1、课程习题 第一章 函数与极限 1填空题 （1）设 4 21)(xxf )0(，则 )(xf 。 （2）设 sin l ，则 f的一个可去间断点为 。 （3）若 0x时， )(与 x是等价无穷小，则 )(1lnim0xx 。 2单项选择题： （1） xeycosin在（ ,）内为（ ） （A）周期函数。 (B) 偶函数。 (C ) 有界函数。 (D) 单调函数。 （2）当 1x时,函数 12xe 的极限 ( ) (A) 等于 2。 (B) 等于 0。 (C) 为无穷大。 (D) 不存在但也不为无穷大。 （3）设 )(f是定义在 ba,上的单调增加函数， ),(0bax，则（ ） （A） )0xf
2、存在但 )(0xf不一定存在。 （B） 存在但 不一定存在。 （C） )(0f与 )(0f都存在但 )(lim0xf 不一定存在。 (D) limx 一定存在。 （4）当 x时，6（ sin）是 3x的（ ） （A）高阶无穷小。 （B）同阶但非等价无穷小。 （C）低阶无穷小。 （D）等价无穷小。 3设 21)(xf 31 x ， baxf)()，试确定 a,之值，使 为奇函数。 4利用数列极限的 N定义 2 limn 。 5求下列极限： （1） )1(10 )10(3)2()(lim2xxxx （2） x 5li20 （3） xx3)(li （4） xxcot)(2 （5） 4 2limx （
3、6） lnsi1lnsilmn （7） )321(lim22 nnnn 6设 xaxf1)(si) 0 ，求常数 a，使 )(lim0xf存在 7讨论函数极限： xcos lim0 。 8求 nn f21)( 的间断点，并判定其类型。 9设 abxqpfln)( bx （ 1,0a） ，试确定常数 qp,使 )(xf在bx 处连续。 10设函数 )(xf对于闭区间 ,上任意两点 1， 2，恒有2121)(qf （ 为正的常数） ，且 )(f。证明：存在 ),(ba， 使 0。 参考答案： 1 （1） 2x （2）1 （3）1 2 （1）B （2） D （3）C （4）C 3 ,ba 5 （1）
4、3.5 （2）2 （3） e （4） 2 1 （5） 4 （6）0 （7） 2 1 6 lna 7不存在 8 01)(xf 1 x或 ， )(xf为 的第一类跳跃间断点。 9 ,qp 第二章 导数与微分 1 1 求下列函数的导数和微分或高阶导数： （1） dx yxSecy求,tan2 ； （2） ,sincoiyxy求 ； （3） 求,1lr2 ； （4） 求,21l ； （5） dx yxxy求),0(cos)(sin2s ； （6）)632,1y求 。 2设 )(xf 中 f的三阶导数存在，求 y及 。 3设 )1(,04(tan)24)(tant 1fxx 求 。 4设 (2yfu，其
5、中 , xeyy且满 足 方 程 均二阶可导，求2dx及 。 5由方程 )(sin2xyxy确 定 了 隐 函 数 ，试求dA),(),(使 （其中 0,） 。 6设曲线的参数方程为 )1ln(3arct2yt ，求曲线在 3x处的切线方程和法线 方程。 7设 0)1()( 22yadxxxy由 方 程 所确定，作自变量代换 txsin后， 试证明函数 满足方程 02yadt 。 8设有一个正圆锥体，其底半径以 1.5 scm的速度增加，其高以 3 scm的速度在减少，当 半径为 40cm，高为 30c时，求其体积及表面积的变化率。 9单摆的周期（以秒为单位）由 g lT2 确定，其中重力加速
6、度 28.9sg，摆 长 的 绝 对 误 差 的 要 求问 对 测 量秒的 绝 对 误 差 不 超 过欲 使 测 出 的 ll ,05.,2.0 应 是多少？ 10设 nn axaxaxaf ，其 中 21321 ,sisisini)( 都是 实数， n为自然数，且 32,)(1 nf 证 明 。 参考答案： 1 （1） xtansec2 2 （2） 2)sin(cox （3） dx23)1(l （4） o （5） sinlicos(i x （6）2880 2 )1()(43xfxfy ， )1()(6)1(654 xfxffxy 3 !9 4 )(12)(2eyyfdxu 3 2222 )1
7、(2)(1)( yy exyfxexyfdxu 5 1ln cos),(xyA 6切线方程： 5；法线方程： y。 8 scmdtv/403 scmdts217 9 l 2.7. 第三章 微分中值定理与导数的应用 1求下列极限： （1） xx20sin colim （2） xxln )1(lim2si0 （3） )(li1为 正 的 常 数ex （4） )l()l(i20 xx （5） xxln310)2sil （6） )21ln(3ixx （7） )0,()(lim2111 nnxxx aaa 其 中 。 2设 )f具有连续的二阶导数，且 6(,(0fff）（ ，试求 4 20)(sinlm
