1、 - 1 - 2014 年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1如图,已知抛物线经过点 A(1,0) 、B(3,0) 、C(0,3)三点 (1)求抛物线的解析式 (2)点 M 是线段 BC 上的点(不与 B,C 重合) ,过 M 作 MNy 轴交抛物线于 N,若点 M 的横坐标为 m,请用 m 的代数式表示 MN 的长 (3)在(2)的条件下,连接 NB、NC ,是否存在 m,使 BNC 的面积最大?若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由 考点:二次函数综合题 专题:压轴题;数形结合 分析: (1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式 (2)先利用
2、待定系数法求出直线 BC 的解析式,已知点 M 的横坐标,代入直线 BC、抛物 线的解析式中,可得到 M、N 点的坐标,N、M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长 (3)设 MN 交 x 轴于 D,那么BNC 的面积可表示为:S BNC =SMNC +S MNB=MN(OD +DB)= MNOB,MN 的表达式在(2)中已求得,OB 的长易知,由此列出关 于 SBNC 、m 的函数关系式,根据函数的性质即可判断出BNC 是否具有最大值 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1) (x3) ,则: a(0+1) (03)=3 ,a=1 ; 抛物线的解析式:y=(x+1) (x3)=x
3、 2+2x+3 (2)设直线 BC 的解析式为: y=kx+b,则有: - 2 - , 解得 ; 故直线 BC 的解析式:y =x+3 已知点 M 的横坐标为 m,MNy,则 M(m,m +3) 、N(m,m 2+2m+3) ; 故 MN=m 2+2m+3(m +3)=m 2+3m(0m3) (3)如图; S BNC =SMNC +SMNB =MN(OD+DB )=MNOB , S BNC =(m 2+3m)3=(m) 2+ (0m3) ; 当 m=时, BNC 的面积最大,最大值为 2如图,抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,已知 B 点坐标为(4,0) (1
4、)求抛物线的解析式; (2)试探究ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求MBC 的面积的最大值,并求出此时 M 点的坐标 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题;转化思想 分析:(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将 B 点坐标代入解析式中即可 - 3 - (2)首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标,然后通过证明ABC 是直角三角形来推导 出直径 AB 和圆心的位置,由此确定圆心坐标 (3)MBC 的面积可由 SMBC =BCh 表示,若要它的面积最大,需要使 h 取最大值,即 点 M 到直线 BC 的距离最大,若设一条平行于 B
5、C 的直线,那么当该直线与抛物线有且只 有一个交点时,该交点就是点 M 解答: 解:(1)将 B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a42,即:a=; 抛物线的解析式为:y=x 2x 2 (2)由(1)的函数解析式可求得:A(1,0) 、C(0,2) ; OA=1,OC =2,OB=4, 即:OC 2=OAOB,又:OCAB , OACOCB,得:OCA=OBC; ACB= OCA+ OCB=OBC+OCB=90, ABC 为直角三角形,AB 为ABC 外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为 AB 的中点,且坐标为:(,0) (3)已求得:B(4,0) 、C(0,2) ,可得直线 BC
6、 的解析式为: y=x2; 设直线 lBC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线 l 与抛物线只有一个交点时, 可列方程: x+b=x2x2,即: x22x2b=0,且=0 ; 44(2b)=0 ,即 b=4; 直线 l:y=x4 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点,有: ,解得: 即 M(2,3) 过 M 点作 MNx 轴于 N, SBMC =S 梯形 OCMN+SMNB S OCB =2(2+3 )+2324=4 - 4 - 平行四边形类 3如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A(3,0) 、B(0,3) ,点 P 是直线 AB 上的动点,过点 P
