1、75 项目三 多元函数微积分 实验 1 多元函数微分（基础实验） 实验目的 掌握利用 Mathematica 计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元 函数极值和条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元 函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念. 基本命令 1.求偏导数的命令 D 命令 D 既可以用于求一元函数的导数, 也可以用于求多元函数的偏导数. 例如: 求 对 x 的偏导数, 则输入 Dfx,y,z,x)(zyf 求 对 y 的偏导数 , 则输入 Dfx,y,z,y, 求 对 x 的二阶偏导数 , 则输入 Dfx,y,z,x,2f 求 对 的混
2、合偏导数, 则输入 Dfx,y,z,x,y),(z 2.求全微分的命令 Dt 该命令只用于求二元函数 的全微分时, 其基本格式为)(yxf Dtfx,y 其输出的表达式中含有 Dtx,Dty, 它们分别表示自变量的微分 dx,dy. 若函数 的表),(yxf 达式中还含有其它用字符表示的常数, 例如 a, 则 Dtfx,y的输出中还会有 Dta, 若采用选 项 Constants-a, 就可以得到正确结果 , 即只要输入 Dtfx,y,Constants-a 3.在 平面上作二元函数 的等高线的命令 ContourPlotOxy)(yxf 命令的基本格式为 ContourPlotfx,y,x,
3、x1,x2,y,y1,y2 例如,输入 ContourPlotx2-y2,x,-2,2,y,-2,2 则输出函数 的等高线图. 该命令的选项比较多(详细的内容参见光盘中的实验案2yxz 例库). 如选项 Contours-15 表示作 15 条等高线, 选项 Contours-0表示只作函数值为 0 的 等高线. 实验举例 求多元函数的偏导数与全微分 例 1.1 设 求),(cos)sin(2xyz.,2yxzz 输入 Clearz; z=Sinx*y+Cosx*y2; Dz,x Dz,y Dz,x,2 Dz,x,y 76 则输出所求结果. 例 1.2 设 其中 a 是常数, 求 dz.,)(
4、yxaz 输入 Clearz,a;z=(a+x*y)y; wf=Dtz,Constants-a/Simplify 则输出结果: (a+xy)-1+y(y2Dtx,Constants-a+ Dty,Constants-a(xy+(a+xy)Loga+xy) 其中 Dtx,Constants-a就是 dx, Dty,Constants-a就是 dy. 可以用代换命令“/.”把它 们 换掉. 输入 wf/.Dtx,Constants-a-dx,Dty,Constants-a-dy 输出为 (a+xy)-1+y(dxy2+dy(xy+(a+xy)Loga+xy) 例 1.3 设 ,求vueyvuexc
5、os,sin .,yvxu 输入 eq1=Dx=Eu+u*Sinv,x,NonConstants-u,v (*第一个方程两边对 x 求导数, 把 u,v 看成 x,y 的函数*) eq2=Dy=Eu-u*Cosv,x,NonConstants-u,v (*第二个方程两边对 x 求导数, 把 u,v 看成 x,y 的函数*) Solveeq1,eq2,Du,x,NonConstants-u,v, Dv,x,NonConstants-u,v/Simplify (*解求导以后由 eq1,eq2 组成的方程组*) 则输出 1(,tan, ,t, vSinECosuvsNoCxvDiviu uu 其中
6、Du,x,NonConstants-u,v表示 u 对 x 的偏导数, 而 Dv,x,NonCosnstants-u,v表示 v 对 x 的偏导数 . 类似地可求得 u,v 对 y 的偏导数. 微分学的几何应用 例 1.4 求曲面 在点 处的切平面方程, 并把曲面和它的切14),(2yxk 2164, 平面作在同一图形里. 输入 Cleark,z; kx_,y_=4/(x2+y2+1); (*定义函数 k(x,y)*) kx=Dkx,y,x/.x-1/4,y-1/2; (*求函数 k(x,y)对 x 的偏导数, 并代入在指定点的值*) ky=Dkx,y,y/.x-1/4,y-1/2; (*求函
7、数 k(x,y)对 y 的偏导数, 并代入在指定的值*) z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k1/4,1/2; (*定义在指定点的切平面函数*) 77 再输入 qm=Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotRange-0,4, BoxRatios-1,1,1,PlotPoints-30, DisplayFunction-Identity; qpm=Plot3Dz,x,-2,2,y,-2,2, DisplayFunction-Identity; Showqm,qpm,DisplayFunction-$DisplayFunction 则输出所求曲面与切平面的图形.
