1、知识改变命运 百度提升自我 用心 爱心 专心 - 1 - 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 向量法搞定立体几何 一、基础知识 1221122112(,)(,),)(2(0)cosaxyzbyzxzabxyzA.设 ： 或 （ =）3)一 般 情 况 ： 2法向量的求法 法向量指的是垂直于面的向量。在用向量解题的过程中，只要遇到面便要求出它的法向量。 求法向量的步骤： （1） 设此面的法向量为 n（x，y，z） （2） 因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线 （如： AB（x 1，y 1，z 1）, BC（x 2，y 2，z 2） ） 则有 ： 220nC （3
2、） 因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以必须设一个量，在设的时 候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别的情况都可以随便设，通 过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。 特殊情况：在此情况下（如图 1 所示） ，法向量可以直 接设出来，而不用上述的方法求解。 （1）面 OAC 的法向量 我们可以直接看出此面的法向量平行于 x 轴，所以可以直接设 法向量为（x，0，0） ，其中 x 可以随便赋值。 （2）面 OAB 的法向量 我们可以直接看出此面的法向量平行于 y 轴，所以可以直接设 法向量为（0，y，0） ，其中 y 可以随便赋值。 （3）面 OBC 的
3、法向量 我们可以直接看出此面的法向量平行于 y 轴，所以可以直 接设法向量为（0，0，z） ，其中 z 可以随便赋值 （图 1） 例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面 OBC，OB 垂直 OC，且 OA=OB=OC=1，如图 1 所示，求 面 ABC 的法向量？ 解：设 ABC 的法向量为 (,)nxyz， A（0，0，1） ，B（1，0，0） ，C（0，1，0） ACBOyzx 知识改变命运 百度提升自我 用心 爱心 专心 - 2 - 则： (1,0)AB ， (1,0)C22nxyzxy 解得：x=z；y=x； 令 x=1，则有 y=z=1； 则（1，1，1）为面 ABC 得法向量。 二、
4、学会建立坐标系 1. 对于立方体、长方体、正四棱柱可以直接建立（在此不再强调） 。 2. 对于不可以直接建立的立体图，要尽量建立较好求的坐标系 常用方法：找中点（一般在题中会出现等腰三角形或者等边三角形，往往找到底边的中点， 顶点与中点相连，此线便垂直于底边了，把此线作为其中的一轴） 比如例二：2006 年全国二卷第（19） （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB=BC， D、 E 分别为 BB1、 AC1的中点. （）证 明： ED 为异面直线 BB1与 AC1的公垂线； （）设 AA1=AC= ,2求二面角 A1 AD C1的大小. （此图为建立完坐标系
5、的图形） 一般的步骤：1.找到垂直于底面的一条线，作为 Z 轴 2.在底面上找两条相互垂直的直线，分别作为 X 轴和 Y 轴 三、用向量法求解 1.点与点的距离 122211(,)(,),()AxyzBxyzz 2.点到直 线的距离 （1）已知直线的方程 y=kx+b,那么点（x 0，y 0）到此直线的距离为： 21kxbd （2）用面积法求 解（原理：面积相等） 图解：求 A 到 BC 的距离 ABCDE 知识改变命运 百度提升自我 用心 爱心 专心 - 3 - 1122ACBEADD 3.点到面的距离 （1）用体积法求解（原理：体积相等。适用于体积和面积比较好求的立体） 如前面的例一：已知
