1、 高等数学 历年试题集及答案 (2005-2016) 1 2005 年广东省普通高等学校本科插班生招生考试 高等数学试题 一、单项选择题（本大题共 5 小题,每小题 3 分，共 15 分） 1、下列等式中，不成立的是 A、 B、1)sin(lmx 1sinlmx C、 D、0si0x i 20x 2、设 是在（ ）上的连续函数，且 ，则 =)(f, cedf2)(dxf)( A、 B、 C、 D、2xecex2x21Cex21 3、设 ，则fcos)(afax)(lim A、- B、 C、- D、incosasinxsin 4、下列函数中，在闭区间-1，1上满足罗尔中值定理条件的是 A、 x
2、B、 C、 D、|)(f 2)(xf 21)(xf3)(f 5、已知 ，则 =yuu A、 B、 C、 D、12)(x )ln(2xy1)(xy)ln(2xy 二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分） 6、极限 = 。)( 1limxxe 7、定积分 = 。21sind 8、设函数 ，则 = 。xfl)(1)f 9、若函数 在 x=0 处连续，则 a= 。1 (,0,2).xaf 10、微分方程 的通解是 。eydx 2 三、计算题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 11、求极限 )。1(22nlimn 12、求极限 。02x l)td 13、已知 ，
3、求 。1lnarctn2xy y 14、设函数 是由方程 所确定的隐函数，求 。)(x 2larctxdxy 15、计算不定积分 。dx)sin3123 16、计算定积分 。2ln1tde 17、求由两条曲线 及两条直线 所围成的平面图形绕 x 轴旋转xysin,co6,0x 而成的旋转体体积。 18、计算二重积分 ,其中积分区域 。Ddx)ln(2 41),(2yxyD 19、求微分方程 满足初始条件 的特解。034y 60,2)(y 20、已知 ，求全微分 。xez)sin(dz 四、综合题（本大题共 3 小题，第 21 小题 8 分，第 22、23 小题各 6 分，共 20 分） 21、
4、设 ， 21)(xf （1）求 的单调区间及极值； （2）求 的闭区间0，2上的最大值和最小值。)(xf 22、证明：当 时， 。t011ln()tt 23、已知 ，且 ，求 f(0)。2)(f 0 5sinxdfxf 3 2005 年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题答案及评分参考 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、D 2、B 3、C 4、C 5、A 二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分） 6、1； 7、0； 8、 9、 10、82e)(2cxe 三、计算题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 11、
5、解： 1(22limnnn 211 22linn 12、解： 20 )(limxdtxx20)(lnixdtxx 01 )l()1(l)1(lnm02020 xxxx 13、解： 22ln(arct y 23222 222 1lnl11l11 xxxx xxx 14、解法一：设 ，则lnarct),( yyF22 11, xxyx2yx 2 分 5 分 2 分 5 分 2 分 2 分 5 分 2 分 4 22 11),( yxxyxFy 2 故 （xy） 。, ydxy 解法二：方程 可写为 2lnarctx )ln(21arct2yxy 视 ，上式两边对 x 求导得)(xy ，2211yx
6、即 ，22yy 所以 ，推出 （xy）x)( yxdy 15、解： xx23sin11 cx xot3ln32 （每项的原函数求对各得 1 分，总体答案写对得 5 分） 16、解：令 ，则ue 221, udte 2lnl1dt32)( 6 分643arctn1 312 uu 17、解：由两条曲线 及两条直线 所围成的平面图形xysi,o,0x 如图所示（要画出草图，不画图不扣分） ，依题意，旋转体的体积为6022sincdxV 5 分 43ios6060 d 18、解：采用极坐标变换 ，则sin,coyrx 5 分 4 分 3 分 4 分 5 分 1 分 3 分 6 分 3 分 5 Ddxy
7、2ln 201lnrd 3l8l1 22 r 19、解：方程 的特征方程为034y 解出 21,321 可知方程的通解为 xxecy 由上式可得 231 用初始条件 代入上面两式得 6)0(,)(y63,21c 解出 故所求的特解为,421c xey4 20、解： xxyeyxz)os(xy2c 故 dyzxdz dyexyxeyx 2)cos(1)cos( 四、综合题（本大题共 3 小题，第 21 小题 8 分，第 22、23 小题各 6 分，共 20 分） 21、解： 的定义域为 ， 21)(xf),(21)( xf 令 ，解出驻点（即稳定点）0 ,21x 列表 x )1,(-1 （-1，
