1、 - 1 - 2014 年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1如图，已知抛物线经过点 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点 （1）求抛物线的解析式 （2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合） ，过 M 作 MNy 轴交抛物线于 N，若点 M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长 （3）在（2）的条件下，连接 NB、NC ，是否存在 m，使 BNC 的面积最大？若存在，求 m 的值；若不存在，说明理由 考点：二次函数综合题 专题：压轴题；数形结合 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式 （2）先利用
2、待定系数法求出直线 BC 的解析式，已知点 M 的横坐标，代入直线 BC、抛物 线的解析式中，可得到 M、N 点的坐标，N、M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长 （3）设 MN 交 x 轴于 D，那么BNC 的面积可表示为：S BNC =SMNC +S MNB=MN（OD +DB）= MNOB，MN 的表达式在（2）中已求得，OB 的长易知，由此列出关 于 SBNC 、m 的函数关系式，根据函数的性质即可判断出BNC 是否具有最大值 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x3） ，则： a（0+1） （03）=3 ，a=1 ； 抛物线的解析式：y=（x+1） （x3）=x
3、 2+2x+3 （2）设直线 BC 的解析式为： y=kx+b，则有： - 2 - ， 解得 ； 故直线 BC 的解析式：y =x+3 已知点 M 的横坐标为 m，MNy，则 M（m，m +3） 、N（m，m 2+2m+3） ； 故 MN=m 2+2m+3（m +3）=m 2+3m（0m3） （3）如图； S BNC =SMNC +SMNB =MN（OD+DB ）=MNOB ， S BNC =（m 2+3m）3=（m） 2+ （0m3） ； 当 m=时， BNC 的面积最大，最大值为 2如图，抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（4，0） （1
4、）求抛物线的解析式； （2）试探究ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标 考点：二次函数综合题. 专题：压轴题；转化思想 分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 B 点坐标代入解析式中即可 - 3 - （2）首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标，然后通过证明ABC 是直角三角形来推导 出直径 AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标 （3）MBC 的面积可由 SMBC =BCh 表示，若要它的面积最大，需要使 h 取最大值，即 点 M 到直线 BC 的距离最大，若设一条平行于 B
5、C 的直线，那么当该直线与抛物线有且只 有一个交点时，该交点就是点 M 解答： 解：（1）将 B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a42，即：a=； 抛物线的解析式为：y=x 2x 2 （2）由（1）的函数解析式可求得：A（1，0） 、C（0，2） ； OA=1，OC =2，OB=4， 即：OC 2=OAOB，又：OCAB ， OACOCB，得：OCA=OBC； ACB= OCA+ OCB=OBC+OCB=90， ABC 为直角三角形，AB 为ABC 外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为 AB 的中点，且坐标为：（，0） （3）已求得：B（4，0） 、C（0，2） ，可得直线 BC
6、 的解析式为： y=x2； 设直线 lBC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时， 可列方程： x+b=x2x2，即： x22x2b=0，且=0 ； 44（2b）=0 ，即 b=4； 直线 l：y=x4 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有： ，解得： 即 M（2，3） 过 M 点作 MNx 轴于 N， SBMC =S 梯形 OCMN+SMNB S OCB =2（2+3 ）+2324=4 - 4 - 平行四边形类 3如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（3，0） 、B（0，3） ，点 P 是直线 AB 上的动点，过点 P
7、 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t （1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式 （2）若点 P 在第四象限，连接 AM、BM ，当线段 PM 最长时，求 ABM 的面积 （3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存 在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式； 待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定. 专题：压轴题；存在型 分析： （1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A（3，0）B（0，3）分别代入 y=x2
8、+mx+n 与 y=kx+b，得到关于 m、n 的两个方程组，解方程组即可； （2）设点 P 的坐标是（t，t3） ，则 M（t，t 22t3） ，用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标 得到 PM 的长，即 PM=（t3）（t 22t 3）=t 2+3t，然后根据二次函数的最值得到 - 5 - 当 t= =时，PM 最长为 =，再利用三角形的面积公式利用 S ABM=SBPM +SAPM 计算即可； （3）由 PMOB ，根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的 四边形为平行四边形，然后讨论：当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不 可能；当