7、 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M,设点 P 的横坐标为 t (1)分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式 (2)若点 P 在第四象限,连接 AM、BM ,当线段 PM 最长时,求 ABM 的面积 (3)是否存在这样的点 P,使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形?若存 在,请直接写出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由 考点:二次函数综合题;解一元二次方程因式分解法;待定系数法求一次函数解析式; 待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积;平行四边形的判定. 专题:压轴题;存在型 分析: (1)分别利用待定系数法求两函数的解析式:把 A(3,0)B(0,3)分别代入 y=x2
8、+mx+n 与 y=kx+b,得到关于 m、n 的两个方程组,解方程组即可; (2)设点 P 的坐标是(t,t3) ,则 M(t,t 22t3) ,用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标 得到 PM 的长,即 PM=(t3)(t 22t 3)=t 2+3t,然后根据二次函数的最值得到 - 5 - 当 t= =时,PM 最长为 =,再利用三角形的面积公式利用 S ABM=SBPM +SAPM 计算即可; (3)由 PMOB ,根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时,点 P、M、B、O 为顶点的 四边形为平行四边形,然后讨论:当 P 在第四象限:PM=OB=3,PM 最长时只有,所以不 可能;当
9、 P 在第一象限:PM=OB=3, (t 22t 3)(t 3)=3 ;当 P 在第三象限: PM=OB=3,t 23t=3 ,分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值 解答: 解:(1)把 A(3,0)B(0,3)代入 y=x2+mx+n,得 解得 ,所以抛物线的解析式是 y=x22x3 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b, 把 A(3,0)B(0,3)代入 y=kx+b,得 ,解得 , 所以直线 AB 的解析式是 y=x3; (2)设点 P 的坐标是(t,t3) ,则 M(t,t 22t3) , 因为 p 在第四象限, 所以 PM=(t3)(t 22t 3)= t 2+3t, 当
10、 t= =时,二次函数的最大值,即 PM 最长值为 =, 则 SABM =SBPM +SAPM = = (3)存在,理由如下: PMOB , 当 PM=OB 时,点 P、M、 B、O 为顶点的四边形为平行四边形, 当 P 在第四象限:PM =OB=3,PM 最长时只有,所以不可能有 PM=3 当 P 在第一象限:PM =OB=3, (t 22t 3)(t3) =3,解得 t1= ,t 2= (舍去) ,所以 P 点的横坐标是 ; 当 P 在第三象限:PM =OB=3,t 23t =3,解得 t1= (舍去) ,t 2= ,所以 P 点的横坐标是 所以 P 点的横坐标是 或 - 6 - 4如图,
11、在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为 A(0,1) ,B(2,0) , O(0,0) ,将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90,得到ABO (1)一抛物线经过点 A、B、B,求该抛物线的解析式; (2)设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点 P,使四边形 PBAB 的面积 是A BO 面积 4 倍?若存在,请求出 P 的坐标;若不存在,请说明理由 (3)在(2)的条件下,试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形?并写出四边形 PBAB 的两条性质 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题 分析: (1)利用旋转的性质得出 A(1,0) ,B(0,2) ,再利用待定系数法求二
12、次函数解析式 即可; (2)利用 S 四边形 PBAB=SBOA +SPB O+SPOB ,再假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积 的 4 倍,得出一元二次方程,得出 P 点坐标即可; (3)利用 P 点坐标以及 B 点坐标即可得出四边形 PBAB 为等腰梯形,利用等腰梯形性质 得出答案即可 - 7 - 解答: 解:(1)ABO 是由ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90得到的, 又 A(0,1) ,B(2,0) ,O (0,0) , A (1,0) ,B(0,2) 方法一: 设抛物线的解析式为:y=ax 2+bx+c(a0) , 抛物线经过点 A、B、B, ,解得: ,满足条件的抛物线的
13、解析式为 y=x 2+x+2 方法二:A (1,0) ,B(0,2) ,B(2,0) , 设抛物线的解析式为:y=a(x+1) (x2) 将 B(0,2)代入得出:2= a(0+1) (02) , 解得:a=1, 故满足条件的抛物线的解析式为 y=(x+1) (x2)=x 2+x+2; (2)P 为第一象限内抛物线上的一动点, 设 P(x ,y) ,则 x0,y0,P 点坐标满足 y=x 2+x+2 连接 PB,PO ,PB, S 四边形 PBAB=SBOA +SPBO +SPOB , =12+2x+2y, =x+( x2+x+2)+1, =x 2+2x+3 A O=1,B O=2,ABO 面