8、1） 1 ),()(f 0 + 0 x 单调减 极小 单调增 极大 单调减 可知极小值 ef1)( 3 分 5 分 2 分 3 分 5 分 2 分 4 分 5 分 2 分 4 分 6 极大值 ef1)( （2）因 在 0，2上连续，由（ 1）知 在（0， 2）内可导，且在（0，2） ，内只有一xf )(xf 个驻点 （极大值点） ，因 ，且12,6,0)(efff 21(0)()()fffee 故 在闭区间0，2上的最大值为 ，最小值为 21)(xeff)(0)(f 22、证明：设 则ln,)(f 1,)( txf 由拉格朗日中值定理知，存在一点 ，使 ，即 ，)()1(ftf1lnt 又因
9、，故ttltt 23、解：应用分部积分法 0sin)(xdfx 00 cos)(sin)(sin)( xdfxfxdf ),(i)(co)(i)( 00 fffff 由题意有 6 分3,2,50ffff 所 以 5 分 8 分 1 分 4 分 6 分 2 分 4 分 7 2006 年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题给出的四个选项，只有一项是 符合题目要求的） 1、函数 在 x = 0 处1)(3xf A. 无定义 B. 不连续 C. 可导 D. 连续但不可导 2、设函数 在点 x0处连续，且 则 =)(f
10、.4)(0lim0xfx )(0xf A. -4 B. 0 C. D. 41 3、设函数 若 存在，则 = 1(),)sin,2xafx)(li0xfxa A. B. C. D. 21e123e21 4、设 ，则 =ln()zxydz A. B. C. D. d1dyx1xydydx 5、积分 0xe A. 收敛且等于-1 B. 收敛且等于 0 C. 收敛且等于 1 D. 发散 二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分） 6、若直线 是曲线 的水平渐近线，则 = 。4y12xaya 7、由参数方程 所确定的曲线在 t=0 相应点处的切线方程是 。te x,sin 8、积分
11、。(coi)dx 9、曲线 及直线 x = 0， x = 1 和 y = 0 所围成平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积 V =xey 。 10、微分方程 的通解是 。45y 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分。解答应写出演算步骤和必要的文字说明） 8 11、求极限 。2ln)1l(imn 12、计算不定积分 。)(xd 13、设函数 。y，y求21sin2 14、函数 y = y(x)是由方程 所确定的隐函数，求 在点（1，0）处的值。2xeydxy 15、计算定积分 。120l)d 16、求二重积分 ，其中积分区域 。DxyoyxD,),(2 17、设函数 ，求
12、 。zarctn1 2yx 18、求微分方程 满足初始条件 的特解。xylt ex6 四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 14 分，第 20 小题 8 分，共 22 分） 19、已知函数 是 在 上的一个原函数，且 f(0)=0.)(f 2341505g),( （1）求 ；x （2）求 的单调区间和极值；)(f （3）求极限 。 40sinlm()xtdf 20、设 ， 都是 上的可导函数，且 ， g=(0)(xfg), 1)0(,)(,)( fxgxf =0。试证： 。,(1(22x 9 2006 年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题答案及评分参考 一、单项选择题（本
13、大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、D 2、B 3、B 4、A 5、C 二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分） 6、8 7、 x+2y-3=0 8、4 9、 10、)1(2e )sinco(212xey x 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分） 11、解法一： )2ln(ln)12(l imimnn 21ln )21l(l2ienn 解法二： nnnn 1 2l)l(l)2(l imim2)(lx 解法三： 2ln)1l(2ln)1(l ii xnnxxlim 2 分 6 分 3 分 2 分 4 分 6 分 1 分 2 分 1
14、0 21lim 1)()2(li22xxxx (说明:不转换成函数极限,直接用洛必达法则计算可以不扣分) 12、解法一： xdxd12 = carsin 解法二： )21()(41)1( 22 xddxxd = c)arcsin( 解法三：设 = t，则 x = 2tdttd1)(2 = =t2ctarsin = cxarsin 13、解： = ，)1(oi2)1(sin22xxsin ，l 2lnsi1)2(1sin2)1(sin22 xxxdxy 14、解法一：将方程 两边对 x 求导数得yey ，2xy 4 分 5 分 6 分 2 分分 6 分 2 分 6 分 1 分 3 分 5 分 6