9、 P 在第一象限：PM=OB=3， （t 22t 3）（t 3）=3 ；当 P 在第三象限： PM=OB=3，t 23t=3 ，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值 解答： 解：（1）把 A（3，0）B（0，3）代入 y=x2+mx+n，得 解得 ，所以抛物线的解析式是 y=x22x3 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b， 把 A（3，0）B（0，3）代入 y=kx+b，得 ，解得 ， 所以直线 AB 的解析式是 y=x3； （2）设点 P 的坐标是（t，t3） ，则 M（t，t 22t3） ， 因为 p 在第四象限， 所以 PM=（t3）（t 22t 3）= t 2+3t， 当
10、 t= =时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为 =， 则 SABM =SBPM +SAPM = = （3）存在，理由如下： PMOB ， 当 PM=OB 时，点 P、M、 B、O 为顶点的四边形为平行四边形， 当 P 在第四象限：PM =OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有 PM=3 当 P 在第一象限：PM =OB=3， （t 22t 3）（t3） =3，解得 t1= ，t 2= （舍去） ，所以 P 点的横坐标是 ； 当 P 在第三象限：PM =OB=3，t 23t =3，解得 t1= （舍去） ，t 2= ，所以 P 点的横坐标是 所以 P 点的横坐标是 或 - 6 - 4如图，
11、在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（0，1） ，B（2，0） ， O（0，0） ，将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90，得到ABO （1）一抛物线经过点 A、B、B，求该抛物线的解析式； （2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 P，使四边形 PBAB 的面积 是A BO 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）在（2）的条件下，试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形？并写出四边形 PBAB 的两条性质 考点：二次函数综合题. 专题：压轴题 分析： （1）利用旋转的性质得出 A（1，0） ，B（0，2） ，再利用待定系数法求二
12、次函数解析式 即可； （2）利用 S 四边形 PBAB=SBOA +SPB O+SPOB ，再假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积 的 4 倍，得出一元二次方程，得出 P 点坐标即可； （3）利用 P 点坐标以及 B 点坐标即可得出四边形 PBAB 为等腰梯形，利用等腰梯形性质 得出答案即可 - 7 - 解答： 解：（1）ABO 是由ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90得到的， 又 A（0，1） ，B（2，0） ，O （0，0） ， A （1，0） ，B（0，2） 方法一： 设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c（a0） ， 抛物线经过点 A、B、B， ，解得： ，满足条件的抛物线的
13、解析式为 y=x 2+x+2 方法二：A （1，0） ，B（0，2） ，B（2，0） ， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x2） 将 B（0，2）代入得出：2= a（0+1） （02） ， 解得：a=1， 故满足条件的抛物线的解析式为 y=（x+1） （x2）=x 2+x+2； （2）P 为第一象限内抛物线上的一动点， 设 P（x ，y） ，则 x0，y0，P 点坐标满足 y=x 2+x+2 连接 PB，PO ，PB， S 四边形 PBAB=SBOA +SPBO +SPOB ， =12+2x+2y， =x+（ x2+x+2）+1， =x 2+2x+3 A O=1，B O=2，ABO 面
14、积为：12=1， 假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍，则 4=x 2+2x+3， 即 x22x+1=0， 解得：x 1=x2=1， 此时 y=1 2+1+2=2，即 P（1，2） 存在点 P（1，2） ，使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍 （3）四边形 PBAB 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意 2 个均可 - 8 - 等腰梯形同一底上的两个内角相等；等腰梯形对角线相等； 等腰梯形上底与下底平行；等腰梯形两腰相等（10 分） 或用符号表示： B AB=PBA或 A BP=BPB；PA=BB；BPAB；BA=PB（10 分） 5如图，抛物线 y=x22x
15、 +c 的顶点 A 在直线 l：y=x5 上 （1）求抛物线顶点 A 的坐标； （2）设抛物线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C、D（C 点在 D 点的左侧） ，试判断ABD 的形状； （3）在直线 l 上是否存在一点 P，使以点 P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题. 专题：压轴题；分类讨论 分析： （1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点 A 的横坐标，然后代入直线 l 的 解析式中即可求出点 A 的坐标 - 9 - （2）由 A 点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点 B 的坐标则 AB、
