1、第 1 页 老王伴你飞 线性规划 一选择题（共 10 小题） 1设 mR，实数 x，y 满足 ，若|2x+y|18 恒成立，则实数 m 的 取值范围是（ ） A 3 m3 B6m6 C 3m6 D6m0 2已知变量 x、y 满足约束条件 ，且 z=x+2y 的最小值为 3，则 的概率是（ ） A B C D 3记不等式组 表示的平面区域为 D，过区域 D 中任意一点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B ，则 cosPAB 的最大值为（ ） A B C D 4已知平面直角坐标系中点 A（1， 1） ，B（4，0 ） ，C （2，2） ，平面区域 D 由 所有满足 （ ，1
2、b ）的点 P（x ，y ）组成的区域， 若区域 D 的面积为 8，则 b 的值为（ ） A3 B4 C5 D6 5在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影， 由区域 中的点在直线 x+y2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则 |AB|=（ ） A2 B4 C3 D6 6设关于 x，y 的不等式组 表示的平面区域内存在点 P（x 0，y 0）满 第 2 页 老王伴你飞 足 =1，则实数 m 的取值范围是（ ） A1 ，+） B C D 7在平面直角坐标系中，点 P 是由不等式组 所确定的平面区域内的 动点，M ，N 是圆 x2+y2=1 的一条直径的两
3、端点，则 的最小值为（ ） A4 B C D7 8已知 x，y 满足不等式组 ，关于目标函数 z=|xy|+|x2y2|最值的 说法正确的是（ ） A最小值 0，最大值 9 B最小值 2，最大值 9 C最小值 3，最大值 10 D最小值 2，最大值 10 9设实数 x，y 满足不等式组 ， （2，1）是目标函数 z=ax+y 取最大值 的唯一最优解，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0 ，1 ） B （0，1 C （ ，2） D （ ，2 10非空集合 A=（x，y） ，当（x，y）A 时，对任意实数 m， 目标函数 z=x+my 的最大值和最小值至少有一个不存在，则实数 a 的取值范围是
4、 （ ） A （ ，2 ） B0，2） C2，+） D （2，+） 第 3 页 老王伴你飞 2017 年 09 月 10 日 157*6806 的高中数学组卷 参考答案与试题解析 一选择题（共 10 小题） 1设 mR，实数 x，y 满足 ，若|2x+y|18 恒成立，则实数 m 的 取值范围是（ ） A 3 m3 B6m6 C 3m6 D6m0 【分析】将不等式恒成立问题转化为平面区域在两条直线之间利用数形结合进 行求解即可 【解答】解：由|2x+y|18 得182x+y 18， 若|2x+y|18 恒成立， 等价为不等式组对应的平面区域 都在直线 2x+y=18 和 2x+y=18 之间，
5、 即对应的两个直线（红色）之间， 作出不等式组对应的平面区域如图， 由 得 ，即 A（6，6） ，此时 A 满足条件.2x +y=18， 由 得 ， 即 B（ ，3） ， 要使不等式组对应的平面区域都在两条直线之间， 则直线 y=m 满足在直线 y=3 和 y=6 之间， 则3 m6， 故选：C 第 4 页 老王伴你飞 【点评】本题主要考查线性规划的应用，将不等式恒成立转化为平面区域在两 条直线之间是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 2已知变量 x、y 满足约束条件 ，且 z=x+2y 的最小值为 3，则 的概率是（ ） A B C D 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程
6、斜截式，得到当直线 得 z=x+2y 截距最小时 z 最小，求出可行域内使直线截距最小的点的坐标，代入 x=a 求出 a 的值，利用 的几何意义，转化求解概率即可 【解答】解：由变量 x、 y 满足约束条件 画出可行域如图， 第 5 页 老王伴你飞 由 z=x+2y 的最小值为 3，在 y 轴上的截距最小 由图可知，直线得 z=x+2y 过 A 点时满足题意 联立 ，解得 A（3，0） A 在直线 x=a 上，可得 a=3 则 的几何意义是可行域内的点与 Q（1，0 ）连线的斜率超过 ， 由图形可知：直线 x=3 与直线 x2y+1=0 的交点为：（3，2） ， 直线 x2y+3=0 与 x=
7、3 的交点（ 3，3） ， 则 的概率： = ， 则 的概率是：1 = 故选：D 【点评】本题考查了简单的线性规划，训练了数形结合的解题思想方法，是难 题 3记不等式组 表示的平面区域为 D，过区域 D 中任意一点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B ，则 cosPAB 的最大值为（ ） A B C D 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线和圆相切的性质转化为 OP 最小，然后利用点到直线的距离公式进行求解即可 第 6 页 老王伴你飞 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 若 cosPAB 最大，则只需要 PAB 最小，即APO 最大即可， 则 sinAP