15、 分 3 分 5 分 6 分 1 分 4 分 11 则 xyxey)(2 yexyxeyd22 。10xyd 解法二：将方程 两边取自然对数得2ye 2 21)ln(yxy 则 )(2 yexyxdy22 .10xyd 解法三：设 F（x,y）= ，2yxey 则， ，22 xx ，22 yxeyeFyx yexyxeyxedxyyyyx 222 .10xy 15、解： dxxxd )1ln()1ln()ln( 021 10 22 .12)ln( )l(002xd 5 分 6 分 1 分 4 分 5 分 6 分 1 分 2 分 3 分 5 分 6 分 2 分 4 分 5 分 6 分 12 16
16、、解法一：D= 如答图 1 所示0,1),(2xyx DD ydxd10222.1523)53()(1 1102 ydyxy 解法二：D= 如答图 1 所示0,),(2xyx Ddd 221042cos .152sin3 sinco51ico5122240 dd （说明：本题不画图，不扣分） 17、解： )(12yxxyz = ，2yx.214)(2)(122yxz yx 18、解： 原方程可变形为： ，xdycotln 1 分 3 分 4 分 5 分 6 分 1 分 3 分 4 分 5 分 6 分 2 分 3 分 5 分 6 分 2 分 13 1sinllcotlncxyxdy （说明：没写
17、绝对值不扣分） 化简得： xcesin 将初始条件代入得： 22 1c 故所求的特解为 .xeysin 四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 14 分，第 20 小题 8 分，共 22 分） 19、解：（1） ,15205)( 234xxgxf .5)(,0 .5)345 34xxfc cxd （2） ，)1(3120 2xg 令 ，解得 x=0， x=1， x=3.)(xf 列函数性态表如下x （ 0, ） 0 （0，1） 1 （1，3） 3 （3， ）y + 0 + 0 0 + 无极值 极大值 极小值 （说明：不列表，分别讨论单调性不扣分） 故 f(x)在区间（ ）及（3， ）单
18、调上升，在区间（1，3）单调下降；1, f(x)的极大值 f(1)=1，极小值 f(3)=27。 （3）解法一： )(sinlm)(sinl4004xfftdxx .01520sinl542340xxx 4 分 5 分 6 分 1 分 3 分 4 分 5 分 8 分 9 分 11 分 12 分 14 分 14 解法二： )(sinlm)(sinl4004xfxftdxx.0152lii2340xxx 20、证明：设 ，)()(22xgfxF 则 。)( .0)(2)()(,xfgxfxf 故 =c，c 为常数。2F 又 ,0)(,10f 。),(122 xgxc 14 分 1 分 3 分 5
19、分 6 分 8 分 11 分 12 分 14 分 15 2007 年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题给出的四个选项，只有一项是 符合题目要求的） 1、函数 的定义域是1ln2)(2xxf A.（ ，0） （0， ） B.（ ，0） C.（0， ） D. 2、极限 xx2sin)(lim2 A. 等于-1 B. 等于 0 C. 等于 1 D.不存在 3、设 是 在（0， ）内的一个原函数，下列等式不成立的)(Ff A. B. CxFdx)(lnlnCxFdxf )(sin)(sinco C. D. f 1)1
20、(22 xx22 4、设函数 ，则下列结论正确的是xt0 A. 的极大值为 1 B. 的极小值为 1 )( )(x C. 的极大值为 D. 的极小值为 x2 2 5、设 则 ).0,(,0,),(3yxyf )0,(xf A.等于 1 B.等于-1 C.等于 0 D. 不存在 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 6、极限 。 xxlim 7、设 ，要使 在 处连续，应补充定义 = 。321)(f )(xf3)3(f 8、设函数 ，则其函数图像的水平渐近线方程是 。21xey 16 9、微分方程 的通解是 y= 。042ydx 10、设 ，则全微分 du= 。)ln(
21、2zu 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分） 11、求极限 的值。xxta1lim0 12、设 ，求二阶导数 。22lncosyy 13、设函数 由方程 确定，求 。)(x0lnarcsi32exx 0xdy 14、计算不定积分 。dx 2341)(2 15、计算定积分 。 3201dx 16、设平面图形由曲线 与直线 及 围成，求该图形线 y 轴旋转所得的旋转体体积。3y0y2x 17、设 ，计算 的值。yxxf arctn),( yxff),(),( 18、计算二重积分 ，其中积分区域 。Dd210,8,2yD 四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 10