16、AD、BD 三边 的长可得，然后根据边长确定三角形的形状 （3）若以点 P、A、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，应分AB 为对角线、AD 为 对角线两种情况讨论，即AD PB、AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系 列方程求出 P 点的坐标 解答： 解：（1）顶点 A 的横坐标为 x= =1，且顶点 A 在 y=x5 上， 当 x=1 时，y =15=4， A（1，4） （2）ABD 是直角三角形 将 A（1，4）代入 y=x22x +c，可得，12+ c=4， c=3， y=x 22x3，B（0， 3） 当 y=0 时，x 2 2x3=0 ，x 1=1，x 2=3 C（1，0）
17、 ，D（3，0） ， BD2=OB2+OD2=18，AB 2=（43） 2+12=2，AD 2=（31） 2+42=20， BD2+AB2=AD2， ABD=90，即ABD 是直角三角形 （3）存在 由题意知：直线 y=x5 交 y 轴于点 E（0，5） ，交 x 轴于点 F（5，0） OE= OF=5， 又OB= OD=3 OEF 与OBD 都是等腰直角三角形 BDl，即 PABD 则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD，如图， 过点 P 作 y 轴的垂线，过点 A 作 x 轴的垂线交过 P 且平行于 x 轴的直线于点 G 设 P（x 1，x 15） ，则 G（1，x 15） 则 P
18、G=|1x 1|， AG=|5x 1 4|=|1x 1| PA=BD=3 由勾股定理得： - 10 - （1x 1） 2+（1x 1） 2=18，x 122x 18=0 ，x 1=2 或 4 P（2，7）或 P（4，1） ， 存在点 P（2，7）或 P（4，1）使以点 A、B、D 、P 为顶点的四边形是平行四边 形 周长类 6如图，RtABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐 标原点，A、B 两点的坐标分别为（3，0） 、 （0，4） ，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B，且顶 点在直线 x=上 （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若把ABO
19、 沿 x 轴向右平移得到DCE，点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E，当 四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得PBD 的周长最小，求 出 P 点的坐标； （4）在（2） 、 （3）的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、B 不重合） ， 过点 M 作BD 交 x 轴于点 N，连接 PM、PN ，设 OM 的长为 t，PMN 的面积为 S，求 S 和 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值 和此时 M 点
20、的坐标；若不存在，说明理由 - 11 - 考点：二次函数综合题. 专题：压轴题 分析：（1）根据抛物线 y= 经过点 B（0，4） ，以及顶点在直线 x=上，得出 b，c 即可； （2）根据菱形的性质得出 C、D 两点的坐标分别是（5，4） 、 （2，0） ，利用图象上点的性 质得出 x=5 或 2 时，y 的值即可 （3）首先设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，求出解析式，当 x=时，求出 y 即可； （4）利用 MNBD，得出 OMNOBD，进而得出 ，得到 ON= ，进而表示 出PMN 的面积，利用二次函数最值求出即可 解答： 解：（1）抛物线 y= 经过点 B（0，4）c=
21、4， 顶点在直线 x=上， = =，b= ； 所求函数关系式为 ； （2）在 RtABO 中，OA=3，OB=4，AB= ， 四边形 ABCD 是菱形，BC= CD=DA=AB=5， C、D 两点的坐标分别是（5，4） 、 （2，0） ， 当 x=5 时，y= ， 当 x=2 时，y= ， 点 C 和点 D 都在所求抛物线上； - 12 - （3）设 CD 与对称轴交于点 P，则 P 为所求的点， 设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b， 则 ，解得： ， ， 当 x=时，y= ，P（ ） ， （4）MNBD， OMNOBD， 即 得 ON= ， 设对称轴交 x 于点 F， 则 （PF
22、+OM） OF=（+t） ， ， SPNF =NFPF=（t）= ， S= （ ） ， = （0t4） ， a=0抛物线开口向下，S 存在最大值 由 SPMN =t 2+ t=（t ） 2+ ， 当 t= 时， S 取最大值是 ，此时，点 M 的坐标为（0， ） 等腰三角形类 7如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置 - 13 - （1）求点 B 的坐标； （2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰 三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说
23、明理由 考点：二次函数综合题. 专题：压轴题；分类讨论 分析： （1）首先根据 OA 的旋转条件确定 B 点位置，然后过 B 做 x 轴的垂线，通过构建直角三角 形和 OB 的长（即 OA 长）确定 B 点的坐标 （2）已知 O、A、B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式 （3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出 P 点的坐标，而 O、B 坐标已知，可先表示出OPB 三边的边长表达式，然后分 OP= OB、OP=BP、OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的 P 点 解答： 解：（1）如图，过 B 点作 BCx 轴，垂足为 C，则BCO =90，
