1、1 由 xy22的四分之一圆弧 OB 及折线 BAO 组成顺时针闭曲线 L，计算 (1) L xyds. (2) Lydx3 分析 闭曲线 L 由三部分组成，因此应分三部分作积分，对弧长的曲线积分(1)与曲线 方向无关，而积分(2)要注意曲线方向是顺时针方向的对于 BA，因为 =1,以 y为参数所 以 BA 段的曲线积分只能化为对 y的定积分，同理 AO 段，只能化为对 x的定积分 解 先计算积分(1)，写出各段曲线方程，对应各段曲线方程，求出 dsAOB (用参数方程较好)： txcos1, tin, ttds 2co)in( (t2 ). BA： x=1(以 y为自变量)( 10y) dy
2、ds01， AO： y=0(以 x为自变 量) ( 10) dxs，于是A 11002(cos)inLBOstdx = 2i1cott + . 再计算积分(2)，写出各段曲线方程，直接化为定积分计算如下： 弧段 OB: tytxsin,co1,t 由 变到 2，tdytdxs,sin . BA： =1，自变量 由 =1 变到 =0 , dyx0, . AO: y=0, 自变量 x由 =1 变到 =0, , x. 于是 A 33LBOxdydy = 012 sinicos1 dyttt + 0123dxx . 积分(2)若用格林公式将更为简便 因为 231yPxQ ，再注意曲线的方向是顺时针方向
3、，对于它所围成的区域 D 而言，是反向的，因此格林公式中二重积分前应取负号，于是 0 A B DLDdxydxypQydx)2()(3 =224Ddxy . 注 利用格林公式计算曲线积分常常是简便的，但是在应用格林公式时应注意，围成闭区 域 D 的曲线 L 的方向对 D 而言必须是正向的，否则在公式左端应取负号，如上题中的积分Lydx3 ， 2 证明 dyxdx)cos()sin(22在整个 xo面上是某个二元函数的全微分， 并求出这样一个二元函数 ,yu. 解 x QyPsi 在 o全平面上恒成立，所以 dydx)cs()n(22 是某个二元函数 ),(yxu的全微分，且),0( 2cos(
4、in,yx dxu .y2)s(), xco21 三、总结 1 曲线积分的计算方法是化为定积分计算，化为定积分计算的关键是选择恰当的参 数方程，并注意积分限的确定，这也是两类曲线积分计算方法的重要区别. 2 对于坐标的曲线积分 QdyPxL 应首先考察积分是否与路径无关，即考察yPxQ 是否恒成立. (1) 当在单连通区域内恒成立时, 若 L为闭曲线，则由等价命题可知 0LQdyPx 若 为非闭曲线，则积分与路径无关，可选取较为简洁的路径代替 L作积分，通常是 选取平行于坐标轴的直线代替 , (2) 当 y PxQ 时, 若 P，Q 具有连续的偏导数，可以直接应用格林公式，当然格林公式中二重积 分的计算应比原曲线积分的计算简便，