14、积为:12=1, 假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍,则 4=x 2+2x+3, 即 x22x+1=0, 解得:x 1=x2=1, 此时 y=1 2+1+2=2,即 P(1,2) 存在点 P(1,2) ,使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍 (3)四边形 PBAB 为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意 2 个均可 - 8 - 等腰梯形同一底上的两个内角相等;等腰梯形对角线相等; 等腰梯形上底与下底平行;等腰梯形两腰相等(10 分) 或用符号表示: B AB=PBA或 A BP=BPB;PA=BB;BPAB;BA=PB(10 分) 5如图,抛物线 y=x22x
15、 +c 的顶点 A 在直线 l:y=x5 上 (1)求抛物线顶点 A 的坐标; (2)设抛物线与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于点 C、D(C 点在 D 点的左侧) ,试判断ABD 的形状; (3)在直线 l 上是否存在一点 P,使以点 P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形?若 存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题;分类讨论 分析: (1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴,由此得到顶点 A 的横坐标,然后代入直线 l 的 解析式中即可求出点 A 的坐标 - 9 - (2)由 A 点坐标可确定抛物线的解析式,进而可得到点 B 的坐标则 AB、
16、AD、BD 三边 的长可得,然后根据边长确定三角形的形状 (3)若以点 P、A、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形,应分AB 为对角线、AD 为 对角线两种情况讨论,即AD PB、AB PD,然后结合勾股定理以及边长的等量关系 列方程求出 P 点的坐标 解答: 解:(1)顶点 A 的横坐标为 x= =1,且顶点 A 在 y=x5 上, 当 x=1 时,y =15=4, A(1,4) (2)ABD 是直角三角形 将 A(1,4)代入 y=x22x +c,可得,12+ c=4, c=3, y=x 22x3,B(0, 3) 当 y=0 时,x 2 2x3=0 ,x 1=1,x 2=3 C(1,0)
17、 ,D(3,0) , BD2=OB2+OD2=18,AB 2=(43) 2+12=2,AD 2=(31) 2+42=20, BD2+AB2=AD2, ABD=90,即ABD 是直角三角形 (3)存在 由题意知:直线 y=x5 交 y 轴于点 E(0,5) ,交 x 轴于点 F(5,0) OE= OF=5, 又OB= OD=3 OEF 与OBD 都是等腰直角三角形 BDl,即 PABD 则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD,如图, 过点 P 作 y 轴的垂线,过点 A 作 x 轴的垂线交过 P 且平行于 x 轴的直线于点 G 设 P(x 1,x 15) ,则 G(1,x 15) 则 P
18、G=|1x 1|, AG=|5x 1 4|=|1x 1| PA=BD=3 由勾股定理得: - 10 - (1x 1) 2+(1x 1) 2=18,x 122x 18=0 ,x 1=2 或 4 P(2,7)或 P(4,1) , 存在点 P(2,7)或 P(4,1)使以点 A、B、D 、P 为顶点的四边形是平行四边 形 周长类 6如图,RtABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上,O 为坐 标原点,A、B 两点的坐标分别为(3,0) 、 (0,4) ,抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B,且顶 点在直线 x=上 (1)求抛物线对应的函数关系式; (2)若把ABO
19、 沿 x 轴向右平移得到DCE,点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E,当 四边形 ABCD 是菱形时,试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)在(2)的条件下,连接 BD,已知对称轴上存在一点 P 使得PBD 的周长最小,求 出 P 点的坐标; (4)在(2) 、 (3)的条件下,若点 M 是线段 OB 上的一个动点(点 M 与点 O、B 不重合) , 过点 M 作BD 交 x 轴于点 N,连接 PM、PN ,设 OM 的长为 t,PMN 的面积为 S,求 S 和 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围,S 是否存在最大值?若存在,求出最大值 和此时 M 点
