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1、圆锥曲线与方程 专题 1、椭圆 考点 1、椭圆的定义： 椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数 2 （大于 ）的点1F2a21|F 的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。 特别提示： 椭圆的定义中特别要注意条件 ，否则规矩不是椭圆。当 时，动点的cac 轨迹是两定点间的线段；当 时，动点的轨迹不存在。2 必备方法： 1、掌握椭圆定义的集合语言表述有助于增强驾驭数学符号语言的能力，椭圆的集合语 言表述如下： |,|2121FaMFP 若 为椭圆上任意一点，则有 。M1| 2、一般地，遇到与椭圆的焦点距离有关的问题都可以考虑用椭圆的定义解决。 典

2、例导悟： 例 1、已知 ， 是椭圆 C 的两个焦点，过 且垂直于 轴的直线交 C 于)0,(1F),(2 2Fx A、B 两点，且 ，则 C 的方程为（ ）3| A、 B、 C、 D、12yx12yx134 2yx1452yx 例 2、已知点 ，直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，则)0,3(M)3(k2 的周长为（ ）B A、4 B、8 C、12 D、16 例 3、设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是 上的点，)0(1:2bayxC1F2PC ， ，则 的离心率为（ ）21FPo321 A、 B、 C、 D、63213 考点 2、椭圆的标准方程： 1、椭圆的标准方程： （1）焦点在 x 轴

3、上时： （ ） 21yab0ab （2）焦点在 y 轴上时： （ ）12bxa0ab 2、在椭圆的标准方程中，都有 ，且 。22c 必备方法： 1、给出椭圆方程 时，判断椭圆焦点的位置的方法是：椭圆的焦点在 x 轴上1 2nymx 时 ；椭圆的焦点在 轴上时 ，这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方nn 法。 2、在求解椭圆问题时，首先要判断焦点 、 的位置，这是椭圆的定位条件，它决1F2 定椭圆标准方程的类型，而方程中的两个参数 、 确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定ab 形条件。 3、当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设为 （ ， 且 ）1 2nymx0nm 典例导悟： 例 1、已知中心在原点的

4、椭圆 的右焦点为 ，离心率等于 ，则 的方程是（ C)0,1(F2C ） A、 B、 C、 D、43 2yx342yx142yx1342yx 例 2、已知椭圆 的离心率为 。双曲线 的渐近线)0(1:2baC232 与椭圆 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 的方程为（ C ） A、 B、 C、 D、128yx162yx146 2yx1520yx 例 3、对于常数 、 ， “ ”是“方程 的曲线是椭圆”的（ ）mn02nm A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 考点 3、椭圆的几何性质： 必备方法： 1、在求解有关离心率的

5、问题时，一般并不是直接求出 和 的值，而是根据题目中给ca 出的椭圆的几何特征，建立关于参数 、 、 的方程或不等式，通过解方程或不等式求cab 得离心率的值或范围。 2、椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。解决焦点三角形问题常利 用椭圆的定义和正弦、余弦定理。 3、涉及直线与椭圆相交问题，常将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元转化为一元 二次方程，然后结合判别式、根与系数关系（ ， ）解题。abx21cx21 4、涉及中点弦问题，常用点差法来解决（一、设点；二、代点；三、作差） 标准方程 )0(2bayx )0(2bay 简 图 范 围 byax|,| bxay|,| 顶点 )

6、0( )0( 对称轴 轴， 轴x 对称中心 坐标原点 O 焦点坐标 ),(c ),(c 轴 长轴长为 ，短轴长为a2b2 焦距 cF|1 离心率 （ ）ce0e ， ， 间关abc 系 22ba 焦点三角形 （ ）tn21SPF 21PF 弦长公式 21212212121 4)(4)(| yykxxk 椭圆上点到焦点的最小距离为 ，最大距离为 。caca 典例导悟： 例 1、设椭圆的两个焦点分别为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若1F2 P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）2PF A、 B、 C、 D、2212 例 2、已知 、 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交

7、椭圆于 、 两12 1FAB 点，若 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）2ABF A、 B、 C、 D、332223 例 3、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、52515354 例 4、从椭圆 上一点 向 轴作垂线，垂足恰为左焦点 ，)0(:2bayxCPx1F 是椭圆与 轴正半轴的交点， 是椭圆与 轴正半轴的交点，且 （ 是坐标yOPAB/ 原点） ，则该椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、4221223 例 5、椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，左、右焦点分别为 、)0(:2bayxCAB1F ，若 、 、 成等比数

8、列，则此椭圆的离心率为（ ）2F|1A|F|1B A、 B、 C、 D、452125 例 6、已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，)0(1:2bayxCFAB 且 轴，直线 交 轴于点 。若 ，则椭圆的离心率是（ ）BFABPBA2 A、 B、 C、 D、232131 专题 2、双曲线 考点 1、双曲线的定义： 双曲线的定义：平面上与两个定点 、 距离的差的绝对值为非零常数 2 （小于1F2 a ）的动点轨迹是双曲线（ ） 。这两个定点叫做双曲线的焦点，21|F|Pa 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 特别提示： 定义中的“绝对值”与 不可忽视。若 ，则轨迹是以 、 为|221F

9、a|221F1F2 端点的两条射线；若 ，则轨迹不存在；若 ，则轨迹为线段 的垂直|221Fa02a1F2 平分线。另外，若去掉定义中的绝对值，则轨迹仅表示双曲线的一支。如： 方程 表示的双曲线是双曲线的左支。8)6()6( 22yxyx 必备方法： 1、类比椭圆，双曲线定义的集合语言表述如下： |2,|211FaMFP 2、 在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值” 。 典例导悟： 例 1、已知双曲线 ，点 、 为其两个焦点，点 为双曲线上一点，若2yx12P ，则 的值为 2PF|21PF 例 2、已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，:2yxCC ，则 （