8、多元函数的极值 例 1.5 求 的极值.xyxyxf 93),(23 输入 Clearf; fx_,y_=x3-y3+3x2+3y2-9x; fx=Dfx,y,x fy=Dfx,y,y critpts=Solvefx=0,fy=0 则分别输出所求偏导数和驻点: 2369yx x-3,y-0,x-3,y-2,x-1,y-0,x-1,y-2 再输入求二阶偏导数和定义判别式的命令 fxx=Dfx,y,x,2; fyy=Dfx,y,y,2; fxy=Dfx,y,x,y; disc=fxx*fyy-fxy2 输出为判别式函数 的形式:2xyxff (6+6x)(6-6y) 再输入 data=x,y,fx
9、x,disc,fx,y/.critpts; TableFormdata,TableHeadings-None, “x “, “y “, “fxx “, “disc “, “f “ 最后我们得到了四个驻点处的判别式与 的值并以表格形式列出.xf X y fxx disc f -3 0 -12 -72 27 -3 2 -12 72 31 1 0 12 72 -5 1 2 12 -72 -1 易见,当 时 判别式 disc=72, 函数有极大值 31;,3yx,1xf 当 时 判别式 disc=72, 函数有极小值-5;,f 当 和 时, 判别式 disc=-72, 函数在这些点没有极值.0 最后,
10、把函数的等高线和四个极值点用图形表示出来,输入 d2=x,y/.critpts; g4=ListPlotd2,PlotStyle-PointSize0.02,DisplayFunction-Identity; g5=ContourPlotfx,y,x,-5,3,y,-3,5,Contours-40,PlotPoints-60, ContourShading-False,Frame-False,Axes-Automatic, AxesOrigin-0,0,DisplayFunction-Identity; Showg4,g5,DisplayFunction-$DisplayFunction 78
11、 则输出图 1-1. -4 -2 2 -2 2 4 图 1-1 从上图可见, 在两个极值点附近, 函数的等高线为封闭的. 在非极值点附近, 等高线不 封闭. 这也是从图形上判断极值点的方法. 注:在项目一的实验 4 中,我们曾用命令 FindMinimum 来求一元函数的极值, 实际上,也 可 以用它求多元函数的极值, 不过输入的初值要在极值点的附近. 对本例,可以输入以下命令 FindMinimumfx,y,x,-1,y,1 则输出 -5.,x-1.,y-2.3660310-8 从中看到在 的附近函数 有极小值-5, 但 y 的精度不够好 .0,1yx),(yxf 梯度场 例 1.6 设 作
12、出 的图形和等高线, 再作出它的梯度向量 gradf,),()(2yxef)(f 的图形. 把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起, 观察它们之间的关系. 输入调用作向量场图形的软件包命令 25, ContourShading-False,Frame-False,Axes-Automatic,AxesOrigin-0,0 td=PlotGradientFieldfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Frame-False Showdgx,td 输出为图 1-2. 从图可以看到 平面上过每一点的等高线和梯度向量是垂直的, 且梯度的Oxy 方向是指向函数值增大的方向. 79 -2 -1 1 2 -
13、2 -1 1 2 图 1-2 实验习题 1.设 求,xyez.dz 2.设 求)(f .,22yxz 3.设 求),sin(co, 28/)(eyxgyx .,2yxz 4.试用例 1.5 的方法求 的极值.26543301801, xxf 5.求 在 条件下的极值.324z2 6.作出函数 的等高线和梯度线的图形, 并观察梯度线与等高线的40/)(),(yxef 关系. 实验 2 多元函数积分（基础实验） 实验目的 掌握用 Mathematica 计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的 概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力. 基本命令 1.