8、O= = 最大，此时 OP 最小即可， 此时 OP 的最小值为 O 到直线 4x+3y10=0 的距离， 此时 OP= = =2， OA=1，APO= ，PAB= ， 则 cosPAB= ， 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的综合应用，根据条件结合三角函数的性质转 化为 OP 最小以及利用点到直线的距离公式是解决本题的关键综合性较强 4已知平面直角坐标系中点 A（1， 1） ，B（4，0 ） ，C （2，2） ，平面区域 D 由 所有满足 （ ，1 b ）的点 P（x ，y ）组成的区域， 若区域 D 的面积为 8，则 b 的值为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】设 P 点坐标，根
9、据向量数量积的坐标运算，求得 和 ，由 和 的 取值范围，即可求得 ，画出可行域，求得 E 和 F 点坐标，利用 两点之间的距离公式求得|EF|，根据两平行线之间的距离公式，求得 3yx4=0 第 7 页 老王伴你飞 与 3yx+48b=0 距离为 ，根据平行四边形的面积公式，即可求得 b 的值 【解答】解：设 P 的坐标为（x ，y） ， A（1， 1） ，B（4 ，0） ，C （2 ，2） ， =（ x1， y+1） ， =（3，1） ， =（1，3） ， （ ，1 b ） ， （x1，y+1）=（3，1）+（1，3 ）=（3 +，+3） ， ， 解得 = ，= ， ，1b， ， 即 ，
10、作出不等式组对应的平面区域， ，解得： ， ，解得： ， 则 E（5，3 ） ， F（ ， ） ，则丨 EF 丨= = 3yx4=0 与 3yx+48b=0 距离为 ， 平面区域的面积为 S= =8， 解得 b=3， 故选 A 第 8 页 老王伴你飞 【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、平行四边形的 面积计算公式、两平行线之间的距离公式，考查了作图能力、推理能力与计算 能力，属于难题 5在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影， 由区域 中的点在直线 x+y2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则 |AB|=（ ） A2 B4 C3
11、D6 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行 求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） ， 区域内的点在直线 x+y2=0 上的投影构成线段 RQ，即 SAB， 而 RQ=RQ， 由 得 ，即 Q（1，1） 由 得 ，即 R（2，2） ， 则|AB|=|QR|= = =3 ， 故选：C 第 9 页 老王伴你飞 【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用 投影的定义以及数形结合是解决本题的关键 6设关于 x，y 的不等式组 表示的平面区域内存在点 P（x 0，y 0）满 足 =1，则实数 m 的取值范围是（ ） A
12、1 ，+） B C D 【分析】作出不等式组对应的平面区域，由|3x4y 12|=5 得 d= =1， 即 d 的几何意义是区域内的点到直线 3x4y12=0 的距离等于 1，利用数形结合进 行求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点 B 坐标为（m，m） ， （m0） 直线 2xy+1=0 得 y=2x+1， 由|3x4y12|=5 得 =1， 设 d= ， 则 d 的几何意义是区域内的点到直线 3x4y12=0 的距离等于 1， 设到直线 3x4y12=0 的距离等于 1 的直线为 3x4y+c=0， 第 10 页 老王伴你 飞 则 =1，得 c=7 或 c=17 要使平面区
13、域内存在点 P（x 0，y 0）满足|3x 4y12|=5， 则点 B（m，m）必在直线 3x4y7=0 的下方， 即 3m+4m70，解得 m1 故 m 的取值范围是：1，+） 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键， 综合性较强 7在平面直角坐标系中，点 P 是由不等式组 所确定的平面区域内的 动点，M ，N 是圆 x2+y2=1 的一条直径的两端点，则 的最小值为（ ） A4 B C D7 【分析】设出 M，N ，P 的坐标，根据向量数量积的公式进行转化，利用数形结 合转化为线性规划进行求解即可 【解答】解：M，N 是圆 x2+y2=1 的一条直径
