用，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键