8、xfx 。 3求 22)13(exexfx的极值。 4确定曲线 lnay 的凹向与拐点。 5求曲线 23lt 在 0x处的曲率。 6设椭圆 12byax 的切线分别与 轴、 y轴交于 A、 B两点，求 （1）线段 AB的最小值； （2）线段 与坐标轴所围三角形的最小面积。 7证明下列不等式： （1）设 2 0 ，则 22costantcos ； （2）当 x 时， 03ln4xx。 8设函数 )(f与 g在闭区间 ,ba上连续，在（ b,）内可导，且 0)(xg，试证： 至少存在一点 ,ba，使 )()( gff 。 9求证方程 121xxn 在 ,0内必有唯一实根 n，并求 nxlim)4,
9、32(。 参考答案： 1 （1） （2） 1 （3）0 （4） 2 1 （5） 3 1e （6） 3e （7） na21 23 3 )2(f为极小值， e f5)(2 为极大值。 4拐点 )2,(3ea ，在 ,0ae内 y上凸 ，在 ,2 3ae 内 y上凹（ ） 。 5 150 xk 6 （1） bABmin （2） absmin 9 2 limn 第四章 不定积分 1 1 求下列不定积分： （1） dx 10)3( （2） dx）（ tant 2 （3） x dsinlcot （4） tansi （5） 2 xe （6） 16 4 （7） 221)(xd （8） 23)1(arcsi （
10、9） dx2sinl （10） ex4 （11） xdcos （12）d3cos2 2 2 设函数 1sinco)(ixf 0 x ，试求 )(xf的原函数 )(xF，使1)(F 。 3 3 x dInnsi ，其中 2为自然数，求 nI关于下标 的递推公式。 4 4 设 )(f的原函数 0)(F，且 1)(，当 0x时有 xFxf2sin)(， 求 。 参考答案： 1 （1） cx1)32( （2） Cxxcoslnta （3） Csinl （4） 2 ta12 （5） ex x22)1l( （6） xx3rctnarct （7） Cx21arctn （8） Cxx)1ln(21arcsi2
11、 （9） sinlott （10） ex( （11） xx2463 （12） x)3cos2sin312 2 2sinco1sinxxeF）（ 0 x 3 2 21ts1nnn II 4 xf4sin12)( 第五、六章 定积分及其应用 1 1 计算下列定积分或反常积分： （1） dx 2304)( （2） dxe 2ln021 （3） 32 （4） sinco （5） 20sincodx （6） dx 231)(art （7） 12)(x （8） x0 2设 dxff 102)(3) ，求 )(f。 3设 xte12( ，求 。 4求 ty0arcn)的极小值。 5设 xf( 0 ， xxd
12、tfF11,)()( ， 讨论 )F在 处的连续性与可导性。 6设 0p，求抛物线 pxy2与它在点( p,2 )处的法线所围成平面图形的面积。 7已知抛物线过三点 、 ),0(),(nBmA0(,nmC , 3欲使图中阴影 部分绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积 最大，求 与 之值。 8设 ),()在f内连续，xdtaftF02( ，试证：)2(0)(2)(2affaF 。 O-nBA 9设函数 )(,xgf在区间 ,ba上都连续，求证 dxgfdxbaba )()( 222 。 10设 )(f在 ,ba上可导，且0, ， 试证：对图形中所示的两块面积 )(1xS和 2来 说， 存在唯一的
13、),(ba，使得 0)(2 。 参考答案： 1 （1） 32 （2） 2 3)ln( （3） 1 （4） )( （5） l1 （6）ln672 （7） ln1 （8） 4 1 2 23)(xxf或 23)(xf 3 1e 4极小值为 0y 5 )(xF在 0处连续但不可导。 6 31ps 7 2,nm 第七章 空间解析几何与向量代数 1.设 bakBA ,2 ，其中 2,1b ，且 ba ，问 （1） k为何值时， ？ （2） 为何值时，以 A与 为邻边的平行四边形面积为 6？ 2设 kjickjijia ,32,3 ，求同时垂直于 ba 与 ，且在向 量 c上的投影是 14 的向量 。 3求
14、过三平面 03,01,2 zyxzyxzyx 的交点，且平行于平 面 0zyx的平面方程。 4决定 ，使直线 21 和直线 1 相交。 5求曲线 0:2zyxC 关于 xoy面的投影柱面和在 xoy面上的投影曲线方程， 并求曲线 C 所在的平面方程。 6求球面 6422z与过其中心且同直线 z,0垂直的平面 的交线在 o面上的投影曲线的方程。 7试在平面 1zyx与三坐标面所围成的四面体内求一点，使它与四面体各侧面间 距离相等，并求内切于四面体的球面方程。 Ofy=ts21() 1 1 将曲线 azyx20 （ 0）分别绕 ozy,轴旋转一周，写出所得旋转 面的方程。 2 2 求通过直线 63
