1、1 有关抛物线焦点弦问题的探讨 过抛物线 (p0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A 、B 两点 pxy2 ),(1yx),(2y 结论 1： pxAB21 pxpxF212)()( 结论 2：若直线 L 的倾斜角为 ，则弦长sinAB 证: (1)若 时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径,2结 论 得 证pAB (2)若 时,设直线 L 的方程为： 即 代入抛物线方程得2tan)(pxy2cotpyx 由韦达定理0cot2y ,2121 由弦长公式得 222 sin)ct(cotpyAB 结论 3： 过焦点的弦中通径长最小 的最小值为 ,即过焦点的弦长中通径长
2、最短.psin21si2 结论 4： )(83为 定 值ABSo 2 8 sin2isin21sin21sin213 0PABS ppABOFFOFSABA 结论 5： (1) (2) x1x2= 21py4 证 4)(, 2212121 Pyx 结论 6：以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 AA1， 过 B 点作准线的垂线 BB1， 过 M 点作准线的垂线 MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 故结论得证 221 ABF 结论 7：连接 A1F、B 1 F 则 A1F B1F FAOFO11111/, 同理 A1F B1 F90
3、111O 结论 8：（1）AM 1 BM1 （2）M 1F AB （3）M2 （4）设 AM1 与 A1F 相交于 H ，M 1B 与 FB1 相交于 Q 则 M1，Q，F ，H 四点共圆 （5） 2224B 证：由结论（6）知 M1 在以 AB 为直径的圆上 AM1 BM1 为直角三角形， M1 是斜边 A1 B1 的中点 1 1FAFFA 90111 901M M1F AB AM1 BM1 BA2FB9011又BA 所以 M1，Q，F,H 四点共圆，901 2221A 2122 4MF 结论 9： （1） O、B 1 三点共线 （2）B，O，A 1 三点共线、A （3）设直线 AO 与抛物
4、线的准线的交点为 B1，则 BB1 平行于 X 轴 （4）设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A1，则 AA1 平行于 X 轴 3 证：因为 ，而pykypxykoBoA 22121,21p 所以 所以三点共线。同理可征（2） （3） （4）12oBoAkpyk 结论 10： FB1 证：过 A 点作 AR 垂直 X 轴于点 R，过 B 点作 BS 垂直 X 轴于点 S，设准线与 轴交点为 E,x的 倾 斜 角 为因 为 直 线 L 则 cos1cosPAFAFPEFR PAFcos1 同理可得 Bs1pB21 结论 11： 证: ABEAFFAEAF 11111 ,/ EBA EB90 1
5、1111 相 似 于AE PQF90B11 平 分 角即 0KXE BEF BEA轴 对 称关 于和 直 线直 线 (4) 90A F2 时 ，当 2pxy 2p-xkyL 将 其 代 入 方 程的 方 程 为时 ， 设 直 线当 k ),B(),( 04p2)xp(k-x 2212122 则设得 x1x2= 假设4 2y K BEA1BEApx 则 -k 2p-x x2p-y 2121121即 BE()PQ () (3)K04 , 22线 段 平 分 角当 时 当 时 不 垂 直 于 4 p21|CD|AB122221212 11kp01k4pxpxk k结 论 得 证假 设 错 误不 可
6、能0 结论 12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦 AB、CD，则 推广与深化： 深化 1：性质 5 中，把弦 AB 过焦点改为 AB 过对称轴上一点 E（a,0） ，则有 pa2y1 证：设 AB 方程为 my=x-a，代入 px2y得： 0ap2my2， 深化 2： 性质 12 中的条件改为焦点弦 AB 不垂直于 x 轴，AB 的中垂线交 x 轴于点 R，则1|ABFR 证明：设 AB 的倾斜角为 a，直线 AB 的方程为： )2px(tgay ， 代入 px2y得： p2)4x(tg 2 ， 即： 0 p)act(2 由性质 1 得 asin2pctg2x|AB ， 又设 AB 的中点为
7、 M，则 |acos ptg|csx|F| 21 ， asin p|cotg|as|FE| 22 ， 1|ABR 深化 3：过抛物线的焦点 F 作 n 条弦 n21BA、 ，且它们等分周角 2，则有 （1） n1iii|B|A| 为定值； （2） 1ii|为定值 5 证明：（1）设抛物线方程为 aFxA,cos1p1 由题意 n1n2aFx,naFxAn32 ， 所以 221 p asico1p)cos(1|B| ， 同理 2nn222 )n1(si|FB|A|,)a(sin|F|A| 易知 )a(si)a(si)na(siin 2 ， 22 n1i 22ii pnp1inpi|FB|A| （2） asico1)acos(1as p| 221 ， p2 )n(si|BA|,p2asin|BA|1n ， 4 )1a(si)(siai|n1i 2i