14、 计算重积分的命令 lntegrate 和 NIntegrate 例如,计算 , 输入dyxx102 Integratex*y2,x,0,1,y,0,x 则输出 15 又如,计算 的近似值, 输入dyx)sin(02 NIntegrateSinx*y2,x,0,1,y,0,1 则输出 0.160839 注: Integrate 命令先对后边的变量积分. 计算三重积分时,命令 Integrate 的使用格式与计算二重积分时类似. 由此可见, 利用 80 Mathematica 计算重积分, 关键是确定各个积分变量的积分限. 2. 柱坐标系中作三维图形的命令 CylindricalPlot3D 使
15、用命令 Cylindricalplot3D, 首先要调出作图软件包. 输入 r*Cost,y-r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 则输出所求二重积分的计算结果 e 如果输入 NIntegrate(fx,y/.x-r*Cost,y-r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 则输出积分的近似值 1.98587 例 2.3 计算 , 其中 由曲面 与dxyzx)(22yxz 围成.2yxz 先作出区域 的图形. 输入 gl=ParametricPlot3DSqrt2*Sinfi*Costh, Sqrt2*Sinfi*Sinth, Sqrt2*Cosfi,fi,0,Pi/4,th
16、,0,2Pi g2=ParametricPlot3Dz*Cost,z*Sint,z,z,0,1,t,0,2Pi Showg1,g2,ViewPoint-1.3,-2.4,1.0 则分别输出三个图形. 考察上述图形, 可用手工确定积分限. 如果用直角坐标计算, 输入 gx_,y_,z_=x2+y2+z; Integrategx,y,z,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2, Sqrt1-x2, z,Sqrtx2+y2,Sqrt2-x2-y2 执行后计算时间很长, 且未得到明确结果. 现在改用柱面坐标和球面坐标来计算. 如果用柱坐标计算,输入 Integrate(gx,y,z/.x-r*Coss,
17、y-r*Sins)*r, r,0,1,s,0,2Pi,z,r,Sqrt2- r2 则输出 1528 如果用球面坐标计算,输入 Integrate(gx,y,z/.x-r*Sinfi*Cost,y-r*Sinfi*Sint, z-r*Cosfi)*r2*Sinfi,s,0,2Pi,fi,0,Pi/4,r,0,Sqrt2 则输出 32165 这与柱面坐标的结果相同. 重积分的应用 例 2.4 求旋转抛物面 在 平面上部的面积24yxzOx.S 先调用软件包, 输入 82 r*Sint; Integratez1*r,t,0,2 Pi,r,0,2/Simplify 则输出所求曲面的面积 176 计算曲
18、线积分 例 2.5 求 , 其中 积分路径为Ldszyxf),(,103,2yxzyxf : ,2tt. 注意到,弧长微元 , 将曲线积分化为定积分,输入zsttt2 Clearx,y,z; luj=t,t2,3t2; Dluj,t 则输出 对 的导数zyx,t 6,21 再输入 ds=SqrtDluj,t.Dluj,t; Integrate(Sqrt1+30 x2+10y/.x-t, y-t2,z-3t2)*ds,t,0,2 则输出所求曲线积分的结果: 326/3. 例 2.6 求 , 其中drFL. .20,sinco2)(,(356 tjttrjxyi 83 输入 vecf=x*y6,3
19、x*(x*y5+2); vecr=2*Cost,Sint; Integrate(vecf.Dvecr,t)/.x-2Cost,y-Sint, t,0,2 Pi 则输出所求积分的结果 12 计算曲面积分 例 2.7 计算曲面积分 , 其中 为锥面 被柱面dSzxy)(2yxz 所截得的有限部分.xy22 注意到,面积微元 , 投影曲线 的极坐标方程为xyzdS21xy2,costtr 将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分. 输入 Clearf,g,r,t; fx_,y_,z_=x*y+y*z+z*x; gx_,y_=Sqrtx2+y2; mj=Sqrt1+Dgx,y,x2+Dgx,y,
20、y2/Simplify; Integrate(fx,y,gx,y*mj/.x-r*Cost, y-r* Sint)*r,t,-Pi/2,Pi/2,r,0,2Cost 则输出所求曲面积分的计算结果 15264 实验习题 1. 计算 6/02/ .siniydxxy 2. 计算下列积分的近似值: (1) (2) ;cos02 .sin10dyxe 3. 计算下列积分 (1) (2) ;3012dyzxexzx 10.)arct( 4. 交换积分次序并计算下列积分 (1) . (2) x30922cos .2042dxye 5. 用极坐标计算下列积分: (1) (2) ;102dyxx.103/2y
