1、弘博堂教育签约中心 弘博堂教育官网： 内江校区：2269495 2262811 弘 博 堂 教 育 高 一 数 学 必 修 1 知 识 点 总 结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由 HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3)元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋 (1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：
2、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1） 列举法：a,b,c 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32 3） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合 (3)空集 不含任何元素的集合 例：x|x 2=5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意： 有两种可能（1）A 是 B的一部分， ；（2）A 与 B是B 同一集合。 反之:
3、集合 A不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2 “相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相 等” 即： 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 A B那就说集合 A是集合 B的真子集， 记作 A B(或 B A) 如果 AB, BC ,那么 AC 弘博堂教育签约中心 弘博堂教育官网： 内江校区：2269495 2262811 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有
4、 n个元素的集合，含有 2n个子集，2 n-1个真子集 三、集合的运算 运算 类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于 A且属 于 B的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的交集记作 A B（读作A 交 B） ，即 A B=x|x A， 且 x B 由所有属于集合 A或 属于集合 B的元素所 组成的集合，叫做 A,B的并集记作：A B（读作A 并 B） ， 即 A B =x|x A， 或 x B) 设 S是一个集合，A 是 S的一个子集，由 S中所有不属于 A的元 素组成的集合，叫做 S中子集 A的补集（或 余集） 记作 ，即CS CSA= ,|x且 韦 恩 图 示 A B 图1 A B
5、 图2 S A 性 质 A A=A A = A B=B A A B A A B B A A=A A =A A B=B A A B A B B (CuA) (CuB) = Cu (A B) (CuA) (CuB) = Cu(A B) A (CuA)=U A (CuA)= 例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 S A 弘博堂教育签约中心 弘博堂教育官网： 内江校区：2269495 2262811 2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合 M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x0 ，则
6、M与 N的关系是 . 4.设集合 A= ，B= ，若 A B，则 的取值范围是 1xxaa 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40人，化 学实验做得正确得有 31人， 两种实验都做错得有 4人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M= . 7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC，AC=，求 m的值 二、函数的有关概念 1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对 应关系 f，使对于集合 A中的任意一个数 x
7、，在集合 B中都有唯 一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y值叫做函 数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数 x的集合称为函数的定义 域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么， 它的定义
8、域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数 值的字母无关） ；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21页相关例 2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x为横坐标，函数值 y为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关 系 y=f(x)，反
9、过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y为 弘博堂教育签约中心 弘博堂教育官网： 内江校区：2269495 2262811 坐标的点 (x， y)，均在 C上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示 5映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的 对应法则 f，使对于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B中都 有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应 f：A B为从集 合 A到集合
10、 B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象） ” 对于映射 f： A B来说，则应满足： (1)集合 A中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A中不同的元素，在集合 B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的 并集 补充：复合函数 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。 二函数的
11、性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内的某个区 间 D内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x11 0a1 0a0，a 0，函数 y=ax与 y=loga(-x)的图象只能是 ( ) 2.计算： ; = ； = ;64log2733log422log7l53 1 = 213431 0.6)(80. 75.0 3.函数 y=log (2x2-3x+1)的递减区间为 1 4.若函数 在区间 上的最大值是最小值的 3倍，则 a= )(log)axf 2,a 5.已知 ， （1）求 的定义域（2）求使 的 的取值范围(01且 ()fx
12、()0fx 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数 ，把使)(Dxfy 成立的实数 叫做函数 的零点。0)(xfx 2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实)0)(xf 数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。)(fy 即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交)(f)(fy 点 函数 有零点x 3、函数零点的求法： （代数法）求方程 的实数根； 1 0)(f （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 2 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点)(xfy 弘博堂教育签约中心 弘博堂教育官网： 内江校区：2269495 2262811 4、二次函数的零点： 二次函数 )0(2acbxy （1），方程 有两不等实根，二次函数的 图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点x （2），方程 有两相等实根，二次函数的2 图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 （3），方程 无实根，二次函数的图象与0cbxa 轴无交点，二次函数无零点x 5.函数的模型 检验 收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型 用函数模型解释实际问题 符合实际 不符合实际
