1、四川省成都市大邑县安仁中学 2015 届高三上学期二诊模拟数学 试卷（理科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1 （3 分）已知 + 是实数，其中 i 为虚数单位，则实数 a 等于（） A 1 B C D 2 （3 分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A 2+8 B 8+8 C 4+8 D 6+8 3 （3 分）下列有关命题的说法正确的是（） A 命题“ xR，使得 x2+x+1 0”的否定是“ xR，均有 x2+x+10” B “x=1”是“ x25x6=0”的必要而不充分的条件 C 命题“若 x2=1 则 x=1”的否命题为“ 若 x2=
2、1，则 x1”来源:Z.xx.k.Com D 命题“若 x=y 则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 4 （3 分）运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（） A B C D 5 （3 分）已知点 ，O 是坐标原点，点 P（x，y）的坐标满足 ，设 z 为 在 上的投影，则 z 的取值范围是（） A B 3，3 C D 6 （3 分）已知点 M 是直线 3x+4y2=0 上的动点，点 N 为圆（x+1） 2+（y+1） 2=1 上的动点， 则|MN|的最小值为（） A B 1 C D 7 （3 分）函数 f（x）=cos（ x+ ） （xR ，0）的最小正周期为 ，为了得到 f（x）的
3、图象，只需将函数 g（x）=sin（ x+ ）的图象（） A 向左平移 个单位长度 B 向右平移 个单位长度 C 向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度 8 （3 分）已知椭圆 （ab0）与双曲线 （m0，n0）有相同的焦 点（c，0）和（c，0） ，若 c 是 a、m 的等比中项，n 2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离 心率是（） A B C D 9 （3 分）已知向量 ， 满足 ， ， （，R ） ， 若 M 为 AB 的中点，并且 ，则点（，）在（） A 以（ ， ）为圆心，半 径为 1 的圆上 B 以（ ， ）为圆心，半径为 1 的圆上 C 以（ ， ）为圆心，半
4、径为 1 的圆上 D 以（ ， ）为圆心，半径为 1 的圆上 10 （3 分）函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且满足 f（x+2）=f（x） ，当 x0，1时， f（x）=2x，若方程 axaf（x）=0（a0）恰有三个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 （） A （ ，1） B 0，2 C （1，2） D 1，+ ） 二、填空题 11 （3 分）在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在 第一步或最后一步，程序 B 和 C 实施时必须相邻，则实施程序的编排方法共有种（用数字作 答） 12 （3 分）若非直角三角形 ABC 内，角 A、B 、C
5、 成等差数列， tanA+tanCtanAtanBtanC= 13 （3 分）已知两个向量 的夹角为 120且 =2，设两点 B，C 的中点为点 D，则| |的最小值为 14 （3 分）设二次函数 f（x ）=ax 2+bx+c（a，b，c 为常数）的导函数为 f（x） 对任意 xR，不等式 f（x） f（x）恒成立，则 的最大值为 来源:Zxxk.Com 15 （3 分）已知函数 f（x） = g（x）=asin（ x+ ） 2a+2（a 0） ，给出下列结论： 结论： 函数 f（x）的值域为0， ； 函数 g（x）在0，1 上是增函数； 对任意 a0 ，方程 f（x） =g（x）在0，1
6、内恒有解； 若存在 x1，x 20，1，使得 f（x 1）=g（x 2）成立，则实数 a 的取值范围是 ， 其中所有正确结论的序号是 三、解答题 16 （12 分）设函数 f（x）=sin（x ） 2cos2 x+1（ 0）直线 y= 与函数 f（x）图 象相邻两交点的距离为 （）求 的值； （）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c ，若点（ ，0）是函数 y=f（x） 图象的一个对称中心，且 b=3，求ABC 面积的最大值 17 （12 分）乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再 连续发球 2 次，依次轮换，每次发球，胜方得 1 分