15、4zyx且切于球面 422zx的平面方程。 3 3 在直线 121 上求一点，使之与点（3，2，5）的距离最近。 参考答案： 1 （1） k （2） 1k或 2 ji 204 3 04zyx 4 5 5 2yx ； 1zyx ； 2 或 6 04)()1(2 7 2222 )63()3()63()3( zyx 8 , 2azayx 9 10 （1，1，2） 第八章 第八章 多元函数微分法及其应用 1已知 x yzcosin ,求 ),2(),2(y z及 。 2设 yy art ，求 。 3设 ),(xz是由方程 023yxz所确定的隐函数，求 。2,xz 4设 )sin,(2yfg，其中 g
16、二阶可导， f有二阶连续偏导数。求 ，2xzyxz2 。 5求曲线 132z 上点 )6,( 处的切线和法平面方程。 6在曲面 2yx求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线31yx ，并写出切平面方程。 7求 32),(zzf在点 )1,(处沿着向量 kjil 52 方向的方向导数。又, 在该点的梯度是什么？ 8求函数 xyxyf,2的极值。 9求曲面 62z与 42zyz的交线的最高点与最低 点的坐标。 10证明 1)(lim220yxyx 。 11试证：函数 0),(2yxf 02 yx 在原点 ),(处连续，偏导数 存在，但不可微。 参考答案: 1 2sin4),2(z ， 2sin1
17、),2(yz 2 yxyxxarctn21l ， yxyxyxz arctn2)larctn(l 3 z2 ， 322)( 16zx 4 )sin,(4)(1yyfxg )sin,2(cos)i,2()si,2 1112 yxyfxffyxz 5切线方程： 638zy 法平面方程 0)1()()(1x 6 （ 4 5,2 ） ， 54zy 7 30152ef ， kjigradf6 8极小值为 3)1,(f 9最高点 )4,0(，最低点 )4,8( 第九章 重积分 1计算下列重积分： （1） dxyD ，其中 1:yx； （2） 24 ，其中 D是由 xy,0所围成的闭区域； （3） D x
18、，其中 xy2:2； （4） dvy)(2 ,其中 是由曲面 8,2,2zyz平 面 所围成的立体； （5） zx ，其中 是由曲面 1x与 所围成的闭区域。 2交换积分次序： 102),(dxyfdyI ，其中 ),(yf连续。 3利用二重积分计算由 05aax 所围成的平面图形的面积。 4设 )(xf有连续导数，求证 )0()(0 fayxfx 。 5求证：由 )(,fyb及 轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周而成的立体对 轴的转动惯量（密度 1）为 dfIbax)(24 ，其中 )(f为连续的正值函数。 6设 )(xf是 ,ba上的正值连续函数，试证 2abyfD ，其中积分区域 D为y
19、a 。 7设 )(f连续， dvxfztF)()(22 ，其中积分区域 是由22,0tyxhz 所确定的立体，求 20 )(limtFtt及 。 8一个体积为 V，外表面积为 S的雪堆，融化的速度是 SdV ，其中 是一个正的 常数，假设在融化期间雪堆的形状保持为 ,2zhyxz ，其中 )(th。问一个 高度为 0h的雪堆全部融化需要多长时间？ 参考答案： 1 （1） 6 （2） 6 39 （3） 2 （4） 36 （5） )12(6 2 22 01001 ),(),(),( xxy dyfdyfdxfd 3 ln852as 7 )(3tfhtdtF ， )(3)(lim220fhtFt 8
20、 )15(2490h 第十章 曲线积分与曲面积分 1求曲线积分 Ldsnyx)(，其中 L为双纽线 )(cos2a的右面的一瓣。 2计算下列对坐标的曲线积分： （1） Ly 2 ，式中 是 tayx2csn 上从 01到 42 t 间的一段； （2） ddyxBMA i)(cos)( ，其中 )(x有连续导数， BmA为联 结 4,3,与 两点的在 AB下方的任意路径，且它与 AB围成的面积为 2； （3） Lyx2，其中 L为曲线 )2(2xy及直线 所围成的闭区域 D的 周界，取顺时针方向。 （4） Cxyzd，其中 为圆周 yzx122 ，从 Z轴正向看去， C取逆时针方向。 3计算下列