24、 AOB=120，BOC=60， 又OA= OB=4，OC =OB=4=2，BC= OBsin60=4 =2 ， 点 B 的坐标为（2，2 ） ； （2）抛物线过原点 O 和点 A、B，可设抛物线解析式为 y=ax2+bx， 将 A（4，0） ，B（22 ）代入，得 - 14 - ，解得 ，此抛物线的解析式为 y= x2+ x （3）存在， 如图，抛物线的对称轴是直线 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（2，y ） ， 若 OB=OP， 则 22+|y|2=42，解得 y=2 ， 当 y=2 时，在 RtPOD 中，PDO=90，sinPOD= = ， POD =
25、60， POB=POD+AOB=60+120=180， 即 P、O、B 三点在同一直线上， y=2 不符合题意，舍去， 点 P 的坐标为（2，2 ） 若 OB=PB，则 42+|y+2 |2=42， 解得 y=2 ， 故点 P 的坐标为（2，2 ） ， 若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 |2， 解得 y=2 ， 故点 P 的坐标为（2，2 ） ， 综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，2 ） ， 8在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴 上，且点 A（0，2） ，点 C（ 1，0） ，如图所示：抛物线 y=ax2+ax2
26、 经过点 B - 15 - （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直 角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题. 专题：压轴题 分析： （1）根据题意，过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D；根据角的互余的关系，易得 B 到 x、y 轴 的距离，即 B 的坐标； （2）根据抛物线过 B 点的坐标，可得 a 的值，进而可得其解析式； （3）首先假设存在，分 A、C 是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答 案 解答： 解：（1）过点 B 作
27、 BDx 轴，垂足为 D， BCD+ACO=90，ACO+CAO=90， BCD=CAO， （1 分） 又BDC=COA=90，CB =AC， BCDCAO， （2 分） BD= OC=1，CD=OA=2， （3 分） 点 B 的坐标为（3，1） ；（4 分） （2）抛物线 y=ax2+ax2 经过点 B（3，1） ， 则得到 1=9a3a2， （5 分） 解得 a=， 所以抛物线的解析式为 y=x2+x2；（7 分） - 16 - （3）假设存在点 P，使得ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形： 若以点 C 为直角顶点； 则延长 BC 至点 P1，使得 P1C=BC，得到等腰直角
28、三角形ACP 1， （8 分） 过点 P1 作 P1Mx 轴， CP 1=BC，MCP 1=BCD ，P 1MC=BDC=90， MP 1C DBC （10 分） CM=CD =2，P 1M=BD=1，可求得点 P1（1，1） ；（11 分） 若以点 A 为直角顶点； 则过点 A 作 AP2CA，且使得 AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP 2， （12 分） 过点 P2 作 P2Ny 轴，同理可证AP 2NCAO， （13 分） NP 2=OA=2， AN=OC=1，可求得点 P2（2，1） ， （14 分） 经检验，点 P1（1，1）与点 P2（2，1）都在抛物线 y=x2+x2 上 （
29、16 分） 9在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且 点 A（0，2） ，点 C（1，0） ，如图所示，抛物线 y=ax2ax2 经过点 B （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直 角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题. 专题：代数几何综合题；压轴题 - 17 - 分析： （1）首先过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，易证得BDCCOA，即可得 BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点 B 的坐标；
30、（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （3）分别从以 AC 为直角 边，点 C 为直角顶点，则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC，得到 等腰直角三角形 ACP1，过点 P1 作 P1Mx 轴，若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则 过点 A 作 AP2 CA，且使得 AP2=AC，得到等腰直角三角形 ACP2，过点 P2 作 P2Ny 轴， 若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP3CA，且使得 AP3=AC，得到等 腰直角三角形 ACP3，过点 P3 作 P3Hy 轴，去分析则可求得答案 解答： 解：（1）过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，
31、BCD+ACO=90，AC 0+OAC=90， BCD=CAO， 又BDC=COA=90，CB =AC， BDCCOA， BD= OC=1，CD=OA=2， 点 B 的坐标为（3，1） ； （2）抛物线 y=ax2ax 2 过点 B（3，1） ， 1=9a3a2， 解得：a=， 抛物线的解析式为 y=x2x2； （3）假设存在点 P，使得ACP 是等腰直角三角形， 若以 AC 为直角边，点 C 为直角顶点， 则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形 ACP1，过点 P1 作 P1Mx 轴，如图 （1） ， CP 1=BC，MCP 1=BCD ，P 1MC=BDC=90，