7、，负方得 0 分设在甲、乙的比赛中，每 次发球，发球方得 1 分的概率为 ，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中， 甲先发球 （）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率； （） 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 的分布列与数学期望 18 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCP 中，APBC，APAB，AB=BC= ，D 是 AP 的中点，E，F，G 分别为 PC、PD 、CB 的中点，将PCD 沿 CD 折起，使得 PD平面 ABCD，如图 2 （）求三棱椎 DPAB 的体积； （）求证：AP平面 EFG； （）求二面角 GEFD 的大小 19 （13 分
8、）已知函数 f（x） =ln（e x+a） （a 为常数）为实数集 R 上的奇函数，函数 g（x） =f（x）+sinx 是区间 1，1上的减函数 （1）求 a 的值； （2）若 g（x） t2+t+1 在 x1，1及 所在的取值范围上恒成立，求 t 的取值范围； （3）讨论关于 x 的方程 的根的个数 20 （13 分）已知数列d n满足 dn=n，等比数列a n为递增数列，且 a52=a10，2（a n+an+2） =5an+1，nN * （）求 an； （）令 cn=1（ 1） nan，不等式 ck2014（1 k100，k N*）的解集为 M，求所有 dk+ak（kM）的和 21 （1
9、3 分）如图，已知椭圆 E： + =1（ab0） ，以该椭圆上的异于长轴端点的点和 椭圆的左，右焦点 F1，F 2 为顶点的三角形的周长为 8 ，以椭圆的四个顶点组成的菱形的面 积为 8 ，双曲线 G：x 2y2=m（m 0）的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶 点的任一点，直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A，B 和 C，D （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）设直线 PF1，PF 2 的斜率分别为 k1，k 2，探求 k1 与 k2 的关系； （3）是否存在常数 ，使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立？若存在，求出 的值；若不存在， 请说明理由来源:学科
10、网 四川省成都市大邑县安仁中学 2015 届高三上学期二诊模 拟数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1 （3 分）已知 + 是实数，其中 i 为虚数单位，则实数 a 等于（） A 1 B C D 考点： 复数的基本概念 专题： 数系的扩充和复数 分析： 直接由复数代数形式的除法运算化简 + 为 a+bi（a、bR）的形式，再由已 知复数是实数，得出虚部等于 0，即可求出 a 的值 解答： 解： + = = ， + 是实数， ， 则 a=1 故选：A 点评： 本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2 （3
11、 分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A 2+8 B 8+8 C 4+8 D 6+8 考点： 由三视图求面积、体积 专题： 空间位置关系与距离 分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，从而求出它的体积是多少 解答： 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体底部为四棱柱，上部为平放的两个半圆柱的组合体， 该几何体的体积为 V 几何体 =V 底部 +V 上部 =2（2+2）1+1 22=8+2 故选：A 点评： 本题考查了几何体的三视图的应用问题，解题时根据几何体的三视图，得出该几何 体是什么图形，从而解答问题 3 （3 分）下列有关命题的说法正确的是（） A 命题
12、“ xR，使得 x2+x+10”的否定是“x R，均有 x2+x+10” B “x=1”是“ x25x6=0”的必要而不充分的条件 C 命题“若 x2=1 则 x=1”的否命题为“ 若 x2=1，则 x1” D 命题“若 x=y 则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 考点： 命题的真假 判断与应用 专题： 简易逻辑 分析： A利用命题的否定即可判断出； B由 x25x6=0，解得 x=6 或 1，即可判断出； C利用否命题的定义即可得出； D利用原命题与逆否命题化为等价命题即可判断出 解答： 解：A “xR，使得 x2+x+10”的否定是“xR ，均有 x2+x+10”，因此不正确； B
13、“x=1” 是“x 25x6=0”的充分不必要条件，不正确； C命题“若 x2=1 则 x=1”的否命题为 “若 x21，则 x1”，不正确； D命题“若 x=y 则 sinx=siny”正确，其逆否命题为真命题，正确 故选：D 点评： 本题考查了简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题 4 （3 分）运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（） A B C D 考点： 程序框图 专题： 算法和程序框图 分析： 执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，n， m 的值，当 i=4 时不满足条件 i4，退出循环，输出 n 的值为 解答： 解：执行程序框图，有 i=1，m=0，n=0 满足条件 i
