1、1 辽宁省瓦房店市高级中学 2018-2019 高二下学期期末考试文数试 卷 考试时间： 120 分钟 满分： 150 分 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题 目要求 .) 1. 已知集合 A 1,1,3 ， B x y lg x ，则 A B ( ) A. 1 B. 3 C. 1,1,3 D. 1,3 2. 已知复数 z 4i 3 (其中 i 为虚数单位 )， 则其共轭复数 z ( ) A. 4i 3 B. 3 4i C. 3 4i D. 3 4i 3. 以下运算正确的是 ( ) A. lg 2 lg3 lg 6 B. (lg 2
2、) 2 lg 4 C. lg 2 lg3 lg5 D. lg 4 lg 2 lg 2 4. 地铁某换乘站设有编号为 A， B， C， D， E 的五个安全出口 . 若同时开放其中 的 两个安全出口， 疏散 1000 名乘客所需的时间如下 : 安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E 疏散乘客时间（ s） 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 ( ) A. A B B C D D E 5 一 组数据中的每一个数据都减去 10， 2 得一组新数据，若求得新数据的平均数是 1， 方差是 4 ，则原来数据的平均数和方差分别是 ( ) A. 11， 4
3、 B. 9， 4 C. 11， 15 D. 9， 6 6 若 a b ，则下列不等式不恒成立的是 ( ) A. a b 0 B. | a | +b 0 C. 1 1 0 a b D. a3 b 3 0 7 “ (x 3)( x 5) 0”是 “ x 3 ”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 直 线 y kx 2k 与 圆 ( x 2)2 ( y 2)2 4 的位置关系是 ( ) 3 0 0 0 A. 相交 B. 相切 C.相交或相切 D. 相离 9. 下列说法正确的是 ( ) A. 若 |a|=|b|， 则 a 、 b 的长
4、度相等且方向相同或相反 B. 若 向 量 AB 、 CD 满 足 | AB | | CD |， 且 AB 与 CD 同向，则 AB CD C. 若 a b ，则 a 与 b 可能是共线向量 D. 若非零向量 AB 与 CD 平行，则 A、 B 、 C 、 D 四点共线 10. 用反证法证明“ x R, 2x 0 ”，应假设为 ( ) A. x R,2 x0 0 B. x R, 2x0 0 C. x R,2 x0 0 D. x R, 2 x0 0 11. 设 S 为数列 a 的前 n 项和， a 1 2 22 ，则 S 的值为 ( ) n A. 2n 1 n B. 2n 1 1 n C. 2 n
5、 n 2 n D. 2n 1 n 2 12. 设斜率为 3 的直线过抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点，与 C 交于 A, B 两点， 且 | AB | 16 ，则 p ( ) 3 1 A. 4 B. 2 C. 1 D. 2 2 n 1 4 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分 ) 13. 将一枚质地均匀的硬币掷出 10 次，结果有 7 次正面向上，则本次试验中，正 面向上的频率为 x 2y 2 14. 若 实 数 x, y 满足不等式组 x 0 y 0 ，则 z 3 x y 的最小值是 15. 函 数 f ( x) 3 sin x sin 2 x 在 x R 上的
6、最小值等于 16. 已知函数 f ( x) sin x ， 若 方 程 3( f ( x) 2 f ( x) m 0 在 (0, 5 6 ) 内有两个不同的 解，则实数 m 的取值范围为 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17 (12 分 ) 已知在 ABC中， a、 b、 c分别为角 A、 B、 C 的 对 边 ， 且 b2、c 2 是关于 x 的一元二次方程 x2 (a2 bc)x m 0 的两根 5 (1) 求 角 A的值； (2) 若 a 3 ，求 2b c 的取值范围 18(12 分) 随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理
