1、1 江苏省 2014 年普通高校“专转本”统一考试模拟试（一） 高等数学 注意事项： 1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。 2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。 3.本试卷五大题 24 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内） 。 1. 已知 存在，则常数 的值分别为（ ） 312limxab,ab A. B. C. D. ,4b1,41,41,4ab 2. 函数 的可去间断点是（ ） 2()(xf A.
2、B. C. D. 0x12x 3.当 时，下列无穷小中与 不等价的是（ ） A. B. C. D. 2x 2ln()x2sin()x21xe 4.设 的一个原函数是 ，则 （ ）()f 2l21fd A. B. C. D. 2ln1xc2n(1)xc2ln()xc2ln(1)xc 5.下列级数绝对收敛的是（ ） A. B. C. D. 21()n 321()nk1()lnn11()lnn 6.二重积分 交换积分次序后得（ ） 210,xdfyd A. B. 210(,)yf 210(,)yfxd C. D. 210(,)ydfxd 210(,)yf 2 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题
3、6 分，共 24 分，请把正确答案的结果添在划线上） 。 7、若 ， 2lim()8xxa 8、设 是连续函数， ，则 f 2()() xeFftd()Fx 9、以 为顶点的三角形面积 = (1,20)(,31,ABC 10、设函数 由方程 所确定，则 ,zxy23zexy zx 11、定积分 12()d 12、幂级数 的收敛域为 13 nnx 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分） 。 13、求极限 20tasilim()xx 14、设函数 由方程 所确定，求()yx23ln()sinxyx(0),y 3 15、求不定积分 2arcsin1xd 16、计算定积分 30
4、(1)dx 17、求通过平面 和平面 的交线及点 的平面1:240xy2:0yz0(2,1)M 方程。 4 18、设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 。2(sin,)xzfeyf 2zxy 19、计算二重积分 ，其中 是由 以及 轴所围成的平面2Dxyd1,2xyxx 闭区域。 20、已知 是二阶常系数非齐次线性方程 的一个特解，2(1)xye 2xyye 试确定常数 的值，并求该方程组的通解。, 5 四、综合题 21、 设函数 21()xf （1）求函数 的单调区间、极值。yf （2）求函数 图形的凹凸区间、拐点及渐进线方程。()x 22、设直线 与抛物线 所围成的图形面积为 ,它们与直线
5、所(01)yax2yx1S1x 围成的平面图形面积为 2S （1）试确定 的值，使 达到最小，并求出最小值。1 （2）求该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体体积。x 6 五、证明题 23、证明：当 时，0x22(1)lnxx 24、设 ，其中 为有界函数，证明： 在 处连续且2 1cos0()()xfx()x()fx0 可导。 7 江苏省 2014 年普通高校“专转本”统一考试模拟试（一）解析 一、单项选择题 1. 已知 存在，则常数 的值分别为（ ） 312limxab,ab A. B. C. D. ,4b1,41,41,4ab 解：该题考察等价无穷小阶的比较，求极限等概念与方法
6、。 因为 这表明 是 时的一阶无穷小；1li()0x1()x 存在，可推出 ，同阶无穷小量或是高阶无穷小量 312limxab31lim(2)0xa 的商式极限才有可能存在，这是无穷小量阶的比较理论。 由 可得 ，解得 。31li()0x1033211 123lilili4axxxb 故答案选择 B 2. 函数 的可去间断点是（ ） 2()1)(4xf A. B. C. D. 0x2x 解：求函数间断点的方法首先需要考察函数的定义域，因为初等函数在定义域内都是连续 函数，只有定义域的分段点才有可能是间断点。 本题的间断点有可能为 ，下面逐个考察0,12,xx 当 时，因函数表达式中含有绝对值，
7、从而必须分左右极限加以讨论。0x2000()1lim()lilim(1)412xx xf x200 0()li()li li() 2xx xf 综上可知， 是跳跃间断点； 下面继续判断 是否为间断点。1,2 当被讨论的函数是分段函数，并且分段点左右两边的表达式互不相同时，判断分段点的连 续性或是间断点的类型才需分左右极限加以讨论。 8 是无穷间断点，这是因为1x ； 211 1(2)lim()lilimlim()4()2xx x xxf 是可去间断点，这是因为2 ； 22 2() 1li()lili li(1)1()4xx x xxf 是无穷间断点，这是因为 ； 22 2 2()lim()li