22、 分，第 20 小题 12 分，共 22 分） 19、若函数 在 内连续，且满足 ，求 。)(xf),xdtff02)(2)( )(xf 20、设函数 ， xf1 （1）求 ；)(f （2）证明：当 x0 时， 单调增加。)(xf 17 2007 年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题答案及评分参考 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、C 2、B 3、D 4、D 5、A 二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分） 6、 7、 8、y=1 9、 10、e1 xcxc2sino122zyxdd 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题
23、 6 分，共 48 分） 11、解：应用洛必塔法则， 原式= xxsincolim0 = = xxxsicosili0 =0. 12、解： .221sin1sin2 xxy 说明：正确计算 和 各得 2 分)(co2)(l .2)1(s xy 13、解：将 代入方程 得：0x 0lnarci3yex .)(03xxyy 方程 两边对 x 求导数得：larcsin32e .0rsil122 dydxyyx 将 代入上式得：,0 .323200xxdyy （3 分） （6 分） （4 分） （6 分） （2 分） （4 分） （6 分） 18 14、解：原式 dxdxdx2341)2(12 .Cx
24、 xarcsin)(6ln2 （说明：正确计算 ）分各 得和、 241)3(12dxdxd 15、解法一：设 ，则 时， ； 时， .txan0xt3t 302302secan1 tdtd = 302 =sec)1(sectdt = 330 t = 4 解法二：原式= 3022)1(1xdx = )(2302x = .341)(32102 3x 16、解：如答图 1 所示，所求旋转体的体积为 80803 22dyVy .5643 803 17、解：由题意知 ，yxxfarctn),( ,1, 22yxyf （6 分） （2 分） （4 分） （6 分） （2 分） （4 分） （6 分） （3
25、 分） （6 分） （2 分） 19 .1),( 22yxyxf .1),(),( 22yxfxfy故 18、解：如答图 2 所示， Ddtyx1 = 022r = 2022)1(dr = 21 = 四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 14 分，第 20 小题 8 分，共 22 分） 19、解：当 时，有0x .0)(0)()(02fdtff 由题意知 可导， 等式 两边对 x 求导数得：xtff02)(2)( .2)( xfxf 记 ，则有 =0.fy 0xyCdedx22xx2eexx221 .xC221,010yx （4 分） （6 分） （3 分） （6 分） （1 分）
26、（4 分） （6 分） （8 分） 20 故 .21)(2xexf 20、解：（1） 两边取对数得 ),1ln()(lxxf 两边对 x 求导数得 ,)l()(f 则 .xxf 1ln1) （2） （证法一）当 x0 时， 记 ，在 上应用拉格朗日中值定理得gl)(, 1,)(1xgxx 即 0，lnxx1ln 于是 0，xf 1ln1)( 故当 0 时， 单调增加.)(f （证法二）当 0 时，记 ，xxx1ln)( 则 0，22)()1()( 所以 在（0， ）内单调下降.x 又 01lnim)(li xxx 当 0 时， 0，于是 0，)( )()( xf 故当 0 时， 单调增加.xx
27、f （10 分） （2 分） （6 分） （10 分） （12 分） （8 分） （10 分） （12 分） 21 2008 年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题给出的四个选项，只有一项是 符合题目要求的） 1、下列函数为奇函数的是 A. B. C. D. x2 xexexsin 2、极限 =xx 10lim A. e B. C. 1 D.-11e 3、函数在点 处连续是在该点处可导的0 A.必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C.充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 4、下列函数中，不是 的原函数的是
28、xe2 A. B. C. D. 21xe21xe21xe21 5、已知函数 ，则 =yzdz A. B. C. D. dxey xyydxey xdyexy 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 6、极限 = 。xxe0lim 7、曲线 在点（1，0）处的切线方程是= 。ny 8、积分 = 。2cossi dx 9、设 ，则 = 。yeveuxxin,xvu 10、微分方程 的通解是 。012dy 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分） 11、计算 。xxsintalim0 12、求函数 在区间-1，2上的最大值及最小值。2)(43)(f 22