21、xy 6. 用适当方法计算下列积分: 84 (1) 其中 是由 与 围成;,2/32dvzyx2yxz1z (2) 其中 是,)(4 .2yx 7. 求 的近似值. 其中 ,路径dszyxfL, 51,3yxzf : ,3/,2tyx.20t 8. 求 , 其中LrF. .0,sinco1tjrji 9. 用柱面坐标作图命令作出 被柱面 所围部分的图形,并求出其面积.z12yx 10. 求曲面积分 其中 为球面 的下半部分的下侧.,2dxy2az 11. 求曲面积分 ,其中 为球面 上 的部分.zS2yx)0(ahz 实验 3 最小二乘拟合（基础实验） 实验目的 了解曲线拟合问题与最小二乘拟合
22、原理. 学会观察给定数表的散点图, 选择 恰当的曲线拟合该数表. 最小二乘拟合原理 给定平面上的一组点 ,2,1),(nkyx 寻求一条曲线 使它较好的近似这组数据, 这就是曲线拟合. 最小二乘法是进行曲)(xfy 线拟合的常用方法. 最小二乘拟合的原理是, 求 使),(fnkkyx12 达到最小. 拟合时, 选取适当的拟合函数形式 ),()()()(10 xccxf m 其中 称为拟合函数的基底函数.为使 取到极小值, 将 的表达式,)(,10xm )(xf 代入, 对变量 求函数 的偏导数, 令其等于零, 就得到由 个方程组成的方程组, 从中ic 1 可解出 .,2i 基本命令 1.求数据
23、的拟合函数的命令 Fit 拟合函数 Fit 的基本格式为 Fitdata,funs,vars, 其中,data 是数据 , vars 为变量(可以是多个变量), funs 为 个以 vars 为变量的基底函数. 1m 其 输出结果是以基底函数(funs)的线性组合形式为拟合函数的最佳拟合函数 (最小二乘估计的 85 结果). Fit 命令既可以作曲线拟合, 也可以作曲面拟合. 这里只讨论曲线拟合问题. 曲线拟合时的数据格式为 .,21nyxyx 下面是作曲线拟合时常用的几种拟合函数的形式 Fitdata,1,x,x 用线性函数 拟合数据 data.ba Fitdata,1,x,x2,x 用二次
24、函数 拟合数据 data.2c Fitdata,Tablexi,Tablexi,i,0,n,x 用 x 的 n 次多项式拟合数据 data. 2.多项式拟合函数 PolynomialFit Mathematica 在程序包 NumericalMath 中提供了多项式拟合函数 PolynomialFit, 其基本 格 式为 PolynomialFitdata,n 它按最小二乘法构造 n 次多项式函数拟合数据 data. 例如,输入 Identity; (*作拟合曲线的图形 *) Showfp,gp,DisplayFunction-$DisplayFunction (*显示数据点与拟合曲线*) 则
25、输出平面上的点与拟合抛物线的图形（图 3-1）. 120 140 160 180 60 70 80 90 图 3-1 例 3.2 给定平面上点的坐标如下表: 3627.105.94.708.43.6978.5.30.5124.yx 试求其拟合曲线. 输入 data=0.1,5.1234,0.2,5.3057,0.3,5.5687,0.4, 5.9378,0.5,6.4337, 0.6,7.0978,0.7,7.9493,0.8,9.0253,0.9,10.3627; pd=ListPlotdata; 则输出题设数据的散点图. 观察发现这些点位于一条抛物线附近. 用抛物线拟合, 即取基底函数 输
26、入.,12x f=Fitdata,1,x,x2,x 则输出 5.30661-1.83196x+8.17149x2 再输入 fd=Plotf,x,0,1,DisplayFunction-Identity; Showpd,fd,DisplayFunction-$DisplayFunction 则输出平面上的点与拟合抛物线的图形. 87 0.2 0.4 0.6 0.8 1 6 7 8 9 10 11 图 3-2 下面的例子说明 Fit 的第二个参数中可以使用复杂的函数, 而不限于 等.2,x 例 3.3 使用初等函数的组合进行拟合的例子. 先计算一个数表. 输入 ft=TableN1+2Exp-x/