8、limlim()4(1)xx x xxf 从而该题选择 D 3.当 时，下列无穷小中与 不等价的是（ ）0 A. B. C. D. 21x 2ln(1)x2sin()x21xe 解：判断等价无穷小或是无穷小的阶，结合本题，常用的方法是 考察 ，则说明无穷小量 是 阶无穷小。0 ()limkxc()xk 进一步 ，说明无穷小量 与 是等价无穷小。0 ()li1kx ()kc 本题需要判断所给出的四个选项中的无穷小与 是否为等价无穷小，只需判断x 何时成立。0 ()limx 201lix20ln(1)ix20014limli1xxee2200sin()sillx x20sinlx 时， 2si 从
9、而 C 选项是错误的。 对于寻找一个无穷小量的等价无穷小量，这是一个非常重要的问题，这涉及到求极限，无 穷小阶的比较，级数敛散性的判断等许多问题。学习过程中还需掌握以下一些结论： 同“小”取“小”：有限个无穷小量的代数和，其阶数取最低的无穷小量的阶。 例如： 时， ，其阶数为 1 阶，它与 是同阶无穷小，且为等价无穷小。0x2537xx 同“大”取“大”：有限个无穷大量的代数和，其阶数取最高的无穷小量的阶。 9 例如： 时， ，其阶数为 5 阶，它与 是同阶无穷大，且与 是等x2537x5x57x 价无穷大。 以上结论的证明不难，大家可尝试使用以上结论求解本题。 4.设 的一个原函数是 ，则
10、（ ）()fx2lnx2(1)fdx A. B. C. D. 2ln1c2(1)c2lnc2ln(1)xc 解：该题是考察函数与原函数之间的关系。 本题有两种思路，一种是对 分别求两次导数，可得 ，然后再积分：()Fx()f 另外一种是先对 积分，再根据已知条件求解。 21xfd 解题时除了考察可行性，还要考虑计算效率。 22221(1)()()xfdfxfxc2ln()(l)fFx 从而， 2221l(1)()()xfdfcc 5.下列级数绝对收敛的是（ ） A. B. C. D. 21()n 321()nk1()lnn11()lnn 解：考察一般项级数的是否绝对收敛，可使用正项级数敛散性的
11、判别方法。 正项级数敛散性的判别方法通常有比较判别法，比式判别法以及根式判别法。 对于比较判别法，通常使用极限形式。 设正项级数 和 ，若 ，则 与 同敛同散。1nu 1nvlim0nul1nu1nv 该定理的意义在于寻找 的同阶无穷小 ，特别的，若 ， 和 是等价无穷nnvlnuv 小。根据 的敛散性推出 的敛散性。1nv 1nu 通常选取 级数 ， 收敛， 发散；1np1pn1p 10 -级数的意义在于 当 时是 阶无穷小。可通过判别无穷小的阶数进而判p 1()pnp 断级数的敛散性。 本题中考察 通项 的同阶或是等价无穷小对应级数的敛散性。1nu n 选项 A 中 ； ，从而原级数不绝对
12、收敛。2n1n p 选项 B 中 ； ，从而原级数绝对收敛。332 1nuk312n 选项 C 中 ； ，从而原级数不绝对收敛。ln 1np 选项 D 中 ； ， ，从而原级数ll2nu112nn p 不绝对收敛。 6.二重积分 交换积分次序后得（ ） 210(,)xdfyd A. B. 210,yf 210(,)yfxd C. D. 210(,)ydfxd 210(,)yf 二重积分 的积分区域为 210(,)xfy 201xDy 只用 型积分区域表示为y 2 01Dyx 答案选择（A） 二、填空题 7、若 ， 2lim()8xxa 解：该题考察的是第二个重要极限， ， 33lim(1)li
13、(1)8xax axae 解得 ln2a 11 8、设 是连续函数， ，则 ()fx2()() xeFftd()Fx 解：变上限函数的求导公式，对于很多同学可能会觉得不容易记牢 在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆 () ()()bxbxaaftdtax() ()()xFfbfax 2 2()()xexFftdfex 9、以 为顶点的三角形面积 = (1,0)(,31)(,)ABC 解：该题考察的是向量的点乘和叉乘等运算性质 以向量 和向量 为两边的三角形的面积等于 ，a b12ab ，(2,1)ABO (3,41)bBCO ，21534 ijkabijk 55aijk 三角形的面积等于
14、32ab 10、设函数 由方程 所确定，则 (,)zxy23zexy zx 解：本题求由方程 所确定的隐函数 的偏导数。,0F(,)y 解法一：对方程 两边关于 直接求偏导数,得 23zexyx ，解得 3z321zye 解法二：公式法 设 ,则 ， 23(,)zFxyexy3(,)2xFxy(,)1zzFe 由公式 1 xz 12 11、定积分 12()xdx 解：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质 11 112222 2()()xdxxd 12、幂级数 的收敛域为 1()3 nnx 解：幂级数 的收敛半径 ，收敛区间为 ,1na 1limnaR()R 收敛域为 +收敛区间端点。