14、4，i=2，m=1，n= 满足条件 i4，i=3，m=2，n= 满足条件 i4，i=4，m=3，n= + = 不满足条件 i4，退出循环，输出 n 的值为 故选：C 点评： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查 5 （3 分）已知点 ，O 是坐标原点，点 P（x，y）的坐标满足 ，设 z 为 在 上的投影，则 z 的取值范围是（） A B 3，3 C D 考点： 简单线性规划 专题： 常规题型 分析： 先根据约束条件画出可行域，设 z =x+y，再利用 z 的几何意义求范围，只需求出向 量 和 的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到 z 值即可 解答： 解： = = ， ， 当 时
15、， =3， 当 时， =3， z 的取值范围是3，3 故选 B 点评： 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的 思想，属中档题巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数 包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以 深化 6 （3 分）已知点 M 是直线 3x+4y2=0 上的动点，点 N 为圆（x+1） 2+（y+1） 2=1 上的动点， 则|MN|的最小值为（） A B 1 C D 考点： 直线与圆的位置关系 专题： 解三角形 分析： 求出圆心到直线的距 离 d，由 dr 即可求出|MN|的最小值
16、解答： 解：圆心（ 1，1）到直线 3x+4y2=0 的距离 d= = ，r=1， |MN|min=dr= 1= 故选 C 点评： 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离 公式，根据题意得出 dr 为|MN|最小值是解本题的关键 7 （3 分）函数 f（x）=cos（ x+ ） （xR ，0）的最小正周期为 ，为了得到 f（x）的 图象，只需将函数 g（x）=sin（ x+ ）的图象（） A 向左平移 个单位长度 B 向右平移 个单位长度 C 向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度 考点： 函数 y=Asin（ x+）的图象变换 专题： 三角函数的图像
17、与性质 分析： 先由周期求得 ，再利用诱导公式、函数 y=Acos（x+）的图象变换规律，可得 结论 解答： 解：由于函数 f（x） =cos（x+ ） （xR ，0）的最小正周期为 = ， =2，f（x）=cos（2x+ ） ， 故 g（x）=sin（x+ ）=sin（2x+ ）=cos（2x+ ）=cos（2x ） 把函数 g（x）=cos（2x ）的图象向左平移 个单位长度，可得 y=cos2（x+ ） =cos（2x+ ）=f （x）的图象， 故选：C 点评： 本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，诱导公式、余弦函数的周期 性，属于基础题 8 （3 分）已知椭圆 （ab
18、0）与双曲线 （m0，n0）有相同的焦 点（c，0）和（c，0） ，若 c 是 a、m 的等比中项，n 2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离 心率是（） A B C D 考点： 椭圆的简单性质；等差数列的性质；等比数列的性质；圆锥曲线的共同特征 来源:学科网 专题： 计算题；压轴题 分析： 根据是 a、m 的等比中项可得 c2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得 a2b2=m2+n2=c2，根据 n2 是 2m2 与 c2 的等差中项可得 2n2=2m2+c2，联立方程即可求得 a 和 c 的关系，进而求得离心率 e 解答： 解：由题意： 来源:Zxxk.Com ， ， a2=
19、4c2， 故选 D 点评： 本题主要考查了椭圆的性质，属基础题 9 （3 分）已知向量 ， 满足 ， ， （，R ） ， 若 M 为 AB 的中点，并且 ，则点（，）在（） A 以（ ， ）为圆心，半径为 1 的圆上 B 以（ ， ）为圆心，半径为 1 的圆上 C 以（ ， ）为圆心，半径为 1 的圆上 D 以（ ， ）为圆心，半径为 1 的圆上 考点： 平面向量的正交分解及坐标表示；向量的模 专题： 计算题 分析： 由题意分别以 OA、OB 所在直线为 x、y 轴建立平面直角坐标系，则点 M（ ， ） ， C（， ） ，故此题为求 C 点的轨迹问题，由 知 C 点轨迹是以 M（ ， ）为圆心