27、3,x,10 则输出 2.43306,2.02683,1.73576,1.52719,1.37775, 1.27067,1.19394,1.13897,1.09957,1.07135 然后用基函数 来做曲线拟合. 输入)exp(),3/(,sin1x Fitft,1,Sinx,Exp-x/3,Exp-x,x 则输出拟合函数 102450489. 63/15 xSinx 其中有些基函数的系数非常小, 可将它们删除. 输入 Chop% 则输出 3/.21xe 实际上,我们正是用这个函数做的数表. 注:命令 Chop 的基本格式为 Chopexpr, 其含义是去掉表达式 expr 的系数中绝对值小于
28、 的项, 的默认值为 .10 实验 4 水箱的流量问题（综合实验） 实验目的 掌握应用最小二乘拟合原理分析和解决实际问题的思想和方法,能通过观察 测试数据的散点图,建立恰当的数学模型,并用所学知识分析和解决所给问题. 问题 (1991 年美国大学生数学建模竞赛的 A 题. 问题中使用的长度单位为 E(英尺, 1 E=30.24cm), 容积单位是 G(加仑, 1 G=3.785L). 某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水量. 许多供水 单位由于没有测量流入或流出量的设备, 而只能测量水箱中的水位(误差不超过 5%). 当水 箱 水位低于水位 L 时 , 水泵开
29、始工作将水灌入水箱, 直至水位达到最高水位 H 为止. 但是依然 无法测量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来. 水 泵一天灌水 12 次, 每次约 2h. 试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间) t 流出水箱的流量 88 并估计一天的总用水量.),(tf 表 1 给出了某镇某一天的真实用水数据. 水箱是直径为 57E, 高为 40E 的正圆柱体. 当 水 位落到 27E 以下, 水泵自动启动把水灌入水箱; 当水位回升至 35.5E 时, 水泵停止工作. 表 1 时间/s 水位 E20时间/s 水位 E210 0 3316 6635 10619 13937 1
30、7921 21240 25223 28543 32284 35932 39332 39435 43318 3175 3110 3054 2994 2947 2892 2850 2795 2752 2697 泵水 泵水 3550 3445 46636 49953 53936 57254 60574 64554 68535 71854 75021 79254 82649 85968 89953 93270 3350 3260 3167 3087 3012 2927 2842 2767 2697 泵水 泵水 3475 3397 3340 模型假设 (1) 影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需
31、求. 所给数据反映该镇在通常情 况下一天的用水量, 不包括任何非常情况, 如水泵故障、水管破裂、自然灾害等 . 并且认为 水位高度、大气情况、温度变化等物理因素对水的流速均无直接影响; (2) 水泵的灌水速度为常数; (3) 从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度. 为了满足公众的用水需求不让水 箱中的水用尽, 这是显然的要求; (4) 因为公众对水的消耗量是以全天的活动(诸如洗澡、做饭、洗衣服等) 为基础的, 所 以, 可以认为每天的用水量分布都是相似的; (5) 水箱的水流量速度可用光滑曲线来近似. 问题分析与模型建立 为方便起见,记 V 表示水的容积; 表示时刻 (单位:h)水的容积
32、; 表示流出水箱的iVit )(tf 水的流速(单位;G/h),它是时间的函数;p 表示水泵的灌水速度(G/h). 先将表 1 中数据作变换, 时间单位用小时(h), 水位高转换成水的体积 ( 单,2hrV 位: ). 输入G48.7E03 tt=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223, 28543,32284,35932, 39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535, 71854,75021,79254,82649,85968,89953,93270/3600/N vv=P
33、i*(57/2)2*3175,3110,3054,2994,2947,2892, 2850,2795,2752,2697, no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767, 2697,no_data,no_data,3475,3397,3340*10(-2)*7.481/103/N 则输出下表. 89 表 2 时间/h 水量/ G310时间/h 水量/ G310 0. 0.921111 1.84306 2.94972 3.87139 4.97806 5.9 7.00639 7.92861 8.96778 9.9
