1、正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据锐角三角函数的定 义，有 sinCDaB, 。sinbA 由此，得 iiA， 同理可得 isincbCB， 故有 siisic.从而这个结论在锐角三角形中成立 . （2）当 ABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高，交 AB 的延长线于点 D，根据锐角三角函数的定义，有 sinsiDaAC， 。sinDbA 由此，得 siniabAB， 同理可得 iicbB 故有 iiCsinc. 由(1)(2)可知，在 ABC 中， iiabAsincC 成立 . 从而得到：
2、在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即siniabABsinc . 1用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点 A，点 B 之间的距AB|，可测量角 A 与角 B， 需要定位点 C，即： 在如图ABC 中，已知角 A，角 B，AB c ，求边 AC 的长 b 解：过 C 作 CDAB 交 AB 于 D，则 cosAD siniostacoACCsi(sincsico)sinACBbCA 推论： sinicB 同理可证： isiinabcAC ab DA B C A B C D b a 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知ABC,设 BCa, CAb,AB
3、 c, 作 ADBC,垂足为 D.则 RtADB 中, ,AD=ABsinB=csinB.ABDsin S ABC = .同理,可证 SABC = .Bacsin21 AbcCasin21si S ABC = .absinc=bcsinA=acsinB,acAbCsin21i 在等式两端同除以 ABC,可得 .即 .bBii Bsinisin 3.向量法证明正弦定理 (1)ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 ,则 j 与 的夹角为AC 90-A,j 与 的夹角为 90-C.由向量的加法原则可得 ,CB A 为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向
4、量 j 的数量积运算,得到 Bjj)( 由分配律可得 . B A |j| Cos90+|j| Cos(90-C)=|j| Cos(90-A). j ACB asinC=csinA. . A cAasini 另外,过点 C 作与 垂直的单位向量 j,则 j 与 的夹角为 90+C,j 与 的夹B 角为 90+B,可得 .Bbcsii (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为 j 与 的夹A 角为 90-C,j 与 的夹角为 90-B) .ACcBbAasinisin DC B A C (2)ABC 为钝角三角形,不妨设 A90, 过点 A 作与 垂直的单位向量 j,则 jC 与
5、 的夹角为 A-90,j 与 的夹角为 90-C.BCB 由 ,得 j +j =j , jCB 即 aCos(90-C)=cCos(A-90),asinC=csinA. cAasini 另外,过点 C 作与 垂直的单位向量 j,则 j 与 的夹角为 90+C,j 与 夹BCAB 角为90+ B.同理,可得 . cbsinicBbsimsii 4.外接圆证明正弦定理 在ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作ABC 的外接圆,O 为圆 心,连结 BO 并延长交圆于 B,设 BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同 弧所对的圆周角相等可以得到 BAB =90，C = B ， sinC=sinB= . .RcB2sini RC2sin 同理,可得 . .RBbAa2sin,sibAaiisi 这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 .Ccbiinsi A C BA