32、 MP 1C DBC， CM=CD =2，P 1M=BD=1， P 1（1，1） ，经检验点 P1 在抛物线 y=x2x 2 上； 若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP2CA，且使得 AP2=AC， - 18 - 得到等腰直角三角形 ACP2，过点 P2 作 P2Ny 轴，如图（ 2） ， 同理可证AP 2NCAO， NP 2=OA=2， AN=OC=1， P 2（2，1） ，经检验 P2（2，1）也在抛物线 y=x2x2 上； 若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP3CA，且使得 AP3=AC， 得到等腰直角三角形 ACP3，过点 P3 作
33、P3Hy 轴，如图（ 3） ， 同理可证AP 3HCAO， HP 3=OA=2，AH= OC=1， P 3（2，3） ，经检验 P3（2，3）不在抛物线 y=x2x 2 上； 故符合条件的点有 P1（1，1） ，P 2（2，1）两点 综合类 10如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B（5，0） ，另一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C（0，5） （1）求直线 BC 与抛物线的解析式； （2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N，求 MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点 P
34、是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点， 以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1，ABN 的面积为 S2， 且 S1=6S2，求点 P 的坐标 - 19 - 考点：二次函数综合题. 专题：压轴题 分析：（1）设直线 BC 的解析式 为 y=mx+n，将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入， 运用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式；同理，将 B（5，0） ，C （0，5）两点的坐标 代入 y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）MN 的长是直线 BC 的函 数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于 MN 的长 和 M
35、点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 MN 的最大值； （3）先求出ABN 的面积 S2=5，则 S1=6S2=30再设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD，根据平行四边形的面积公式得出 BD=3 ，过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与 点 P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC，则四边形 CBPQ 为平行四边形证明 EBD 为等腰直角三角形，则 BE= BD=6，求出 E 的坐标为（ 1，0） ，运用待定系数法 求出直线 PQ 的解析式为 y= x1，然后解方程组 ，即可求出点 P 的坐 标 解答： 解：（1）设直线 BC 的解析式为 y=mx+
36、n， 将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入， 得 ，解得 ，所以直线 BC 的解析式为 y=x+5； 将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入 y=x2+bx+c， 得 ，解得 ，所以抛物线的解析式为 y=x26x+5； （2）设 M（x，x 26x +5） （1x5） ，则 N（x，x+5） ， - 20 - MN=（x+5）（x 26x+5）=x 2+5x=（x） 2+ ， 当 x=时，MN 有最大值 ； （3）MN 取得最大值时，x=2.5， x+5=2.5+5=2.5 ，即 N（2.5，2.5） 解方程 x26x+5=0，得 x=1 或 5， A（1，0） ，B（5，0
37、） ， AB=51=4， ABN 的面积 S2=42.5=5， 平行四边形 CBPQ 的面积 S1=6S2=30 设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD，则 BCBD BC=5 ， BCBD=30， BD=3 过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点 P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC，则四边形 CBPQ 为平行四边形 BCBD，OBC=45， EBD=45， EBD 为等腰直角三角形，BE= BD=6， B（5，0） ， E（1，0） ， 设直线 PQ 的解析式为 y=x+t， 将 E（1，0）代入，得 1+t=0，解得 t=1 直线 PQ 的解析式为
38、 y=x1 解方程组 ，得 ， ， 点 P 的坐标为 P1（2，3） （与点 D 重合）或 P2（3，4） - 21 - 11如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1） ，顶点为 Q（2，3） ，点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC （1）求直线 CD 的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证： CEQCDO； （4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这