29、 13、设参数方程 确定函数 y=y(x)，计算 。teyx 2 dxy 14、求不定积分 。dxcos1in 2 15、计算定积分 。20l() 16、设方程 确定隐函数 ，求 。zxye),(yxzyz, 17、计算二重积分 ，其中 D 是由 y 轴、直线 y=1， y=2 及曲线 xy=2 所围成的平面区Dxyd 域。 18、求微分方程 满足初始条件 的特解。xesinco 20x 四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分） 19、证明：对 0， 。x x12 20、设函数 在区间0， 1上连续，且 0 1 ，判断方程 在区)(f
30、)(xf xdtf01)(2 间（0，1）内有几个实根，并证明你的结论。 23 2008 年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题答案及评分参考 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、C 2、B 3、A 4、D 5、D 二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分） 6、 7、 8、2 9、0 10、1xy Cxy)1ln(22 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分） 11、解： =xxsintalim0xcos1el 20 = xtali 20 = .sinectli 20xx 12、解： ，3)2(81)(f
31、 令 ，即 ，解得驻点 x=0，0xfx 又 ，所以 f(x)在区间-1，2上最大值 M=24)(,)(,)1(ff 及最小值 m=0. 13、解： ，ttedyex,2 .ttx21 14、解： dxdxdxcos1incos1incos1in 22 )(2dxx)cos1()cos1ln( .Cin （3 分） （2 分） （3 分） （4 分） （6 分） （6 分） （6 分） （1 分） （3 分） （6 分） （4 分） （5 分） 24 15、解： . 10 10222)1ln()ln( dxxdx 102l10arctn2lnxx . 16、解：设 ,zxyezF),( 则 ，
32、zxyxy ezFe2, .2,2 zxyzxyeeFxz 17、解： Dyxxy dd01 = 21 20eyx = 1)(22d . 18、解： dxeCeyxxdcossincos ，xxsinsin xCxsin )(sinxCe 由条件 有 ，20xye)0(si 故满足初始条件 的特解为 .0x )2(sinxey 四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分） 19、证明： 等价于 . xe1xe2 令 ，2)(fx （2 分） （分） （2 分） （3 分） （5 分） （6 分） （分） （分） （分） （分） （分） （分
33、） （2 分） 25 ，xexf2)( 0，2)( xef 于是 在 内单调增加，从而 =0，)(x),0)(f0f 所以 在 内单调增加，故 =0，即 .f, xff2 xe12 20、解：设 ，则 在0，1上连续，xdtfxF01)(2)( )(F ，因为 0 f(x) 1，可证 1，于是 0，1010dxf 10)()(dtfF 所以 在（ 0，1）内至少有一个零点 .)(x 又 210， 在0，1上单调递增，)(2fF )(xF 所以 在（ 0，1）内有唯一零点，即 在（0，1）内有唯一实根)(x dtf02 （4 分） （6 分） （8 分） （10 分） （3 分） （6 分） （
34、9 分） （12 分） 26 2009 年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1、设 则31,0().xfxfx)0(lim A. -1 B. 1 C. 3 D. 2、极限 xxsin2ilm0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3、下列函数中，在点 处连续但不可导的是0 A. B. xy1y C. D. lnx 4、积分 dxfx)si21(co A. B. Ci2 Cf)sin21( C. D. xf)sn( x 5、改变二次积分 的积分次序，则 I=10 2),(xdyfdI
35、 A. B. 10),(yfd10),(ydxf C. D. x 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 6、若当 时， ，则常数 a= 。0x221a 7、曲线 的水平渐近线方程是 。y)1ln( 8、若曲线 在 t=0 处的切线斜率为 1，则常数 k= 。2)(,3tkx 9、已知二元函数 的全微分 则 = 。,yfz,2xyddzz 2 10、已知函数 满足 。)(xf )(0)(1)(f，fxff 则且 27 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分） 11、计算极限 。xtxde02311lim2 12、设 用导数定义计算 。 ,)()21