20、的坐标;若不存在,说明理由 - 11 - 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题 分析:(1)根据抛物线 y= 经过点 B(0,4) ,以及顶点在直线 x=上,得出 b,c 即可; (2)根据菱形的性质得出 C、D 两点的坐标分别是(5,4) 、 (2,0) ,利用图象上点的性 质得出 x=5 或 2 时,y 的值即可 (3)首先设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b,求出解析式,当 x=时,求出 y 即可; (4)利用 MNBD,得出 OMNOBD,进而得出 ,得到 ON= ,进而表示 出PMN 的面积,利用二次函数最值求出即可 解答: 解:(1)抛物线 y= 经过点 B(0,4)c=
21、4, 顶点在直线 x=上, = =,b= ; 所求函数关系式为 ; (2)在 RtABO 中,OA=3,OB=4,AB= , 四边形 ABCD 是菱形,BC= CD=DA=AB=5, C、D 两点的坐标分别是(5,4) 、 (2,0) , 当 x=5 时,y= , 当 x=2 时,y= , 点 C 和点 D 都在所求抛物线上; - 12 - (3)设 CD 与对称轴交于点 P,则 P 为所求的点, 设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b, 则 ,解得: , , 当 x=时,y= ,P( ) , (4)MNBD, OMNOBD, 即 得 ON= , 设对称轴交 x 于点 F, 则 (PF
22、+OM) OF=(+t) , , SPNF =NFPF=(t)= , S= ( ) , = (0t4) , a=0抛物线开口向下,S 存在最大值 由 SPMN =t 2+ t=(t ) 2+ , 当 t= 时, S 取最大值是 ,此时,点 M 的坐标为(0, ) 等腰三角形类 7如图,点 A 在 x 轴上,OA=4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置 - 13 - (1)求点 B 的坐标; (2)求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰 三角形?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,说
23、明理由 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题;分类讨论 分析: (1)首先根据 OA 的旋转条件确定 B 点位置,然后过 B 做 x 轴的垂线,通过构建直角三角 形和 OB 的长(即 OA 长)确定 B 点的坐标 (2)已知 O、A、B 三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式 (3)根据(2)的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出 P 点的坐标,而 O、B 坐标已知,可先表示出OPB 三边的边长表达式,然后分 OP= OB、OP=BP、OB=BP 三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的 P 点 解答: 解:(1)如图,过 B 点作 BCx 轴,垂足为 C,则BCO =90,
24、 AOB=120,BOC=60, 又OA= OB=4,OC =OB=4=2,BC= OBsin60=4 =2 , 点 B 的坐标为(2,2 ) ; (2)抛物线过原点 O 和点 A、B,可设抛物线解析式为 y=ax2+bx, 将 A(4,0) ,B(22 )代入,得 - 14 - ,解得 ,此抛物线的解析式为 y= x2+ x (3)存在, 如图,抛物线的对称轴是直线 x=2,直线 x=2 与 x 轴的交点为 D,设点 P 的坐标为(2,y ) , 若 OB=OP, 则 22+|y|2=42,解得 y=2 , 当 y=2 时,在 RtPOD 中,PDO=90,sinPOD= = , POD =
25、60, POB=POD+AOB=60+120=180, 即 P、O、B 三点在同一直线上, y=2 不符合题意,舍去, 点 P 的坐标为(2,2 ) 若 OB=PB,则 42+|y+2 |2=42, 解得 y=2 , 故点 P 的坐标为(2,2 ) , 若 OP=BP,则 22+|y|2=42+|y+2 |2, 解得 y=2 , 故点 P 的坐标为(2,2 ) , 综上所述,符合条件的点 P 只有一个,其坐标为(2,2 ) , 8在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴 上,且点 A(0,2) ,点 C( 1,0) ,如图所示:抛物线 y=ax2+ax2
26、 经过点 B - 15 - (1)求点 B 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否还存在点 P(点 B 除外) ,使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直 角三角形?若存在,求所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题 分析: (1)根据题意,过点 B 作 BDx 轴,垂足为 D;根据角的互余的关系,易得 B 到 x、y 轴 的距离,即 B 的坐标; (2)根据抛物线过 B 点的坐标,可得 a 的值,进而可得其解析式; (3)首先假设存在,分 A、C 是直角顶点两种情况讨论,根据全等三角形的性质,可得答 案 解答: 解:(1)过点 B 作