20、， 以 1 为半径的圆 解答： 解：分别以 OA、OB 所在直线为 x、y 轴建立平面直角坐标系， 则点 M（ ， ） 由 得 C（，）点的轨迹为以 M（ ， ）为圆心，以 1 为半径的圆 故选 D 点评： 本题考查向量的坐标运算、向量的模的含义及求轨迹问题 10 （3 分）函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且满足 f（x+2）=f（ x） ，当 x0，1时， f（x）=2x，若方程 axaf（x）=0（a0）恰有三个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 （ ） A （ ，1） B 0，2 C （1，2） D 1，+ ） 考点： 根的存在性及根的个数判断 专题： 函数的性质及应用 分
21、析： 由题意可得可得函数 f（x）是周期为 2 的周期函数，函数 y=f（x）的图象和直线 y=axa=a（x1）有 3 个交点，数形结合可得 a（3 1）2，且 a（51）2，由此求得 a 的范 围 解答： 解：由 f（x+2 ）=f（x） ，可得函数 f（x）是周期为 2 的周期函数 由方程 axaf（ x）=0（a0）恰有三个不相等的实数根， 可得函数 y=f（x）的图象（红色部分）和直线 y=axa=a（x 1） （蓝色部分）有 3 个交点， 如图所示： 故有 a（31）2，且 a（5 1）2， 求得 a1， 故选：A 点评： 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、
22、数形结合的数学 思想，属于基础题 二、填空题 11 （3 分）在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在 第一步或最后一步，程序 B 和 C 实施时必须相邻，则实施程序的编排方法共有 96 种（用数 字作答） 考点： 排列、组合及简单计数问题 专题： 计算题 分析： 根据 A 只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列，程序 B 和 C 实施时必须相邻，把 B 和 C 看做一个元素，同除 A 外的 3 个元素排列， 注意 B 和 C 之间还有一个排列 解答： 解：本题是一个分步计数问题， 由题意知程序 A 只能出现在第一步或
23、最后一步， 从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列，有 2 种结果 程序 B 和 C 实施时必须相邻， 把 B 和 C 看做一个元素，同除 A 外的 3 个元素排列，注意 B 和 C 之间还有一个排列，共有 A44A22=48 种结果 根据分步计数原理知共有 248=9 6 种结果， 故答案为：96 点评： 本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，注意排列过程中的相邻问题， 利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列 12 （3 分）若非直角三角形 ABC 内，角 A、B 、C 成等差数列， tanA+tanCtanAtanBtanC= 考点： 等差数列的通项公式；三
24、角函数的化简求值 专题： 计算题；三角函数的求值 分析： 由 A、B、C 成等差数列，可得 tan（A+C）=tan（ B）=tanB= ，又由 tan（A+C）= = ，变形后即可得到所求 解答： 解：A、B 、C 成等差数列， 2B=A+C，又 A+B+C=， B= ， tan（A+C）=tan （ B）= tanB= ， 又 tan（A+C）= ， = ， 即 tanA+tanC= + tanAtanC， tanA+tanC tanAtanC= tanA+tanCtanAtanBtanC= + tanAtanC tanAtanC= 来源:学科网 故答案为： 点评： 本题主要考察了等差数列
25、的通项公式，三角函数的化简求值，属于基本知识的考 查 13 （3 分）已知两个向量 的夹角为 120且 =2，设两点 B，C 的中点为点 D，则| |的最小值为 1 考点： 平面向量数量积的运算 专题： 计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用 分析： 运用向量的数量积的定义可得，bc=4，再由中点的向量表示，再两边平方，运用基 本不等式即可得到最小值为 1 解答： 解：由于两个向量 的夹角为 120且 =2， 设| |=c，| |=b， 则| | |cos120=2， 即有 bc=4， 由于两点 B，C 的中点为点 D， 则 即有 = （c 2+b2+2 ）= （c 2+b24） （2bc
26、4）= （8 4）=1 即有| |1 当且仅当 b=c=2 取得最小值 1 点评： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质、中点的向量表示形式，考查基本不等式 的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题 14 （3 分）设二次函数 f（x ）=ax 2+bx+c（a，b，c 为常数）的导函数为 f（x） 对任意 xR，不等式 f（x） f（x）恒成立，则 的最大值为 2 2 考点： 二次函数的性质 专题： 函数的性质及应用 分析： 由已知可得 ax2+（b 2a）x+（cb）0 恒成立，即=（b2a） 24a（c b） =b2+4a24ac0，且 a0，进而利用基本不等式可得 的最大值 解答： 解