21、曲面积分： （1） sz2 ， 为圆柱面 6042zyx介 于 的部分； （2） dyx ， 为上半球面 2yxRz 的上侧； （3） dzz22 其中 为由抛物面 2yxz，圆柱面12yx 和三个坐标面在第一卦限中所围立体 的整个边界曲面的外侧； （4） 232)(zyxxyd ，其中 为曲面 )0(916)(5122z 的 上侧。 4确定常数 ，使在右半平面 0(x上的向量 jyiyA )(),( 24224 为某二元函数 ),(yxu的梯度，并求xu 。 5设平面力场 jixxyF 3sin1(cos23 ，求一质点沿曲线2:yL 从 O（0，0）运动到 ),2A 时场力 F 所做的功。
22、 6设 )()baf是一光滑曲线，将此曲线绕 x轴旋转一周得旋转曲面 ， 试用曲面积分求面积的方法证明 的面积 badsfS,)( ，其中dxfds2)(1 是曲线 )(xfy的弧微分。 7 7 试用曲线积分计算由 o平面上的曲线 )21(ln24: xxyL 绕直线8943:xyL 旋转所成的旋转面的面积。 8 8 已知一刚体以常角速度 w绕定轴 coscoskjil 旋转，求某时 刻刚体上点 ),(zyP处速度矢量 v的旋度。 参考答案： 1 42ma 2 （1） 8 （2） 26 （3） 2 （4） 162 3 （1） （2） 51R （3） 8 （4） 4 ， Cxyyxu2arctn
23、),( 5 2 7 )2lnl(10s 8 l2 第十一章 无穷级数 1填空题： （1）已知级数 1nu 的部分和 n s1 ，则 nu 。 （2）级数 )2( 的和为 。 （3）已知 6,3)112nn ，则 1n 。 （4） !之和为 。 （5） xf)(的麦克劳林级数展开式为 ，收敛区间 。 （6）设 1 0 1x 在 ,上的傅里叶级数的和函数为 )(xs，则)0(s ， )(s ， )2(s 。 2判断下列级数的敛散性： （1） 123(n ； （2） )1(nn （3） !na （ 为正的常数） （4） 1n （5） 245l （6） 1l)(n 3判断级数 12)sin( 是否收敛
24、？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 4将函数 xxxf arctn1l4) 展开为 的幂级数。 5求 nn21! 的收敛域与和函数。 6将 )21()(xxf 展开成为以 1 为周期的傅里叶级数。 7设幂级数 2)nn 在 31处发散，在 2x处收敛，指出此幂级数的收敛半 径，并证明之。 8设正项数列 na单调减少，且 nn a1)( 发散，试问级数 1)(nna 是否收敛？并 说明理由。 参考答案： 1 （1） )1(2nun 2 1n （2） 1 （3）15 （4）1 （5） nnx0!)3(l ),( （6）0，0，1 2 （1）发散。 （2）发散。 （3）当 ea0时，此级数收敛；当
25、ea时，此级数发散。 （4）收敛 （5）收敛 （6）收敛 3条件收敛。 4 )1(4)(1xnxf 5 1)2() 2xexs ， 6 xn2cos)(34112 2 x 7 R 8收敛。 第十二章 常微分方程 1判别下列微分方程的类型，并求其通解： （1） 2 sinsiyxdxy （2） 21xyxyd （3） l1ln （4） 2 （5） 0)2()(ydxdyx （6） xydy3 2求下列微分方程的通解： （1） 03 （2） 04 （3） 242ydx （4） 为 实 数 ）mydxy(2 3确定下列微分方程的特解形式： 微分方程 特征根 特解形式xey2)34(3xey2sin)
26、co(2xeyxsi 4求 319满足 0)(,4)0(y的特解。 5求下列初值问题的解： (1) ln(xyx， e1,2 ； (2) )(,),22。 6设 xxxx eyeyey 2321 , 是某个二阶线性非齐次微分方 程的三个解. （1）求此微分方程的通解； （2）求此微分方程。 7设曲线 )(xf位于第一象限，其上任一点 ),(yxM的切线与坐标轴及过该点垂直于x 轴的直线所围梯形的面积为 0(2a，常数） ，且曲线过点 ),(a，求此曲线方程。 8已知 2yr ， )rfu有连续的二阶导数，且满足方程 22yxux ， 试求 u。 9设有级数 12)!(nx （1）求此幂级数的收
27、敛域； （2）证明此级数满足微分方程 1y； （3）求此级数的和函数。 参考答案： 1 （1）可分离变量的微分方程， 2sin4taxcey （2）齐次方程，222)(lnCxy （3）一阶线性微分方程， xCl1ln2 （4）一阶线性微分方程， yey2)( （5）全微分方程， x3234 （6）贝努利方程，221xCey 2 （1） c 1 （2） xecy211)( （3） )831cos83sin(218 xxyx （4）若 m，则 ey)(1 若 ，则 xmxm)1(2 若 1，则 )cossin1cx 4 xy3o4sin2 5 （1） 2)(xe （2） 3 2)1(xy 6 （1） xc1 （2） xe)( 7 ax y3 8 2 212ln(6),( cycxu 9 （1） ),( （3） 1chs
