1、忻州市 2013 届高三上学期第一次联考 数学理试题 注意事项: 1答题前，考生务必用 0.5mm 黑色中性笔，将学校名称、姓名、班级、联考证号填写在试题 和答题卡上。 2请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。 3满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1设全集 RU， ,021|RxxA ，则 AC A )2,( B ,( C )2,1 D 2,1 2复数 1iz在复平面内对应点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3等
2、差数列 na中，a 3+a11=8, 数列 nb是等比数列，且 b7=a7，则 b6b8 的值为 A2 B4 C8 D16 4下列命题正确的是 A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B若一个平面内的三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面垂直 5设 10)2(x展开后为 1+ 1ax+ 2+ 10ax， 1+ 2= A20 B200 C55 D180 6设 O 为坐标原点，A（1，1） ，若点 B（x，y）满足 201yx ，则 OA B取得最小值时，点 B
3、的个数是 A1 B2 C3 D无数个 7函数 )sin()xf（其中 2|,0）的图象如图所示，为了得到 ()fx的图象，则只 要将 (2gx的图象 A向右平移 1个单位长度 B向右平移 6个单位长度 C向左平移 2个单位长度 D向左平移 个单位长度 8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 A38 B38 C38+ D382 9已知函数 1,132)(xxf ，则函数 y=f(x)-log3x 在（-1，3上的零点的个数为 A4 B3 C2 D1 10设双曲线 )0,(2bay的离心率为 e= ， 右焦点为 F（c，0） ，方程 ax2-bx-c=0 的 两个实根分别为 x1 和 x
4、2，则点 P（x 1，x 2） A在圆 x2+y2=8 外 B在圆 x2+y2=8 上 C在圆 x2+y2=8 内 D不在圆 x2+y2=8 内 11已知 B为等边三角形，AB=2 ，设点 P，Q 满足 AB， ACQ)1( 则若 ,23,RPQ A 21 B. 1 C 210 D 23 12给出下列四个命题： （1）在ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 BaAbcossin，则 4; （2）设 ba,是两个非零向量且 ab ，则存在实数 ，使得 ； （3）方程 0sinx在实数范围内的解有且仅有一个； （4） babaRb则且 3,3； 其中正确的个数有 A4 个 B
5、3 个 C2 个 D1 个 二填 空 题 ： 本 大 题 共 4 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 请 把 答 案 填 在 答 题 纸 的 相 应 位 置 . 13 10(2)axd= 14某校高三年级共有六个班，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年 级的两个班且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数 （用数 字作答） 15按右图所示的程序框图运算，则输出 S 的值是 16定义在 R 上的函数 ()yfx是减函数，且函数 (1)yfx的图象 关于（1，0）成中心对称，若实数 s满足不等式 2sf+ ，则 s的取值范围是_ 三解答题：本大题共 6 个小题，满分 70 分，解
6、答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17 （本题满分 12 分） 成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列 nb中的 3、 4、 5b （1）求数列 n的通项公式； （2）数列 n的前 n 项和为 nS 18 （本题满分 12 分） 如图所示，在矩形 ABCD中， 4,2,AECD是 的中点，F 为 BC 的中点，O 为 AE 的 中点，以 AE 为折痕将ADE 向上折起，使 D 到 P 点位置，且 PB （1）求证： ;POE面 （2）求二面角 E-AP-B 的余弦值 19 （本题满分 12 分） 为
7、迎接建党 90 周年，某班开展了一次“党史知 识竞赛” ，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行， 在初赛后，把成绩（满分为 100 分，分数均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表： （1）求 ,abcd的值； （2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选 手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答 完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的 概率 P 的值恰好与频率分布表中不少于 90 分的频率的值相同.设该 同学决赛中答题个数为 X，求 X 的分布列以及 X 的数学期望 20 （本题满分 12 分） 已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F 和
8、椭圆 2143xy 的右焦点重合，直线 l过点 F 交抛物线于 A、B 两点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若直线 l交 y 轴于点 M，且 ,AmBnF ， m、n 是实数，对于直线 l，m+n 是否 为定值？若是，求出 m+n 的值，否则，说明理由 21(本小题满分 12 分) 设 aR，函数 (xf = 2 xe （ 12a） ，其中 e 是自然对数的底数 （1）判断 f (x)在 R 上的单调性； （2）当 1 0 时，求 f (x)在1，2 上的最小值 选做题：请考生从给出的 3 道题中任选一题做答，并在答题卡上把所选题目的题号用 2B 铅笔涂 黑 注意所做题目的题号必须与所涂