14、的两端点， 设 M（a， b） ，N （a，b ） ，则满足 a2+b2=1， 设 P（ x，y） ， 则 =（ ax，by） （a x， by）=（a x） （a+x）（by ） （b +y） 第 11 页 老王伴你 飞 =a2+x2b2+y2=x2+y2（a 2+b2）=x 2+y21， 设 z=x2+y2，则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则原点到直线 x+y4=0 的距离最小， 此时 d= =2 ， 则 z=d2=（2 ） 2=8， 则 =x2+y21=81=7， 故选：D 【点评】本题主要考查向量数量积以及线性规划的应用，利用坐标系结
15、合斜率 数量积的公式转化为线性规划问题是解决本题的关键考查学生的转化能力 8已知 x，y 满足不等式组 ，关于目标函数 z=|xy|+|x2y2|最值的 说法正确的是（ ） A最小值 0，最大值 9 B最小值 2，最大值 9 C最小值 3，最大值 10 D最小值 2，最大值 10 【分析】作出不等式组对应的平面区域，讨论 x2y2 和 xy 的符号，取得极大值， 利用数形结合进行求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图， 作出 x2y2=0 对应的直线，则由图象知平面区域都在直线 x2y2=0 的左上方， 第 12 页 老王伴你 飞 即 x2y20， 则 z=|xy|+|x2y2|
16、=|xy|（x 2y2） ， 当 xy0，对应的区域在直线 xy=0 的下方，即平面区域 ABED， 此时 z=|xy|+|x2y2|=|xy|（x 2y2）=xyx+2y +2=y+2， 即 y=z2，平移直线 y=z2，得当直线经过 A（1，0）时，y 最小，此时 z 最小， 即 z=2， 当经过 E 时，y 最大，此时 z 最大， 由 得 ，即 E（ ， ） ，此时 z= +2= ，即此时 2z ， 当 xy0，对应的区域在直线 xy=0 的上方，即平面区域 CDE， 此时 z=|xy|+|x2y2|=|xy|（x 2y2）= x+yx+2y+2=2x+3y+2， 即 y= x+ ，平移
17、直线 y= x+ ，得当直线经过 D 时，直线的截距最小， 此时 z 最小， 第 13 页 老王伴你 飞 由 ，得 ，即 D（1，1） ，此时 z=2+3+2=3， 当直线经过 C 时，直线的截距最大，此时 z 最大， 由 得 ，即 C（1，3） ，此时 z=2+33+2=9，即此时 3z 9 ， 综上 2z9， 即最小值 2，最大值 9， 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分类讨论以及数形结合，利用平 移法是解决本题的关键综合性较强，难度较大 9设实数 x，y 满足不等式组 ， （2，1）是目标函数 z=ax+y 取最大值 的唯一最优解，则实数 a 的取值范围是（ ） A （
18、0 ，1 ） B （0，1 C （ ，2） D （ ，2 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用 2，1 ）是目标函数 z=ax+y 取最大值的唯一最优解，得到直线 y=ax+z 斜率的变 化，从而求出 a 的取值范围 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC） 则 A（1，0 ） ，B（2，1 ） ，C（0，5） 由 z=yax 得 y=ax+z，即直线的截距最大， z 也最大 平移直线 y=ax+z，则直线的截距最大时，z 也最大， 当 a=0 时，y=z 在 C 的截距最大，此时不满足条件， 当 a0 时，直线 y=ax+z，在 C 处的截
19、距最大，此时不满足条件 当 a0 时，直线 y=ax+z，要使， （2，1）是目标函数 z=ax+y 取最大值的唯一最 优解， 则 y=ax+z 在 B 处的截距最大，此时满足目标函数的斜率 a 小于直线 BC 的斜率 2， 第 14 页 老王伴你 飞 即 a2 ， 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形 结合的数学思想是解决此类问题的基本方法 10非空集合 A=（x，y） ，当（x，y）A 时，对任意实数 m， 目标函数 z=x+my 的最大值和最小值至少有一个不存在，则实数 a 的取值范围是 （ ） A （ ，2 ） B0，2） C2，+） D （2
20、，+） 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用特殊值法，分别判断当 a=0 和 a=1 时，不等式组对应的区域是否满足条件利用排除进行求解即可 【解答】解：若 a=0，则不等式组对应的平面区域如图，此时平面区域为半封 闭区域，则对任意实数 m，目标函数 z=x+my 的最大值和最小值至少有一个不 存在，故 a=0 成立，排除 C，D； 第 15 页 老王伴你 飞 若 a=1，则不等式组等价为 ，对应的区域为： 此时平面区域为半封闭区域，则对任意实数 m，目标函数 z=x+my 的最大值和 最小值至少有一个不存在，故 a=1 成立， 排除 B， 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，由于含有参数，利用特殊值法是解决 本题的关键综合性较强，有一定的难度