15、(,) 幂级数 的收敛半径 ，收敛区间为 ,01nnax 1lina0(,)x 收敛域为 +收敛区间端点。0(,)R 该题中 ， ，收敛区间为3na 11()3limlinna(5,1) 当 时，原级数变为 收敛；5x1() n 当 时， 原级数变为 发散；11n 所以原级数的收敛域为 5,) 三、计算题 13、求极限 20tansilim(1)xx 解：求极限时，多次使用罗比达法则，成了求极限的“利器” 。这是不提倡的。 罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通过求导将难求极限的 极限形式转变为容易求极限的形式。 求极限的通常形式是无穷小量或是无穷大量阶的比较，使用等价无
16、穷小或是等价无穷 大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。本题可这样求解 求极限 ，目的是找到 的等价无穷小。0tansilimkxxtansix 13 3000001tansisin(1cos)in(1cos)2limllmlilimkk k kxxxxx 显然，当 时， ，也即33taii23tani2 从而，可得 时，0x31tansixx 又 2l() 从而 322001tansiliml(1)4xx 本题常规做法是 ，然后使用罗比达法则求极限。2300tintasinlilm()xxx 两种解题方法，体现了对极限思想不同理解的差异，其繁简程度大家做完该题后自行体会。 14、设函
17、数 由方程 所确定，求()yx23ln()sinxyx(0),y 解：该题是隐函数求导的问题，可对方程两边直接求导，求一阶导时，也可采用公式法求 导。 求一阶导数： （1） 直接求， 232cosxyxy 说明：求 本可对上式两边继续关于 求导，但是上式等号左侧是商的形式，求完后形式y 较繁琐，而且后续计算量较大，积的导数形式要比商式的导数简单。从而变形为下面的表 达式。 解出 4522323coscosxyxyxyyx 对上式两边关于 继续求导得 34452(1)()(csin)x22336 oxyxyxyy 上式中令 ，可得0(0) 将 代入 中x4522323cscosxyxyxyyx
18、14 得 (0)y 将 代入 得 ，得x23ln()sinxyxl(0)y()1y 从而解得 ， ，()1y01 通过求解本题，大家需要学习到解题过程中细节的处理，以及解题风格的培养，本题难度 不大，但是求解过程冗长，如何沉着仔细，又快又好的得到正确结果，需要不断训练。 （2） 求解一阶导数时还可使用公式法求解 设 23(,)ln()sin0Fxyyx ， ，2, cox 321(,)yFxxyxyFd 将以上各式代入整理，转化为积的形式，继续求导，可得 15、求不定积分 2arcsin1xd 解:根据往年的命题规律，几乎每年都有不定积分与定积分的题型各一道。主要考察第一、 第二类换元法与分部
19、积分法。 分析： 2222arcsin11arcsinri(arcsin)(arcsin)(arcsin)21xdxdxdxxxd 从而该题转化为求解不定积分 ，继续使用分部积分不可取。(acsi) 可考虑使用换元法，令 rin,sinxttdxt2222(arcsin)ssisixdt td 做到此，积分 是容易求的，但是做到这，回过来看看，好似兜了个大圈子，该方i 法也可以求解出结果。但是有点繁琐。 经过以上分析，本题最好的求解方法是直接换元。 解：令 arcsin,si,sincoxttdxtdt2coiscoscosin1dtttttdttc 15 变量代换可得 22arcsin1ar
20、csin1xdxx 16、计算定积分 30()xx 解： 334001(1)1)()dddt 令 ，则 ， ，上式变为tu2ttu4 222211111()()()dddut 2ln3l4ln3 17、求通过平面 和平面 的交线及点 的平面1:20xy2:0yz0(2,1)M 方程。 解：求平面方程通常使用点法式，这是最基本的方法。 解法一：（基本解法，点法式）对于本题，先取满足方程组 的两个特殊点420xyz 和 ，再由平面上的不共线三点 求出平面方程。具体可先1(,2)P2(0,4) 120,PM 求出向量 和 ，然后两向量再叉乘求出平面的法向量。使用点法式求出平面方程。1M P 该方法虽
21、然计算量略微繁琐，但是方法是基本方法。 解法二：该题还可使用平面束理论 假设有两个相交平面 和平面 ,111: 0AxByCzD222: 0AxByCzD 则通过两平面的交线的所有平面构成一平面束。其方程为 1122()0xyz 注意：该平面束不包含平面 ，因为 时，上面的方程表示平面 。201 解: 设通过平面 和平面 的交线的方程为1:4xy2:yz2()z 因为点 在该平面上，代入上面的方程解得0,1M 13 16 从而所求方程为 ，也即124(2)03xyz360xyz 18、设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 。2(sin,)xzfef 2 解：该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。