9、的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则 按所做的第一题计分 22 （本题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，已知 C、F 是以 AB 为直径的半圆 O上的两点，且 CFCB ，过 C 作 CDAF 交 AF 的延长线与点 D （1）证明：CD 为圆 O 的切线； （2）若 AD3，AB 4，求 AC 的长 23 （本题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知两点 O(0，0)，B(2 ， )2 4 (1)求以 OB 为直径的圆 C 的极坐标方程，然后化成 直角方程； （2）以极点 O 为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立 平面直角坐标系，直线
10、l 的参数方程为 ,12ty （t 为参数） 若直线 l 与圆 C 相交于 M，N 两点， 圆 C 的圆心为 C，求 MNC 的面积 24 （本题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 f (x)| x a | + | x + 2 |(a 为常数，且 aR) （1）若函数 f (x)的最小值为 2，求 a 的值； （2）当 a2 时，解不等式 f (x) 6 忻州市 20122013 学年高三第一次联考 高三数学（理科）参考答案 一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 D A D C B B C B C C A A 二、填空题 13. 2;
11、14. 90; 15. 56 ; 16. (- ,12， ） ， 三、解答题 得 2d或 13（舍） ，于是 3345,1052nbb6 分 (2)因为数列 nb是首项 1,公比 q2 的等比数列, 9 分 前 n 项和 254nS 12 分 18.解析：（1） ,PAEOPAE 2 分 BC 的中点为 F，连 OF，PF，OFAB，OF BC 因为 PB=PC BC PF，所以 BC面 POF 3 分 从而 BCPO 4 分 又 BC 与 AE 相交，可得 PO面 ABCE 5 分 （2）作 OGBC 交 AB 于 G，OGOF 如图， 建立直 角坐标系 ;,OFP A（1，-1，0） ，B
12、（1，3，0 ） ，C（-1，3，0） ， P（0， 0， 2）(,4)(,2)(,4)CPAB 6 分。 设平面 PAB 的法向量为 1(,)nxyz 204nPxyz1(2,0)n 8 分 同理平面 PAE 的法向量为 2(,0) 9 分 321)(cos 221 nBAPE 11 分 二面角 E-AP-B 的余弦值为 3 12 分 19.() 550.1,0.,1,0.2abcd 4 分 ()X 的可能取值为 2，3，4 ， 5 分12(2)0,()0.8.064,PXPXC12334.80.96C 8 分 所以分布列为 X 2 3 4 P 0.04 0.064 0.896 10 分()
13、0.43.640.89.56E 12 分 20.解：（）椭圆的右焦点 (1,),2pF 由 2222(1)()04ykxkx 5 分 242()6(1) 21124,kx 7 分 又由 1, ,)(),MAmFxykmxym 即 m= 1x,同理 2n， 9 分 21121()xxn 11 分 所以，对任意的直线 l，m+ n 为定值-1 12 分 21解：（1） axeaxexf 21)(2)( = )12(axe 2 分 因为 02xe ，以下讨论函数 g (x) = a + 2ax a 1 值的情况 当 a = 0 时，g (x) = 1 0 时，g (x) = 0 的判别式 = 4 2
14、a 4( +a) = 4a 0， 所以 g(x)0，即 )(xf，所以 f(x)在 R 上是减函数 5 分 当 a 0 时，g (x) = 0 有两个根， a ，并且 a 0，即 0)(xf，f (x)在此区间上 是增函 数在区间（ a , a ）上，g (x) 0，即 0)(xf，f (x)在此区间上是增函数 .7 分 综上，当 a0 时， f (x)在 R 上是减函数； 当 a 0 时，f (x)在（ a , ）上单调递增，在（ a , a ）上单调递减， 在（ , ）上单调递增.8 分 （2）当 1 a 0 时， 1a ， 21aa ， 10 分 所以，在区间1，2上，函数 f (x)单
15、调递减， 11 分 所以，函数 f (x)在区间 1，2上的最小值为 f (2) = 2 15e 12 分 22 （）证明： CFB， AFCB OA， O， 则 ， D， 则 D为圆 的切 线 5 分 （）解：连接 B，由（ ） 知C 又 90A， AC B. F D OA B C ADCB则 212ADB，所以 23AC 10 分 23解： ()设 P(,)为圆上任意一点，则 |OP| ，POx ， 4 在 RtPOB 中，cos( ) ，即 2 cos( ) 4 2 4 22 cos +2 sin ，2 2 圆 C 的直角坐标方程为 (x2) 2( y2) 2=2 5 分 （）作 CDMN 于 D，C 到直线 l 的距离为 d ， 在 RtCDA 中， |MN|2 ，2 d2 S 10 分 12 24解：（）f (x )|x a|x2| | ax | |x2| |a xx2|a2|， 由|a 2|2，解得 a0 或 a 4 5 分 （）f (x )= |x2|+|x 2| 当 x2 时，不等式为 2xx 26，其解为3x2； 当2x2 时，不等式为 2xx 26 恒成立，其解为 2x2； 当 x2 时，不等式为 x2x 26，其解为 2x3； 所以不等式 f (x)6 的解集为3，3 10 分 如有其它解法，相应给分