34、8111 10.9256 10.9542 12.0328 606.098 593.69 583. 571.546 562.574 552.074 544.057 533.557 525.349 514.849 no_data no_data 677.685 657.64 12.9544 13.87558 14.9822 15.9039 16.8261 17.9317 19.0375 19.9594 20.8392 22.015 22.9581 23.88 24.9869 25.9083 639.505 622.324 604.571 598.299 574.982 558.756 542.52
35、9 528.212 514.849 no_data no_data 663.367 648.477 637.593 由于要求的是水箱流量与时间的关系, 因此须由表 2 的数据计算出相邻时间区间的中点 及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度. 平均流速=( 区间左端点的水量-区间右端点的水量)/ 时间区间长度 输入 tt1=Table(tti+1+tti)/2,i,27 vv1=Table(vvi-vvi+1)/(tti+1-tti),i,27 则输出下表 表 3 时间区间的 中点值/h 平均水流量/ G/h310 时间区间的中 点值/h 平均水流量/ G/h310 0.460556 1.382
36、08 2.39639 3.41056 4.42472 5.43903 6.45319 7.4675 8.44819 9.47444 10.4533 10.9399 11.4935 12.4936 13.471 11.5953 10.3498 9.73471 9.48735 8.69649 9.48974 8.90086 10.1036 no_data no_data no_data 18.5833 19.6766 13.4151 14.429 15.4431 16.365 17.3789 18.4846 19.4985 20.3993 21.4271 22.4865 23.419 24.433
37、5 25.4476 18.6466 16.0463 16.5697 15.5248 14.677 14.6733 15.5294 15.1898 no_data no_data no_data 13.4514 11.8095 为了作出时间 tt1 与平均水流量 vv1 之间的散点图, 先输入调用统计软件包的命令 $DisplayFunction 则输出图 4-2. 5 10 15 20 2510000 12000 14000 16000 18000 图 4-2 求解结果 将 h 和 h 代入到水的流速拟合函数 我们得到这两时刻的4605.t 4605.2t ),(tf 流速分别近似为 1353
38、2.5G/h 和 13196.1G/h,相差仅 2.48587%, 从而可以认为 能近似表)(tf 达 一天的用水流量.于是, 一天里的用水总量近似地等于函数 在 24 小时周期内的积分. )(tf 输入 Integrateft,t,0.46,24.46 则输出 336013.G 91 若按常规每 1000 人的用水量为 105000G/d, 因此估计出这个地区大约有 3200 人. 模型评价 该模型数学概念简单, 并且容易实现, 任意时刻从水箱中流出水的速度都可通过该模 型计算出来, 可以推测速度. 但数据太少, 只能参照一天的数据. 另外, 如果知道水泵的灌 水速度, 就能更准确地估算水泵
39、灌水期间水的流速. 实验报告 某装饰材料商店欲以每瓶 2 元的成本价购进一批彩漆. 一般来说, 随着彩漆售价的提高, 预期销售量将减少, 对此进行了估算, 见下表. 2052893481/ .6.04.50万 瓶预 期 销 售 量 元售 价 为了尽快收回资金并获得较多的赢利, 装饰材料商店打算做广告. 投入一定的广告费后, 销售量将有一个增长, 可由销售增长因子来表示. 例如, 投入 4 万元的广告费, 销售增长因 子为 1.95. 即销售量将是预期销售量的 1.95 倍. 根据经验, 广告费与销售增长因子的关系见 下表. 8.1950.2.18570.410. 7632)(销 售 增 长 因
40、 子元广 告 费 用 试确定装饰材料商店的最佳营销策略, 即确定彩漆售价和广告费投入使得预期的利润最 大? 实验 5 线性规划问题（综合实验） 实验目的 通过建立投资收益和风险问题的线性规划模型, 掌握利用线性规划理论建 立实际问题的数学模型的思想和方法. 掌握用 Mathematica 求解线性规划问题的基本方法. 基本命令 1.约束最大与约束最小命令 求解线性规划问题的命令为 ConstrainedMax 与 ConstrainedMin. 其的基本格式为 ConstrainedMaxf,inequalities,x,y, 在不等式或等式inequalities确定的可行区域上求线性目标函