22、21(si)()xxxzfeyfy12sineyfx2x1212(in)(i)()xxyyyfff 21121cosisin)xyyyeyfffefx 2221n(si)()(i)x xyyff112212cos(cos)cosxx xeeffeyf 19、计算二重积分 ，其中 是由 以及 轴所围成的平面2Dyd,y 闭区域。 解： 该题的积分区域 是无论是使用 型积分区域还是 型积分区域，都必须分成两块xy 来表示 ，该题使用 型积分区域求解。 x12 11222 200xxDDDxydydyddy12301528xx 20、已知 是二阶常系数非齐次线性方程 的一个特解，2()xye 2xy
23、ye 试确定常数 的值，并求该方程组的通解。, 分析：对于该题，需要熟悉形如 的特解形式()xnyyPe 方程的特解形式为 *()kxnQ 其中 的取值为 不是特征方程 的根， 则 ；k20r0k 17 不是特征方程 的单根，则 ；20r1k 不是特征方程 的重根，则 ；2 是与 次数相同的多项式；()nQx()nP 根据以上理论，本题的特解形式应为 , 是待定的零次多项式。*2kxyAe 本题的特解形式为 ，与已给的形式不匹配，所以已(1) 有的公式不能使用，需要使用其他方法。将特解代入方程，过程如下 ； ； *2xye*23xxye*284xxye2 2(84)()()e 23xxe 对比
24、上式左右两边，可得 解得2080 从而原方程对应的齐次线性方程为 ，对应的特征方程为 ，对应的y20r 特征根为 ，故齐次线性方程的通解为120,r012xxyce 原方程的特解为 0221()xxxyce 说明：本题的特解 ，*()e 其中 是 的解，2xe2xy 是 的解，0 是 的解。若强行使用特解形式，将导致错误。2xe2xye 四、综合题 21、 设函数 21()xf （1）求函数 的单调区间、极值。yf （2）求函数 图形的凹凸区间、拐点及渐进线方程。()x 解： 18 （1） ，解得驻点为 ，不可导点为 22244()1()xxxf2x 。0x(,2)(2,0)(0,)f(x 单
25、调递减 极小值 单调递增 无定义 单调递减 函数的极小值为 。1(2)4f （2） 242484()()6()xxxxf 二阶导数等于零的点为 和二阶导数不存在的点为 。30x(,)(,0)(,)f (x 凸函数 拐点 凹函数 无定义 凹函数 函数的拐点为 2(3)9f 函数 的渐进线方程21()xf 水平渐进线为 ，即 ；铅直渐进线 ，即 ；lim()0xfy0lim()xf0x 斜渐进线因 不存在，从而不存在。lixk 22、设直线 与抛物线 所围成的图形面积为 ,它们与直线 所(01)ya2yx1S1x 围成的平面图形面积为 2S （1）试确定 的值，使 达到最小，并求出最小值。1 （2
26、）求该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体体积。x 解： 19 （1） 12230 1()()(2)6aaSxdxda ，解得 （舍去） ，2 ，故 在 处有极小值，极小值为 ；()0Sa()Sa226 （2） 12V 2112 22200()()()()xdxdxdxd 13 五、证明题 23、证明：当 时，0x22(1)lnxx 分析：证明不等式的常用方法通常有以下几种 （1）利用单调性证明 （2）利用极值或是最值理论证明 （3）利用拉格朗日中值定理并结合导数的有界性 对于本题，可尝试使用单调性证明 分析法证明： 欲使原不等式成立，等价于证明：当 时，0x2(1)ln0xx 设
27、，且2()(1)lnFx()F 从而等价于证明当 时， 严格单调递增。即要证明0x()2l(1)xx 改证当 时， ，对于该不等式，可对函数 在区间 上使用xl() ln10, 拉格朗日中值定理。 ，因 介于 和 之间，且 ，1ln1l0(0)xxx 易知 ，从而 ，故1ln() 原命题得证。 20 24、设 ，其中 为有界函数，证明： 在 处连续且2 1cos0()()xfx()x()fx0 可导。 解析：要讨论分段函数在分段点的连续性和可导性，若分段点左右两端的表达式互不相同 需要讨论左右连续性和左右可导性。 本题的分段点是 ，左右两端的表达式互不相同。0x 首先讨论连续性 左极限 无穷小乘有界量仍然是无穷小量20()lim()xf 右极限 20011cos()lilixxf 因为 ，故 在 连续。ff()f 讨论可导性 左导数 2000()()()limlilim()xxxff 右导数 230001()1cos()lililixxxff 因为 ，故 在 可导。()ff()f 从而函数 在 处连续且可导。x0 21
