1、 上海高三地理家教 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！ 怎样将一条线段任意黄金分割 在数学王国里有一个“数”像诗一样美妙，它就是美的密码 (准确值)=0.618(近似值) 两千多年前，古希腊的数学家欧克多索斯发现：将一条线段 AB 分割成大小两条线段 AP、PB，若 小段 PB 与大段 AP 的长度之比等于大段 AP 与全段 AB 的长度之比，即 ，如图1所示此时线 段 AP 叫做线段 AP、PB 的比例中项，则可得出这一比值为 ，这种分割称为黄金分割，点 P 叫做 线段 AB 的黄金分割点 图1 那么，应该怎样把一条线段进行黄金分割呢？或者说怎样作出已知线段的黄金分割点呢？下面提供
2、 一种作法： 如图2，已知线段 AB，求作线段 AB 的黄金分割点 图2 过点 B 作 BDAB ，使 BD= AB； 连结 AD，在 AD 上截取 DE=DB； 在线段 AB 上截取 AP=AE 则点 P 是线段 AB 上的一个黄金分割点 上海高三地理家教 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！ 那么，为什么点 P 是线段 AB 上的一个黄金分割点呢？ 事实上，若设 AB=a，AP=x，由作图过程可知 AP= 在 RtABD 中，由勾股定理可得 .整理可得 x2=a(a-x)因此点 P 是线段 AB 上的一个黄金分割点 实际上，我们不仅可以把一条线段进行黄金分割，而且还可以把一条线段任
3、意进行黄金分割，如何 把一条线段任意进行黄金分割呢？为此我们先看一个与黄金分割有趣的数量关系 如图3，点 C 是线段 AB 的一个黄金分割点(其中点 C 靠近端点 B)，由于对称性，在线段 AB 上必然 还有另一个黄金分割点 D(其中 点 D 靠近端点 A) 图3 若设 AB=a，由黄金分割的定义，得 AC=BD= a，而 ，AD=BC= a CD=BD -BC= a- a= = = a 图4 于是点 C 是线段 DB 的一个黄金分割点(靠近端点 D)利用对称性，再作出线段 DB 的另一个黄金 分割点 E(靠近端点 B)，则点 E 一定是线段 CB 的一个黄金分割点(靠近端点 B)，如图4所示
4、这样我们 就可以不断地利用对称性对线段 AB 进行黄金分割 上海高三地理家教 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！ 我们不但可以利用与黄金分割有趣的数量关系对一条线段任意进行黄金分割，还可以利用与黄金分 割有关的几何图形对一条线段任意进行黄金分割 黄金矩形 如果一个矩形的两边之比具有黄金分割比值，则称这种矩形为黄金矩形，它是由一个小 正方形和另一个小黄金矩形组成的 事实上，如图5，设大黄金矩形的两边分别为 a、b，则 ，分出一个正方形后，所余小矩 形的两边分别为(a-b)和 b，它们的比为 这样我们可以将一个黄金 矩形无限分割下去，就可以得到无限多个黄金矩形 图5 图6 黄金三角形 顶角为36的等腰三角形叫做黄金三角形其底与腰之比为黄金分割比值，底角平分线 与腰的交点为腰的黄金分割点如图6，ABC 中，A=36，AB=AC，ACB 的平分线 CP 交腰 AB 于 P，则 BC=CP=AP，且ABC CBP， ，即 AP2=BPAB， 再作ABC 的平分线交 CP 于 P1，作BPC 的平分线交 BP1于 P2，得到BPP 1，PP 1P2，均为黄 金三角形如此下去则可得到一系列的黄金三角形 亲爱的同学们，你知道怎样根据黄金矩形和黄金三角形的性质对一条线段任意进行黄金分割了吗？ 赶快动手试一试吧