27、：f（x）=ax 2+bx+c， f（x）=2ax+b ， 对任意 xR，不等式 f（x） f（x）恒成立， ax2+bx+c2ax+b 恒成立， 即 ax2+（b 2a）x+（c b）0 恒成立， 故=（b2a） 24a（c b）=b 2+4a24ac0，且 a0， 即 b24ac4a2， 4ac4a20， ca0， ， 故 = = = =2 2， 故答案为：2 2 点评： 本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式， 是函数方程不等式导数的综合应用，难度大 15 （3 分）已知函数 f（x） = g（x）=asin（ x+ ） 2a+2（a 0） ，给出下列结论
28、： 结论： 函数 f（x）的值域为0， ； 函数 g（x）在0，1 上是增函数； 对任意 a0 ，方程 f（x） =g（x）在0，1 内恒有解； 若存在 x1，x 20，1，使得 f（x 1）=g（x 2）成立，则实数 a 的取值范围是 ， 其中所有正确结论的序号是 考点： 分段函数的应用 专题： 阅读型；函数的性质及应用 分析： 求得 f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断 ；化简 g（x） ，判断 g（x）的单 调性即可判断； 求出 g（x）在0，1 的值域，求出方程 f（x）=g（x）在 0，1 内无解的 a 的范围，即可判断 ； 由得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于 f（x）的
29、最大值且 g（x）的最大值不小于 f（x）的最小值，解出 a 的范围，即可判断 解答： 解：当 x0， 时，f （x）= x 是递减函数，则 f（x）0， ， 当 x（ ，1时，f （x）= =2（x+2）+ 8，f（x）=2 0，则 f（x）在（ ，1上递增， 则 f（x）（ ， 则 x0，1时，f（x）0， ，故 正确； 当 x0，1时，g（x）=asin （ x+ ）2a+2（a 0） =acos x2a+2， 由 a0，0 x ，则 g（x）在0 ，1上是递增函数，故 正确； 由知，a0 ，x0 ，1时 g（x）23a，2 ， 若 23a 或 2 0，即 0a 或 a ，方程 f（x）
30、=g（x）在0，1内无解，故错； 故存在 x1，x 20，1 ，使得 f（x 1）=g（x 2）成立，则 解得 a 故正确 故答案为： 点评： 本题考查分段函数的运用，考查函数的值域和单调性及运用，考查存在性命题成立 的条件，转化为最值之间的关系，属于易错题和中档题来源:学。科。网 三、解答题 16 （12 分）设函数 f（x）=sin（x ） 2cos2 x+1（ 0）直线 y= 与函数 f（x）图 象相邻两交点的距离为 （）求 的值； （）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c ，若点（ ，0）是函数 y=f（x） 图象的一个对称中心，且 b=3，求ABC 面积的最大值
31、考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 专题： 计算题；三角函数的图像与性质；解三角形 分析： （）运用二倍角的余弦公式，以及两角差的正弦化简 f（x） ，再由周期公式，即 可得到 的值； （）由（1）知 f（x）= s in（2x ） ，f （ ）=0，得到 B= ，再由余弦定理和基本不 等式，以及三角形的面积公式，即可求出面积的最大值 解答： 解：（）函数 f（ x）=sin（x ） 2cos2 x+1 =sinxcos cosxsin 2 +1 = sinx cosx= sin（x ） f（ x）的最大值为 ， f（ x）的最小正周期为 ， =2 （）由（1）知 f（x）= sin（
32、2x ） ， sin（B ）=0 B= ， cosB= = = ， ac=a2+c292ac9，ac9， 故 SABC= acsinB= ac ， 故ABC 的面积的最大值为 点评： 本题考查三角函数的化简和图象、性质，同时考查余弦定理及运用，基本不等式的 运用，属于中档题 17 （12 分）乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再 连续发球 2 次，依次轮换，每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分设在甲、乙的比赛中，每 次发球，发球方得 1 分的概率为 ，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中， 甲先发球 （）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比