36、xf .)0(f 13、已知函数 的导数 。)(f )1()1ln()(2f，xf 求 14、计算不定积分 。dxarct 15、计算定积分 。 312 16、设隐函数 由方程 。),(yxfz yzx，xzy 及求所 确 定03 17、计算二重积分 ，其中积分区域 。Ddyyx2 3)1 41:2D 18、求微分方程 满足初始条件 的特解。06y 8,100xx 四、综合题（大题共 2 小题，第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分） 19、用 G 表示由曲线 y=1nx 及直线 x+y=1,y=1 围成的平面图形。 （1）求 G 的面积； （2）求 G 绕 y 轴旋
37、转一周而成的旋转体的体积。 20、设函数 .8ln4)(2xxf （1）判断 在区间（0， 2）上的图形的的凹凸性，并说明理由； （2）证明：当 0 x2 时，有 0。)(xf 28 2009 年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题答案及评分参考 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、A 2、C 3、A 4、D 5、C 二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分） 6、-4 7、 8、4 9、2y 10、0y 1xe 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分） 11、解：原式= 30 2limxdtex = 20
38、1lix = .3li6li 2200xxxe 12、解： ，xfffx)(lim)(0 = 2 2 1010 )(lim)(li xxx = .22 10)(liexx 13、解： ，221)ln()xf 222 32 )1(4)(4)( xxf .1f 14、解：设 则，tx2, 原式= dttd21arctnarcn = Ctttt arcnarc)1(22 = .Cxxxrarc （2 分） （3 分） （2 分） （4 分） （6 分） （6 分） （3 分） （6 分）（6 分） （6 分） （5 分） 29 15、解： 为奇函数， ，2 31x1230dx 而 为偶函数，2 11
39、010222 dxdx 10 122 .ln)ln()(xxdx 故原式 112 32 .ld 16、解：设 ,则xzzyxFy3),( .3ln21 xzFyx ， 所以 .ln322 1 zxzFz yzyzx 17、解：设 ，sincoryr 则原式= 2021 2133 )()( drrdrd = .048)(424r 18、解：因为微分方程的特征方程为 ,62r 解得 .321，r 微分方程的通解为 .xxecy231 ,xecy231 有 ，20x ，解得 ， ，831cy21c 故特解为 .xe2 四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分
40、，共 22 分） 19、解：（1） 10)(dyAy （2 分） （分） （5 分） （6 分） （6 分） （分） （分） （分） （分） （分） （6 分） （3 分） 30 = 12)21(10eyey.3 （2） 101022)(dydyeV = 1312)(y = .652e 20、解：（1） ， xfxxxf 42)(ln42ln4)( 当 0 x2 时， 0，所以 在（ 0，2）上的图形是凸的。)(f)(f （2） 当 0 x2 时， 0，x 在（0，2上单调减少，由此知：)(f 当 0 x2 时，有 ，02ln4)(fxf 故 在区间（ 0，2上单调增加. )(f 因此当 0
41、x2 时，有 .04ln2l842ln84)( ff （5 分） （8 分） （2 分） （10 分） （5 分） （8 分） （12 分） 31 2010 年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题 一、选择题（本大题共 5 题，每小题 3 分，共 15 分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.设函数 的定义域为 ，则函数 在其定义域上是()yfx(,)1()2yfx A.偶函数 B.奇函数 C.周期函数 D.有界函数 2. 是函数 的0x 1,0,()xef A.连续点 B.第一类可去间断点 C.第一类跳跃间断点 D.第二类间断点 3.当 时，下列无穷小量中，与 等价的是x A. B. C. D. 1cosx212ln(1)x 21xe 4.若函数 在区间 上连续，则下列结论中正确的是()f,ab A.在区间 内至少存