27、 BDx 轴,垂足为 D, BCD+ACO=90,ACO+CAO=90, BCD=CAO, (1 分) 又BDC=COA=90,CB =AC, BCDCAO, (2 分) BD= OC=1,CD=OA=2, (3 分) 点 B 的坐标为(3,1) ;(4 分) (2)抛物线 y=ax2+ax2 经过点 B(3,1) , 则得到 1=9a3a2, (5 分) 解得 a=, 所以抛物线的解析式为 y=x2+x2;(7 分) - 16 - (3)假设存在点 P,使得ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形: 若以点 C 为直角顶点; 则延长 BC 至点 P1,使得 P1C=BC,得到等腰直角
28、三角形ACP 1, (8 分) 过点 P1 作 P1Mx 轴, CP 1=BC,MCP 1=BCD ,P 1MC=BDC=90, MP 1C DBC (10 分) CM=CD =2,P 1M=BD=1,可求得点 P1(1,1) ;(11 分) 若以点 A 为直角顶点; 则过点 A 作 AP2CA,且使得 AP2=AC,得到等腰直角三角形ACP 2, (12 分) 过点 P2 作 P2Ny 轴,同理可证AP 2NCAO, (13 分) NP 2=OA=2, AN=OC=1,可求得点 P2(2,1) , (14 分) 经检验,点 P1(1,1)与点 P2(2,1)都在抛物线 y=x2+x2 上 (
29、16 分) 9在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且 点 A(0,2) ,点 C(1,0) ,如图所示,抛物线 y=ax2ax2 经过点 B (1)求点 B 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否还存在点 P(点 B 除外) ,使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直 角三角形?若存在,求所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 考点:二次函数综合题. 专题:代数几何综合题;压轴题 - 17 - 分析: (1)首先过点 B 作 BDx 轴,垂足为 D,易证得BDCCOA,即可得 BD=OC=1,CD=OA=2,则可求得点 B 的坐标;
30、(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式; (3)分别从以 AC 为直角 边,点 C 为直角顶点,则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC,得到 等腰直角三角形 ACP1,过点 P1 作 P1Mx 轴,若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则 过点 A 作 AP2 CA,且使得 AP2=AC,得到等腰直角三角形 ACP2,过点 P2 作 P2Ny 轴, 若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则过点 A 作 AP3CA,且使得 AP3=AC,得到等 腰直角三角形 ACP3,过点 P3 作 P3Hy 轴,去分析则可求得答案 解答: 解:(1)过点 B 作 BDx 轴,垂足为 D,
31、BCD+ACO=90,AC 0+OAC=90, BCD=CAO, 又BDC=COA=90,CB =AC, BDCCOA, BD= OC=1,CD=OA=2, 点 B 的坐标为(3,1) ; (2)抛物线 y=ax2ax 2 过点 B(3,1) , 1=9a3a2, 解得:a=, 抛物线的解析式为 y=x2x2; (3)假设存在点 P,使得ACP 是等腰直角三角形, 若以 AC 为直角边,点 C 为直角顶点, 则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC,得到等腰直角三角形 ACP1,过点 P1 作 P1Mx 轴,如图 (1) , CP 1=BC,MCP 1=BCD ,P 1MC=BDC=90,
32、 MP 1C DBC, CM=CD =2,P 1M=BD=1, P 1(1,1) ,经检验点 P1 在抛物线 y=x2x 2 上; 若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则过点 A 作 AP2CA,且使得 AP2=AC, - 18 - 得到等腰直角三角形 ACP2,过点 P2 作 P2Ny 轴,如图( 2) , 同理可证AP 2NCAO, NP 2=OA=2, AN=OC=1, P 2(2,1) ,经检验 P2(2,1)也在抛物线 y=x2x2 上; 若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则过点 A 作 AP3CA,且使得 AP3=AC, 得到等腰直角三角形 ACP3,过点 P3 作
33、P3Hy 轴,如图( 3) , 同理可证AP 3HCAO, HP 3=OA=2,AH= OC=1, P 3(2,3) ,经检验 P3(2,3)不在抛物线 y=x2x 2 上; 故符合条件的点有 P1(1,1) ,P 2(2,1)两点 综合类 10如图,已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B(5,0) ,另一个交点为 A,且与 y 轴交于点 C(0,5) (1)求直线 BC 与抛物线的解析式; (2)若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的最大值; (3)在(2)的条件下,MN 取得最大值时,若点 P