33、分为 1 比 2 的概率； （） 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 的分布列与数学期望 考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题： 概率与统计 来源:学科网 ZXXK 分析： （1）记 Ai 为事件“第 i 次发球，甲胜”，i=1，2，3，则 P（A 1）=P（A 2） = ，P （A 3）= “开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2”为事件 + A2 + ，由此能求出开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率 （2）由题意 =0，1，2，3分别求出 P（=0） ，P（=1） ，P（=2） ，P（=3） ，由此能求出 E 解答： 解：（1）
34、记 Ai 为事件“第 i 次发球，甲胜”，i=1，2，3， 则 P（A 1）=P（A 2）= ，P （ A3）= “开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2”为事件 + A2 + ， 其概率为 P（ + A2 + ）=2 + = ， 即开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 （6 分） （2）由题意 =0，1，2，3 P（=0）= = ， P（=1）=2 +（ ） 3= ， P（=2）=2 + = ， P（=3）= = ， 的分布列为： 0 1 2 3 P 所以 E=0 +1 +2 +3 = （12 分） 点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年 2
35、015 届高考的必考题 型解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用 18 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCP 中，APBC，APAB，AB=BC= ，D 是 AP 的中点，E，F，G 分别为 PC、PD 、CB 的中点，将PCD 沿 CD 折起，使得 PD平面 ABCD，如图 2 （）求三棱椎 DPAB 的体积； （）求证：AP平面 EFG； （）求二面角 GEFD 的大小 考点： 用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题： 计算题 分析： （）根据要求的三棱锥的体积与已知底面和高的三棱锥的体积相等，写出体积的 表示式，得到结果 （）建立坐
36、标系，写出要用的点的坐标，进而写出向量，设出平面的法向量，求出法向量， 根据法向量与直线的方向向量垂直，得到线面平行 （）两个平面的法向量一个已经求出，另一个在图形中存在，这样根据两个平面的法向量 所成的角，得到两个平面的二面角 解答： 解：（） （）证明：如图以 D 为原点，以 为方向向量建立空间直角坐标系 Dxyz 则有关点及向量的坐标为： 设平面 EFG 的法向量为 取 ， ， 又 AP平面 EFG AP平面 EFG （）由已知底面 ABCD 是正方形ADDC，又PD面 ABCDADPD 又 PDCD=DAD平面 PCD，向量 是平面 PCD 的一个法向量， =（2，0，0） 平面 EF
37、G 的法向量为 结合图知二面角 GEFD 的平面角为 450 点评： 本题考查立体几何的综合题目，本题解题的关键是建立坐标系，把一些理论 性的证 明转化成运算，降低了题目的难度 19 （13 分）已知函数 f（x） =ln（e x+a） （a 为常数）为实数集 R 上的奇函数，函数 g（x） =f（x）+sinx 是区间 1，1上的减函数 （1）求 a 的值； （2）若 g（x） t2+t+1 在 x1，1及 所在的取值范围上恒成立，求 t 的取值范围； （3）讨论关于 x 的方程 的根的个数 考点： 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题 专题： 计算题 分析： （1）因
38、为定义域是实数集 R，直接利用奇函数定义域内有 0，则 f（0）= f（0）即 f（0）=0，即可求 a 的值； （2）先利用函数 g（x）的导函数 g（x）=+cosx0 在 1，1上恒成立，求出 的取值范围 以及得到 g（x）的最大值 g（1）=1 sin1；然后把 g（x） t2+t+1 在 x1，1上恒成立转化 为sin1t 2+t+1（ 1） ，整理得（t+1）+t 2+sin1+10（1）恒成立，再利用一次函数的思 想方法求解即可 （3）先把方程转化为 =x22ex+m，令 F（x）= （x0） ，G（x）=x 22ex+m （x0） ， 再利用导函数分别求出两个函数的单调区间，进
39、而得到两个函数的最值，比较其最值即可得 出结论 解答： 解：（1）因为函数 f（x）=ln（e x+a） （a 为常数）是实数集 R 上的奇函数， 所以 f（ 0）=f（0）即 f（0）=0， 则 ln（e 0+a）=0 解得 a=0， a=0 时，f （x） =x 是实数集 R 上的奇函数； （2）由（1）得 f（x）=x 所以 g（x）=x+sinx，g（x）=+cosx， 因为 g（x） 在1，1上单调递减， g（x）=+cosx0 在1，1 上恒成立， 1，g（x） max=g（ 1）=sin1 ， 只需sin1t 2+t+1（ 1） ， （ t+1） +t2+sin1+10（ 1）恒