6、一个三棱锥，OA 垂直于面 OBC，OB 垂直 OC，且 OA=OB=OC=1，如图所示， 求点 O 到面 ABC 的距离？ 解：根据体积相等，设点 O 到面 ABC 的距离为 d，AD 为 BC 边的高： 则有1133632213ABABCSdSDd得 ： （2）用向量法 求解 如图：求 P 到面 ABCD 的 距离，设面 ABCD 的法向量为，O 为 P 在面上的投影点，OP 即为 P 到面 ABCD 的距离。 A.n的方向向上时 O 为点 P 在面 ABCD 上的投影点，故 OP 便是 点 P 到面 ABCD 的距离，则 cossAAPOn通 过 图 我 们 可 以 看 出则 B. 的方
7、向向下时 O 为点 P 在面 ABCD 上的投影点，故 OP 便 是点 P 到面 ABCD 的距离，则cosAnPOAn通 过 图 我 们 可 以 明 显 看 出 ， 为 钝 角所 以 -则 n nACByzxDBCABCDPO 知识改变命运 百度提升自我 用心 爱心 专心 - 4 - 综上述两种情况，我们可以得出：在求点到面的距离时，先在面内任意找到一点与此点 构成向量（如上面 A 与 P 构成向量） ，则不论 n的方向如何，其点到面的距离为：nd 4.线与线的夹角 因为线与线的夹角在0，90，所以其余弦值必为正值 coscosABC则 ： 如果算的 cos 为负值，可通过调整其中的一个向量
8、的方向来使的其算的值为负值。 （或 者 如果是在做小题无需写步骤，可直接用 cosABC） 5.线与面的夹角 因为线与面的夹角在（0，90，所以其的正余弦值必为正值 A.n法向量向上时 coscsAPn则 ： (所求的角)+=90 sin=cos B.n法向量向下时 coscsAPn则 ： =(所求的角)+ 90 sin=sin（-90）=-cos0 综上总结：不论怎么定法向量，都有 sinco。 6.面与面的夹角 这种题是唯一需要确定法向量发现的，老师们可能让大家用观察法来判断此二面角的角度 范围（即为锐角还是钝角） ，但往往有时是判断不对的，现通过定法向量方向来确定二面角。 n nABCD
9、PO 知识改变命运 百度提升自我 用心 爱心 专心 - 5 - 请观察下面两个图： 为了计算时不繁琐，在规定法向量方向的时候，比较想让两个法向量的夹角直接等于所 求的二面角，由上面四个图我们可以看到当两个法向量都从面上射出（或射入）时，其两向 量所成的角与二面角互补，所以欲使两向量的夹角恰好为二面角，则应一进一出，关于是进 还是出，由 Z 的正负来确定（如果你设出的向量方向指向斜上方，那么 Z 为正值；反之，如 果设出的方向为斜下方，那么 Z 为负值） 。需要注意面的正反面（所有的进出都是指的从正 面进出） ，这是个难点，先通过下面图说明如何判断正反面。 反面 就像海蚌一样，两个壳夹得角为二面
10、角，其外壳为上述提到的反面，壳内部为正面（如上 图所示） 。 四.补充 1如果证明两面平行 那么证其法向量平行即可 2. 如果证明两面垂直 那么证其法向量垂直即可 3. 如果证明线与面平行 那么证线与面得法向量垂直即可 4. 如果证明线与面垂直 那么证线与面法向量平行即可 五.应用实例： 现已 2008 年全国卷为例： 如图，正四棱柱 1DCBA-中， 421AB,点 E 在上且 EC31. ()证明： 1平面 E; 反面 反面 正面 正面 mnmn 正面 知识改变命运 百度提升自我 用心 爱心 专心 - 6 - ()求二面角 B-DEA1的大小. ()以 为坐标原点，射线 为 x轴的正半轴，
11、 建立如图所示直角坐标系 yz 依题设， 1(20)()(02)(4)BCEA， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 1DE， ， ， ， ， ，11(4)(4)AA， ， ， ， ， 3 分 （）因为 10CB， 0DE， 故 1， 又 DE， 所以 1AC平面 B 6 分 （）设向量 ()xyz， ，n是平面 1DAE的法向量，则DE ， 1 故 20yz， 40xz （解释：第一问已经证明 CA1平面 BED，所以可以把 1AC作为平面 DBE的法向量，1AC 的 Z 值是负值，可以看出 是射入的，则面 的法向量应该是射出的，可以明显 看出射出的法向量 n是向下延伸的，所以取 Z 为负值） 令 2z，则 1y， 4x， (12)， ， 9 分1AC，n 等于二面角 ADEB的平面角，1cos42， 所以二面角 1AEB的大小为 14arcos2 12 分 希望对大家有所帮助，可以在别的题上试试！