7、服务产品，如蚂蚁 金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗 下“京东小金库” . 为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取 1200 名使 用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表： 分组 频数（单位： 名） 使用“余额宝” x 使用“财富通” y 使用“京东小金库” 80 使用其他理财产品 120 合计 1200 已知这 1200 名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多 200 名 . (1)求频数分布表中 x ， y 的值； (2)若在 1200 名使用理财产品的市民中， 从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层 抽样方法共抽取
8、5 人，然后从这 5 人中随机选取 2 人，试求 2 人中， 1 人使用 “余额宝 ”， 1 人使用 “财富通 ”的概率 . 19 (12 分 ) 6 如图， 在三棱锥 P ABD中， 平面 PAD 平面 ABD， P AP PD ， AP PD BD 2 ， AB 2 3 (1)求三棱锥 P ABD的体积； (2)求 点 D 到 平 面 PAB 的距离 D A B 第 19题图 7 20 (12 分 ) 已知椭圆的焦点在 x 轴上，焦距为 4， 并且经过点 5 3 . (1)求该椭圆的标准方程； (2)该 椭 圆 上 是 否 存 在 一 点 ， 它 到 直 线 少？ 21 (12 分 ) l
9、 : x y （ ， ） 2 2 10 0 的距离最小？最小距离是多 已知函数 f ( x) mex x2 . (1) 若 m 1，求曲线 y f (x) 在 (0, f (0) 处的切线方程； (2) 若 关 于 x 的 不 等 式 f ( x) x(4 mex ) 在 0, ) 上恒成立， 求实数 m 的取值范围 . 选考题：共 10 分 . 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答 . 若多做，则按第一题 计 分 . 22 (10 分 )已知直线 l 的参数方程为 3 x 1 t 5 4 y 2 t 5 （ t 为参数） ， 以 原 点 为 极 点 ， x 轴 的正半轴为极轴，建立极坐
10、标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 cos 4 (1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，求 AB 23(10 分)设函数 f ( x) | 2 x a | | x 1| ，其中 a R . 8 (1)当 a 3 时，求不等式 f ( x) 6 的解集； (2)若 f (x) f ( x) 5 恒 成 立 ， 求 a 的 取 值 范 围 . 9 高二文数参考答案 一、选择题 1 D 2 B 3 D 4C 5A 6C 7 A 二、填空题 8C 9 C 10B 11D 12 B 130.7 14 1 15 2 16 ( 2,
11、1 ) (0, 1 ) 三、解答题 17 (本题 满分 12 分 ) (1) 在 ABC中， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边， 4 12 且 b 2、 c2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ( a2 bc) x m 0 的两根 故： b2 c2 a2 bc ， 所 以 ： cos A b2 c2 2bc a2 1 ， 2 由于： 0 A ，所以： A -(6 分 ) 3 (2) 由 于 ： a 3 , A 2 ，所以： B C 3 3 1 2 所以： 0 B 3 ， 则： B 所以： sin B 1 6 6 2 2 6 又 2 R a sin A 2 ，所以： 2b 2 2
12、R sin B 4sin B, c 2 Rsin C 2sin C ， 10 故： 2b c 4sin B 2sin C 4sin B 2 2sin 3 B 2 3 sin B 6 ， 故： 3 2b c 2 3 -(12 分 ) 18 (本 题 满 分 12 分 ) x y (1) 据题意，得 x y (2)据 600: 400 3: 2 ， 200 1200 200 x ，所以 y 600 400 . -(4 分 ) 则被抽取的 5 人中使用 “余额宝”的有 3 人，记为 a1 ,a2 , a3 ； 使用“财富通”的有 2 人，记为 b1 , b2 . -(6 分 ) 基本事件空间记为 ，
13、 记事件 A ”所选 2 人中， 1 人使用 “余额宝 ”， 1 人使用 “财富通 ” 则 ( a1 , a2 ),( a1 , a3 ),( a2 , a3 ),( b1 ,b2 ),( a1 ,b1 ),( a1, b2 ),( a2 ,b1),( a2 ,b2 ),( a3 ,b1),( a3, b2 ) 11 A ( a1, b1),( a1 , b2 ),( a2 ,b1),( a2 , b2 ),( a3 , b1 ),( a3 ,b2 ) -(10 分 ) 所以 P( A) 6 3 -(12 分 ) 10 5 19 (本题 满分 12 分 ) (1) AP PD ， AP PD
