1、高三数学第一学期期末复习练习卷（1） 班级 姓名 座号 一、选择题（共 10 小题，每题 5 分） 1.已知复数 ， ，则在 复平面上对应的点位于（ ）12zi21zi12z (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 2.有 3 张奖券，其中 2 张可中奖，现 3 个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券 的概率是（ ） (A) (B) (C) (D)116212 3.已知命题 ，命题 的解集是 ，下列结论：tanpxRx： ， 使 30qx： |2x 命题“ ”是真命题； 命题“ ”是假命题；qp 命题“ ”是真命题； 命题“ ”是假命题 其中正确的是（ ）
2、 (A) (B) (C) (D) 4.已知 ，则 （ ）2tan)sin()si(co (A)2 (B)2 (C)0 (D) 32 5. 有解的区域是（ ）01lgx (A) (B) (C) (D) (,(1,0(10,(10,) 6.已知向量 ， ，若向量 ，则 （ ）2)a4)bxabx (A) (B) (C) (D)212 7.已知两点 ，点 是圆 上任意一点，则 面积的最小值(,0)(,)ABC0xyABC 是（ ） (A) (B) (C) (D)23232323 8. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 、 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求AB 得相关系数 与残差平方和 如
3、下表：rm 甲 乙 丙 丁 0.82 0.78 0.69 0.85 m115 106 124 103 则哪位同学的试验结果体现 、 两变量更强的线性相关性？（ ）AB 甲 乙 丙 (D) 丁()A()B()C 9.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直 角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体 积为（ ） (A)1 (B) 2 (C) (D)136 10.已知抛物线 ，过点 )作倾斜角为 的直线 ，若 与抛物线交于 、 两点，xy82(2,0A3lBC 弦 的中垂线交 轴于点 ，则线段 的长为（ ）BCP (A) (B) (C) (D)16331683
4、二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分） 11.已知圆 C 的方程是 ，它关于极轴对称的圆的方程为 ；它关于直线 对sin2a 43 称的圆的方程为 . cos2,sin2aa 12.在约束条件 下，目标函数 的最大值为_2_. 012yxSxy 13.在 中，若 ，则 的外接圆半径 ，将此结ABC,ACbBaAC2abr 论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体 中，若 两两垂直，SSBC、 、 ，则四面体 的外接球半径,SabSc _ _R22 14.在如下程序框图中，输入 ，则输出的是_ _.0()cosfxsinx 左视图主视图 俯视图 否 是 开始 输 入 f 0 (x ) :i
5、 1():iif结束:1i =2007i输 出 f i (x) 三、解答题 15、已知 。3)2(cos32)cos()2sin()( xxxf （1）化简 的解析式； （2）若 0 ，求 使函数 为偶函数。)(xf （3）在（2）成立的条件下，求满足 =1， 的 的集合。x,x 解：（1） 32)cos(13)2sin() xf = )32sin()cs()in(co32sin( xxxx (2) 当 时, = 此时, 为偶函数.062si)(f of (3)由(2)可知 = 当 =1,即 =1 得 ,)(xf2cosxxc21csx 则 )(332Zkk或 66xx或 ,65,5xx或或或
6、 的集合为x 6,6x 16、如图，三棱锥 P-ABC 中， ACB=90 ，PA 面 ABC，AD PC，AE PB.D、E 为垂足. （1）证明：PB 平面 ADE； （2）若 PA=AB=2，求三棱锥 P-ADE 体积的最大值。 （1）证明：ACBC，PABC BC面 PAC BCAD 又AD PC AD 面 PCB ADPB 又AEPB PB面 ADE 。 （2）解：PA=AB=2 ，AEPB，PA面 ABC PE=AE= V P-ADE= S ADE PE31 = ADDE = ADDE （AD 2DE2）= AE2=3126216DEP C BA V P-ADE 的最大值为 此时
7、AD=DE= AE=1 ，AC= 262232 17、已知 = ，且 ， ， ， 组成等差数列，)(xf nxaxa321 12ana 又 ， 。 （1）求数列 的通项公式。 （2）试比较 与 3 的大小，并说明2nnn )1(f 理由。 解：（1） ，即221)(aafn 21)(nana21 又dn21f n14321)( ，即 代入式得 21a)(ndan （2） f 2)(53)(3 两式相减得121n =nf )()12()( 321)(2nn 18、椭圆 上有两点 P、Q ，O 是原点，若 OP、OQ 斜率之积为 ，416yx 4 （1）求证： 为定值； （2）求 PQ 的中点 M
8、 的轨迹方程。22O （1）证明：设 P、Q 的两点坐标分别为 P（ ） 、Q （ ）1,yx2,yx 由 得 + 41642121xyyx212121216 xy)(161622xy21 由代入得 由+得621 4)(4182121 xy （定值）0212xyOQP （2）设 P、Q 的中点为 M（ ） ，则有, yx2,121 由+ 2 得 )(3)(4221 xyy 即2121)(3)(4xy321642yx182yx 故 PQ 的中点 M 的轨迹方程为 8 2 19、为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架. 三角形支架形状如图，要求 ，06ACB BC 的长度大于 1 米，且 AC
9、比 AB 长 0.5 米. 为了广告牌稳固，要求 AC 的长度越短越好，求 AC 最短为多少米？且当 AC 最短时， BC 长度为多少米？ 解：如图，设 BC 的长度为 x 米，AC 的长度为 y 米，则 AB 的长度 为（y0.5）米. 在ABC 中，依余弦定理得： 即ACBBCAcos22 21)5.0(22yx 化简，得 ， 因此 41)(2xy1x14xy 方法一： . 23)( 当且仅当 时，取“= ”号，即 时，y 有最小值 . )1(43x1x32 方法二： 解 ，得 22/ )(4yx 0412xx 当 时， ；当 时，310/xy31/xy .当 时，y 有最小值 . 2x2
10、 20、已知 （ ）1)(logxaf 0,xk （1）求函数 的解析式，当 是奇函数时，确定常数 的值；y)(fya （2）当 是奇函数时，其单调性如何？试用单调性的定义对称的结论加以证明。)(f （3）设 ，当 是奇函数时，猜想 和 的大小。 （理科用)(1Nnng)(xfy)(nfg 数学归纳法加以证明） 解：（1）设 则),0(log2Rtxt12(tatfC AB 的解析式为 （ ）)(xfy12)(xaf Rx = 12)(xaf x 12)(xf )1(2)()( afx 当 为奇函数时， ，且 =xf1afx （2）设 =2112)(121xxfxf )12(1xx 由 且21
11、x02121 xx 0,21 ，即 故 是奇函数时，它在 R 上是增函数。0)(ff )(21ff )(xfy （3） 设 =)1( nngnf )(n)12( 当 时， ，故10)1(gf 当 时， 故2n(2 当 时， 故3)3(f 猜想：当 时， 以下用数学归纳法证明，(ngf 当 时，猜想成立。n 假设 时， 成立，则当 时k)(f)3k1kn2(32()1( ，即0)1kk 0)1kk 242k 因此，欲证 只需证 即可34 234kk 2k 从而 成立。这就是说当 时 成立。01)(21 1n)1()(kgf 综合可知，当 时，当 时，nN,3)(f 于是当 或 时， ；当 时，1n2)(ngfN,3)(ngf