39、个最小值；若不 存在，请说明理由 考点：二次函数综合题. 专题：压轴题 分析： （1）利用待定系数法求出直线解析式； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； - 22 - （3）关键是证明CEQ 与CDO 均为等腰直角三角形； （4）如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连 接 CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由 轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度 利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF 的周长最小 如答图所示，利用勾股定理求出线段 CC的长度，即PCF
40、周长的最小值 解答： 解：（1）C（0，1） ，OD=OC，D 点坐标为（1，0） 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（k0） ， 将 C（0，1） ，D（1，0）代入得： ， 解得：b=1，k=1， 直线 CD 的解析式为：y=x+1 （2）设抛物线的解析式为 y=a（x2） 2+3， 将 C（0，1）代入得：1= a（2） 2+3，解得 a= y= （x 2） 2+3= x2+2x+1 （3）证明：由题意可知，ECD=45， OC=OD，且 OCOD，OCD 为等腰直角三角形，ODC=45， ECD=ODC，CEx 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线 x=2）对称， 点 E 的坐标为（
41、4，1） 如答图所示，设对称轴（直线 x=2）与 CE 交于点 M，则 M（2，1） ， ME=CM=QM=2，QME 与QMC 均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45 又OCD 为等腰直角三角形，ODC =OCD=45， QEC=QCE= ODC=OCD=45， CEQCDO （4）存在 如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴 对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度 - 23 - （证明如下：不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一
42、点 F，在线段 QE 上取异于点 P 的任一 点 P，连接 FC，F P，PC 由轴对称的性质可知，PCF 的周长=FC+FP+PC； 而 FC+FP+PC是点 C，C 之间的折线段， 由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC ， 即P CF的周长大于PCE 的周长 ） 如答图所示，连接 CE， C，C关于直线 QE 对称，QCE 为等腰直角三角形， QCE 为等腰直角三角形， CEC 为等腰直角三角形， 点 C的坐标为（4，5） ； C，C关于 x 轴对称，点 C的坐标为（0，1） 过点 C作 CNy 轴于点 N，则 NC=4，NC =4+1+1=6， 在 RtCNC中，由勾股定理得：C
43、C = = = 综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为 12如图，抛物线与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，设 抛物线的顶点为 D （1）求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标 （2）试判断BCD 的形状，并说明理由 （3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与BCD 相似？若存 在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 - 24 - 考点：二次函数综合题. 专题：压轴题 分析： （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）利用勾股定理求得BCD 的三边的长，然后根据勾
44、股定理的逆定理即可作出判断； （3）分 p 在 x 轴和 y 轴两种情况讨论，舍出 P 的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等 即可求解 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c 由抛物线与 y 轴交于点 C（0，3） ，可知 c=3即抛物线的解析式为 y=ax2+bx+3 把点 A（1，0） 、点 B（3，0）代入，得 解得 a=1，b=2 抛物线的解析式为 y=x 22x +3 y=x 22x+3=（x+1 ） 2+4 顶点 D 的坐标为（1，4 ） ； （2）BCD 是直角三角形 理由如下：解法一：过点 D 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E、F 在 RtBO
45、C 中，OB=3，OC=3， BC 2=OB2+OC2=18 在 RtCDF 中，DF=1，CF=OFOC=43=1 ， CD 2=DF2+CF2=2 在 RtBDE 中，DE=4 ，BE =OBOE =31=2， BD 2=DE2+BE2=20 BC 2+CD2=BD2 BCD 为直角三角形 - 25 - 解法二：过点 D 作 DFy 轴于点 F 在 RtBOC 中，OB=3，OC=3 OB= OC OCB=45 在 RtCDF 中，DF=1，CF =OFOC=43=1 DF= CF DCF=45 BCD=180DCFOCB=90 BCD 为直角三角形 （3）BCD 的三边， = =，又 =
46、，故当 P 是原点 O 时，ACPDBC； 当 AC 是直角边时，若 AC 与 CD 是对应边，设 P 的坐标是（ 0，a） ，则 PC=3a， = ，即 = ，解得：a=9，则 P 的坐标是（0，9） ，三角形 ACP 不是直角三角 形，则ACPCBD 不成立； 当 AC 是直角边，若 AC 与 BC 是对应边时，设 P 的坐标是（ 0，b） ，则 PC=3b，则 = ，即 = ，解得：b= ，故 P 是（0，）时，则ACPCBD 一定成立； 当 P 在 x 轴上时， AC 是直角边，P 一定在 B 的左侧，设 P 的坐标是（d，0） 则 AP=1d，当 AC 与 CD 是对应边时， = ，即 = ，解得：d=1 3 ，此 时，两个三角形不相似； 当 P 在 x 轴上时， AC