40、成立， 令 h（）=（t+1）+t 2+sin1+1（ 1） 则 ，解得 t1 （3）由（1）得 f（x）=x 方程转化为 =x22ex+m，令 F（x）= （x0） ，G（x）=x 22ex+m （x0） ， （8 分） 来源:Z*xx*k.Com F（x）= ，令 F（x）=0，即 =0，得 x=e 当 x（0，e）时， F（x）0，F （x）在（0，e ）上为增函数； 当 x（e，+）时，F （x）0，F（x）在（e，+）上为减函数；（ 9 分） 当 x=e 时，F（x） max=F（e）= （10 分） 而 G（x）=（x e） 2+me2 （x0） G（ x）在（ 0，e ）上为减函
41、数，在（e，+）上为增函数；（11 分） 当 x=e 时，G（x） min=me2（12 分） 当 me2 ，即 me2+ 时，方程无解； 当 me2= ，即 m=e2+ 时，方程有一个根； 当 me2 ，即 me2+ 时，方程有两个根；（ 14 分） 点评： 本题主要考查函数奇偶性的性质，函数恒成立问题以及导数在最大值、最小值问题 中的应用，是对知识的综合考查，属于难题在涉及到奇函数定义域内有 0 时，一般利用结 论 f（0）=0 来作题 20 （13 分）已知数列d n满足 dn=n，等比数列a n为递增数列，且 a52=a10，2（a n+an+2） =5an+1，nN * （）求 an
42、； （）令 cn=1（ 1） nan，不等式 ck2014（1 k100，kN *）的解集为 M，求所有 dk+ak（kM）的和 考点： 数列递推式；数列的求和 来源:学,科,网 专题： 等差数列与等比数列 分析： （I）设a n的首项为 a1，公比为 q，利用等比数列的通项公式及 a52=a10，即可解得 q 与 a1 的关系，再利用 2（a n+an+2）=5a n+1，n N*即可解得 q （II）由（I）可得： ，d n=n当 n 为偶数，不成 立当 n 为奇数， ，即 2n2013，可得：n=2m+1，5 m49可知：d k组 成首项为 11，公差为 2 的等差数列；数列a k（k
43、M）组成首项为 211，公比为 4 的等比数 列利用其前 n 项和公式即可得出 解答： 解：（）设a n的首项为 a1，公比为 q0， a52=a10， ，解得 a1=q 又 2（ an+an+2）=5a n+1， ， an0， 2（ 1+q2）=5q ，2q 25q+2=0，解得 （舍）或 q=2 （）由（I）可得： ，d n=n 当 n 为偶数， ，即 2n2013，不成立 当 n 为奇数， ，即 2n2013， 210=1024，2 11=2048， n=2m+1，5m 49 则d k组成首项为 11，公差为 2 的等差数列； 数列a k（kM ）组成首项为 211，公比为 4 的等比数
44、列 则所有 dk+ak（kM）的和为 点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、分类讨论等基础知 识与基本技能方法，属于难题 21 （13 分）如图，已知椭圆 E： + =1（ab0） ，以该椭圆上的异于长轴端点的点和 椭圆的左，右焦点 F1，F 2 为顶点的三角形的周长为 8 ，以椭圆的四个顶点组成的菱形的面 积为 8 ，双曲线 G：x 2y2=m（m 0）的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶 点的任一点，直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A，B 和 C，D （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）设直线 PF1，PF 2 的斜率分别为 k1
45、，k 2，探求 k1 与 k2 的关系； （3）是否存在常数 ，使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立？若存在，求出 的值；若不存在， 请说明理由 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题 分析： （1）由题意知，椭圆中：4a=8 ， =8 ，解出即可得椭圆的方程； 又顶点与焦点重合，可得 m=c2=a2b2可得该双曲线的标准方程 （2）设点 P（x，y） （x 2） ，利用斜率计算公式可得： ，k 2= ，k 1k2= 由 P 在双曲线上，可得 x2y2=4，代入即可得出 （3）设直线 AB：y=k 1（x+2 ） （k 10） ，与椭圆方程联立化为 + + 8=0，设 A（x 1，y 1） ，B （ x2，y 2） 利用弦长公式|AB|= = ，同理|CD|= ，由 k1k2=1，代入|AB|+|CD|=|AB|CD| ，可得 为常数 解答： 解：（1）由题意知，椭圆中：4a=8 ， =8 ， 解得 a=2 ，b=2 椭圆的标准方程为 =1 又顶点与焦点重合，m=c 2=a2b2=4 该双曲线的标准方程为 =1 （2）设点 P（x，y） （x 2） ， ，k 2= ，k 1k2= P 在双曲线上，x 2y2=4，y 2=x24 k1k2=1 （3）设直线 AB：y=k 1（x+2 ） （k 10） ， 联立 ，化为 + +