34、是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点, 以 BC 为边作平行四边形 CBPQ,设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1,ABN 的面积为 S2, 且 S1=6S2,求点 P 的坐标 - 19 - 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题 分析:(1)设直线 BC 的解析式 为 y=mx+n,将 B(5,0) ,C(0,5)两点的坐标代入, 运用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式;同理,将 B(5,0) ,C (0,5)两点的坐标 代入 y=x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)MN 的长是直线 BC 的函 数值与抛物线的函数值的差,据此可得出一个关于 MN 的长 和 M
35、点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出 MN 的最大值; (3)先求出ABN 的面积 S2=5,则 S1=6S2=30再设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD,根据平行四边形的面积公式得出 BD=3 ,过点 D 作直线 BC 的平行线,交抛物线与 点 P,交 x 轴于点 E,在直线 DE 上截取 PQ=BC,则四边形 CBPQ 为平行四边形证明 EBD 为等腰直角三角形,则 BE= BD=6,求出 E 的坐标为( 1,0) ,运用待定系数法 求出直线 PQ 的解析式为 y= x1,然后解方程组 ,即可求出点 P 的坐 标 解答: 解:(1)设直线 BC 的解析式为 y=mx+
36、n, 将 B(5,0) ,C(0,5)两点的坐标代入, 得 ,解得 ,所以直线 BC 的解析式为 y=x+5; 将 B(5,0) ,C(0,5)两点的坐标代入 y=x2+bx+c, 得 ,解得 ,所以抛物线的解析式为 y=x26x+5; (2)设 M(x,x 26x +5) (1x5) ,则 N(x,x+5) , - 20 - MN=(x+5)(x 26x+5)=x 2+5x=(x) 2+ , 当 x=时,MN 有最大值 ; (3)MN 取得最大值时,x=2.5, x+5=2.5+5=2.5 ,即 N(2.5,2.5) 解方程 x26x+5=0,得 x=1 或 5, A(1,0) ,B(5,0
37、) , AB=51=4, ABN 的面积 S2=42.5=5, 平行四边形 CBPQ 的面积 S1=6S2=30 设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD,则 BCBD BC=5 , BCBD=30, BD=3 过点 D 作直线 BC 的平行线,交抛物线与点 P,交 x 轴于点 E,在直线 DE 上截取 PQ=BC,则四边形 CBPQ 为平行四边形 BCBD,OBC=45, EBD=45, EBD 为等腰直角三角形,BE= BD=6, B(5,0) , E(1,0) , 设直线 PQ 的解析式为 y=x+t, 将 E(1,0)代入,得 1+t=0,解得 t=1 直线 PQ 的解析式为
38、 y=x1 解方程组 ,得 , , 点 P 的坐标为 P1(2,3) (与点 D 重合)或 P2(3,4) - 21 - 11如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象过点 C(0,1) ,顶点为 Q(2,3) ,点 D 在 x 轴正半轴上,且 OD=OC (1)求直线 CD 的解析式; (2)求抛物线的解析式; (3)将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E,求证: CEQCDO; (4)在(3)的条件下,若点 P 是线段 QE 上的动点,点 F 是线段 OD 上的动点,问:在 P 点和 F 点移动过程中,PCF 的周长是否存在最小值?若存在,求出这
39、个最小值;若不 存在,请说明理由 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题 分析: (1)利用待定系数法求出直线解析式; (2)利用待定系数法求出抛物线的解析式; - 22 - (3)关键是证明CEQ 与CDO 均为等腰直角三角形; (4)如答图所示,作点 C 关于直线 QE 的对称点 C,作点 C 关于 x 轴的对称点 C,连 接 CC,交 OD 于点 F,交 QE 于点 P,则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形,由 轴对称的性质可知,PCF 的周长等于线段 CC的长度 利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF 的周长最小 如答图所示,利用勾股定理求出线段 CC的长度,即PCF