14、2， AD 2 2 ， 又 BD 2 ， AB 2 3 ， AD 2 BD2 AB2 ，则 BD AD ， 又平面 PAD 平面 ABD ，且平面 PAD 平面 ABD AD ， BD 平面 PAD ， (4 V V 1 S BD 1 1 2 2 2 分 ) 4 ； - (6 分 ) P ABD B PAD 3 PA D 3 2 3 (2)由 (1)得： BD 平面 PAD ， BD PA， 又 AP PD ， DB DP D , PA 平面 PBD. PA PB , PB AB 2 AP 2 12 4 2 2 ， 1 4 d 4 4 2 VD PAB VB PAD ， 即 3 S PAB d
15、 3 ， S APB 1 2 2 2 2 20 (本题 满分 12 分 ) (1) 由题意 设椭圆的方程为 x2 y2 a 2 b2 1(a b 0) ， (12 分 ) 12 c 2 5 则 2a ( 2)2 9 ( 5 2) 2 9 2 10 ， a2 b 2 2 4 2 4 c2 所以 a 10, b 6 ，所求椭圆的标准方程为 2 2 x y 10 6 1 -(4 分 ) (2)设 直 线 m 的 方 程 为 x y n 0 ， x2 y2 由 10 6 x y n 1 ， 消 去 y 得 8 x2 0 10nx 5n2 30 0 ，由 0 ，解得 n 4 ， 13 x 当 n 4 时
16、，直线 m: x y 4 0 与 直 线 l 间 的 距 离 d 10 4 2 7 2 ， 当 n 4 时，直线 m : x y 4 0 与 直 线 l 间 的 距 离 d 10 4 2 3 2 ， 此时椭圆上的点坐标为 ( 5 , 3) ，所以椭圆上存在一点 ( 5 , 3 ) 到直线 l 的最小距离 2 2 2 2 是 3 2 ( 求出最小值 3 2 即可 ) -(12 分 ) 21 (本题 满分 12 分 ) (1) 依 题 意 ， f ( x) ex x2 ， 故 f (x) ex 2x . f (0) 1， 而 f (0) 1 . 故所求切线方程为 y 1 x ，即 x y 1 0
17、. -(4 分 ) (2) 由 mex x2 x 4 mex 得 me ( x x2 1) x2 4x 4x . 即问题转化为当 x 0 时， m ex (x 1) m ax . -(6 分 ) x2 4x ( x 2) x2 2 x 2 令 g( x) ex ( x 1) ， x 0 ， 则 g (x) ( x . 1)2 ex 14 由 g ( x) 0 及 x 0 ， 得 x 3 1 . 当 x (0, 3 1) 时， g ( x) 0 ， g (x) 单调递增； 当 x ( 3 1, ) 时， g ( x) 0 ， g (x) 单调递减 . -(10 分 ) 所以当 x 3 1 时 ，
18、 g(x) max g( 3 1) 2e1 3 . 所 以 m 分 ) 2e1 3 . 即 实 数 m 的取值范围为 2e 1 3 , .-(12 22 (本题 满分 10 分 ) x (1) 直 线 l : y 1 3 t 5 2 4 t 5 （ t 为参数） ， 消去 t 得： y 2 4 (x 1) 3 即： 4x 3 y 2 0 曲线 C : 2 2 cos 4 ，即 r 2cos q 2sin q 15 又 x2 y2 , cos x, sin y ， 2 2 cos 2 sin 故曲线 C : x2 y2 2x 2 y x 0 1 3 t -(5 分 ) (2)直 线 l 的参数方
19、程为 5 y 2 4 t 5 （ t 为参数） 代入曲线 C : x2 y2 2x 2 y 0 ， 消 去 x, y 得： t 2 4t 3 0 t1 3, t2 1 由 参 数 t 的 几 何 意 义 知 ， 23 (本题 满分 10 分 ) | AB | t1 t2 3 1 2 -(10 分 ) (1)当 a 3 时 ， f ( x) 2x 3 x x 1 6 3x 1 2 6 或 3 x 1 2 或 x 4 6 x 3 2 ， 3x 2 6 解得 8 x 4 ，综上所述，不等式 f ( x) 6 的解集为 8 , 4 . -(5 分 ) 3 3 3 3 (2) f ( x) f ( x) | 2 x a | | x 1| | 2 x a | | x 1| (| 2 x a | | 2 x a |) (| x 1| | x 1|) | 2a | 2 ，所以 | 2a | 2 5 3 得 a 2 或 a 3 ，即 a 的取值范围是 2 , 3 3 , 2 2 . -(10 分 )