41、数 f 的最大值, 约定变量 x,y,都大于或等于 0; ConstrainedMinf,inequalities,x,y, 在不等式或等式inequalities确定的可行区域上求线性目标函数 f 的最小值, 约定变量 x,y,都大于或等于 0. 注：上面两个命令都有一个可选参数: Tolerance 允许误差 (默认值是 ).610 例如, 输入 ConstrainedMin1.5 x+2.5 y,x+3 y=3,x+y=2,x,y 则输出 3.5,x-1.5,y-0.5 即当 时, 函数取得最小值 3.5. 在约束条件中可以使用等号, 但要用“= =”表5.0y,.1x 示. 例如,输入
42、 ConstrainedMax5 x+3 y+2 z+4 t,3 x+y+2 z+8 t=10, 92 2 x+4 y+2 z+t=10,x,y,z,t 则输出 18,x-3,y-1,z-0,t-0 有时, 输出结果可能有些问题. 输入 ConstrainedMax3x+2y-1,x2 即当 时, 函数取最大值 6. 21yx 注: 约束条件使用严格不等号, 结果仍旧取在边界上. 输入 ConstrainedMaxx+y,x+y15,y-10 这个问题有无穷多最优解, 这里只给出其中之一, 而且没有给出任何提示信息. 前面的例题总是给出一个最优解, 属于正常情况.下面的例子是非正常的情况. 例
43、如, 输入 ConstrainedMaxx+y,x-y=0,3x-y=0,3x-y=-1,-0.5x+yIndeterminate,y-Indeterminate 其含义是: 可行区域无界, 问题没有最大值, 或说最大值是无穷大. 然后返回投资的收益和 风险问题. 2.线性规划命令 LinearProgramming 当自变量和约束不等式较多时, 用 ConstrainedMax 或 ConstrainedMin 求解就比较麻烦. 此时, 可将目标函数和约束条件用向量或矩阵表示, 然后使用 LinearProgramming. 其基本格 式为 LinearProgrammingc,m,b 其中
44、 c 是行向量 , b 是列向量, m 是矩阵, 自变量用 x 表示, 使用该命令, 则在满足不等式 且 的可行区域中, 求出函数 cx 的最小值点 x.mx0 注: 实际输入时, b 仍以行向量表示. 此外, 这个命令也有可选参数 Tolerance, 其含义与 前面的说明相同. 例如, 用约束最小命令计算, 输入 ConstrainedMin2x-3y,x+y2,x1,x,y 则输出 0,x-6,y-4 改为用线性规划命令计算, 输入 LinearProgramming2,-3,-1,-1,1,-1,1,0,-10,2,1 则输出 6,4 93 两者结果一样, 但表示的方法不同. 注: 当
45、有无穷多组解时, 线性规划命令仍不会给出提示信息. 应用举例 生产计划中线性规划模型 某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间, 生产 A,B,C,D,E,F 六种产品,根据车床性能和以前的 生产情况, 得知生产单位产品所需车间的工作小时数 , 每个车间每月工作小时的上限 , 以及 产品的价格如表 1. 表 1 产品 A 产品 B 产品 C 产品 D 产品 E 产品 F 每月工作小时上限 甲 0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03 850 乙 0.02 0.05 700 丙 0.02 0.05 100 丁 0.03 0.08 900 单 价 0.40 0.28 0.32 0.72 0
46、.64 0.60 问各种产品每月应该生产多少, 才能使这个工厂每月生产总值达到最大? 数学建模 以 分别表示产品 A,B,C,D,E,F 的每月生产数量, 则它们应满足约束条件621,x , ( )908.03. 105 7.0. 531 62463 xx 6,21,jxj 并使目标函数 654321 728.4. xxf 达到最大. 这里, 称 为决策变量, f 为目标函数, 决策变量应满足的T),(6543 不等式组为约束条件, 其中 称为非负约束.0x 模型求解 将上述模型写成矩阵的形式, 并用 LinearProgramming 命令求解. 在矩阵形式中, 需求目标函数的最小值 , 而且要用大于等于约束条件 . 因此将目标函数 与约束条件改写成 908.03.1527 8503.0.31 647202840.min654xxxtsxf 其中 .6,1,0jxj 输入 94 c=-0.4,-0.28,-0.32,-0.72,-0.64,-0.6;