40、周长的最小值 解答: 解:(1)C(0,1) ,OD=OC,D 点坐标为(1,0) 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b(k0) , 将 C(0,1) ,D(1,0)代入得: , 解得:b=1,k=1, 直线 CD 的解析式为:y=x+1 (2)设抛物线的解析式为 y=a(x2) 2+3, 将 C(0,1)代入得:1= a(2) 2+3,解得 a= y= (x 2) 2+3= x2+2x+1 (3)证明:由题意可知,ECD=45, OC=OD,且 OCOD,OCD 为等腰直角三角形,ODC=45, ECD=ODC,CEx 轴,则点 C、E 关于对称轴(直线 x=2)对称, 点 E 的坐标为(
41、4,1) 如答图所示,设对称轴(直线 x=2)与 CE 交于点 M,则 M(2,1) , ME=CM=QM=2,QME 与QMC 均为等腰直角三角形,QEC=QCE=45 又OCD 为等腰直角三角形,ODC =OCD=45, QEC=QCE= ODC=OCD=45, CEQCDO (4)存在 如答图所示,作点 C 关于直线 QE 的对称点 C,作点 C 关于 x 轴的对称点 C,连接 CC,交 OD 于点 F,交 QE 于点 P,则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形,由轴 对称的性质可知,PCF 的周长等于线段 CC的长度 - 23 - (证明如下:不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一
42、点 F,在线段 QE 上取异于点 P 的任一 点 P,连接 FC,F P,PC 由轴对称的性质可知,PCF 的周长=FC+FP+PC; 而 FC+FP+PC是点 C,C 之间的折线段, 由两点之间线段最短可知:FC+FP+PCCC , 即P CF的周长大于PCE 的周长 ) 如答图所示,连接 CE, C,C关于直线 QE 对称,QCE 为等腰直角三角形, QCE 为等腰直角三角形, CEC 为等腰直角三角形, 点 C的坐标为(4,5) ; C,C关于 x 轴对称,点 C的坐标为(0,1) 过点 C作 CNy 轴于点 N,则 NC=4,NC =4+1+1=6, 在 RtCNC中,由勾股定理得:C
43、C = = = 综上所述,在 P 点和 F 点移动过程中,PCF 的周长存在最小值,最小值为 12如图,抛物线与 x 轴交于 A(1,0) 、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,3) ,设 抛物线的顶点为 D (1)求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标 (2)试判断BCD 的形状,并说明理由 (3)探究坐标轴上是否存在点 P,使得以 P、A、C 为顶点的三角形与BCD 相似?若存 在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 - 24 - 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题 分析: (1)利用待定系数法即可求得函数的解析式; (2)利用勾股定理求得BCD 的三边的长,然后根据勾
44、股定理的逆定理即可作出判断; (3)分 p 在 x 轴和 y 轴两种情况讨论,舍出 P 的坐标,根据相似三角形的对应边的比相等 即可求解 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c 由抛物线与 y 轴交于点 C(0,3) ,可知 c=3即抛物线的解析式为 y=ax2+bx+3 把点 A(1,0) 、点 B(3,0)代入,得 解得 a=1,b=2 抛物线的解析式为 y=x 22x +3 y=x 22x+3=(x+1 ) 2+4 顶点 D 的坐标为(1,4 ) ; (2)BCD 是直角三角形 理由如下:解法一:过点 D 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 E、F 在 RtBO
45、C 中,OB=3,OC=3, BC 2=OB2+OC2=18 在 RtCDF 中,DF=1,CF=OFOC=43=1 , CD 2=DF2+CF2=2 在 RtBDE 中,DE=4 ,BE =OBOE =31=2, BD 2=DE2+BE2=20 BC 2+CD2=BD2 BCD 为直角三角形 - 25 - 解法二:过点 D 作 DFy 轴于点 F 在 RtBOC 中,OB=3,OC=3 OB= OC OCB=45 在 RtCDF 中,DF=1,CF =OFOC=43=1 DF= CF DCF=45 BCD=180DCFOCB=90 BCD 为直角三角形 (3)BCD 的三边, = =,又 =
46、,故当 P 是原点 O 时,ACPDBC; 当 AC 是直角边时,若 AC 与 CD 是对应边,设 P 的坐标是( 0,a) ,则 PC=3a, = ,即 = ,解得:a=9,则 P 的坐标是(0,9) ,三角形 ACP 不是直角三角 形,则ACPCBD 不成立; 当 AC 是直角边,若 AC 与 BC 是对应边时,设 P 的坐标是( 0,b) ,则 PC=3b,则 = ,即 = ,解得:b= ,故 P 是(0,)时,则ACPCBD 一定成立; 当 P 在 x 轴上时, AC 是直角边,P 一定在 B 的左侧,设 P 的坐标是(d,0) 则 AP=1d,当 AC 与 CD 是对应边时, = ,即 = ,解得:d=1 3 ,此 时,两个三角形不相似; 当 P 在 x 轴上时, AC