10、）o601|21 A、2 B、4 C、6 D、8 例 3、已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，1F2:2yxP ，则 （ ）|1P21cosPF A、 B、 C、 D、4534354 考点 2、双曲线的标准方程： 1、双曲线的标准方程： （1）焦点在 x 轴上时： )0,(12bayx （2）焦点在 y 轴上时： ),(2 特别提示： 在双曲线方程中 和 的大小关系不定，这一点与椭圆是不同的。ab 2、在双曲线的标准方程中，有关系式 成立，且 。22bac0,cba 必备方法： 1、双曲线的焦点在 轴上 标准方程中 项的系数为正；双曲线的焦点在 轴上x2xy 标准方程中 项的系数为正

11、，这是判断双曲线的焦点所在坐标轴的重要方法。2y 2、双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算” 。所谓 “定型” ，是指确定类型， 也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是 轴还是 轴，从而设出相应的标准方程的形式；xy 所谓“计算” ，是指利用待定系数法求出方程中的 ， 的值，最后写出双曲线的标准方2ab 程。 3、在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或直接设双曲线的方程 为 （ ）12nymx0 典例导悟： 例 1、在平面直角坐标系 中，已知双曲线 上一点 M 的横坐标为 3，则点xoy124yx M 到此双曲线的右焦点的距离为 例 2、已知双曲线 C： 的焦距为 10，点

12、 P（2，1）在 C 的渐近线)0,(12ba 上，则 C 的方程为（ ） A、 B、 C、 D、1520yx205yx208yx1802yx 例 3、已知双曲线 C： 和椭圆 有相同的焦点，且双曲),(12ba196 线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 例 4、已知抛物线 的准线过双曲线 C： 的一个焦点，且xy82 )0,(2bayx 双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为 考点 3、双曲线的几何性质： 必备方法： 1、双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点 ”（两个焦点、两个顶点、两个虚 轴的端点） ， “四线” （两条对称轴、两条渐近线） ， “两形” （对称中心、

13、一个焦点以及一个 虚轴端点构成的三角形、双曲线上的一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关 系。 2、双曲线的渐近线方程的求解是一个重要问题，已知双曲线方程求其渐近线方程时， 一方面可以应用公式求得，另一方面，也可将双曲线方程 中的)0,(12bayx “1”改为“0 ”，便可得到其渐近线方程。另外与双曲线 具有共),(2b 同渐近线的双曲线的方程都可以设为 ，然后再根据其他条件求)1,0(2byax 出 ，代入便可求出双曲线方程。 3、与双曲线 共焦点的圆锥曲线方程为)0,(12bayx 且222(bax)2 标准方程 )0,(12bayx )0,(12baxy 简 图 范 围 ax|

14、 ay| 顶点 )0,( ),0( 对称轴 轴， 轴x 对称中心 坐标原点 O 焦点坐标 ),(c ),(c 轴 实轴长为 ，虚轴长为a2b2 焦距 cF|1 渐近线方程 xaby xay 离心率 （ ）ce0e ， ， 间关abc 系 22b 焦点到渐近线的 距离 焦点三角形 （ ）2tan/21SPF 21PF 弦长公式 212121121 4)(4)(| yykxxk 典例导悟： 例 1、已知双曲线 C： 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ )0,(2bayx 25 ） A、 B、 C、 D、xy41xy31xy21xy 例 2、已知 F 为 双曲线 C： 的左焦点，P 、Q 为 C

15、 上的点。若 PQ 的长等于虚轴69 2 长的 2 倍，点 A（5，0）在线段 PQ 上，则 的周长为 F 例 3、双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）12yx A、 B、 C、1 D、21 2 例 4、已知双曲线 的右焦点为（3 ，0） ，则该双曲线的离心率等于（ ）15 2yax A、 B、 C、 D、1342334 例 5、设 P 为直线 与双曲线 左支的交点， 是左焦点，xaby3)0,(12bay1F 垂直于 轴，则双曲线的离心率 1Fxe 例 6、已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，)0,(1:21bayC164: 22yxC 且 的右焦点为 ，则 ， 1)0,5(F 例 7

16、、中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 ，则它的离心率为x )2,( （ ） A、 B、 C、 D、652625 例 8、设 O 为坐标原点， 、 是双曲线 的焦点，若在双曲线1F2 )0,(12bayx 上存在点 P，满足 ， ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）o6021OP7| A、 B、 C、 D、03yx3yx02yx02yx 例 9、设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、23213215 例 10、如图， 、 是椭圆 与双曲线 的公共焦点，1F24:21yx2 A、

17、B 分别为 与 在第二、四象限的公共点。若四边形 为矩1C2 21BFA 形，则 的离心率是 2 考点 1、抛物线的定义： 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定 直线 l 上) 。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。 特别提示： 抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨 迹就不再是一条抛物线，而是一条直线（过定点且与定直线垂直的直线） 。 必备方法： 、抛物线定义的集合语言表述如下： ，即1|dMFP|dFP 2、 抛物线的定义实质上实现了一种转化，即将抛物线上的点到焦点的距离转化为这个

18、 点到准线的距离，或者把抛物线上的点到准线的距离转化为这个点的到焦点的距离，这种 转化在相应的情况下都能起到化繁为简的作用，因此要特别注意抛物线的定义在解题中的 重要作用。 典例导悟： 例 1、已知 F 是抛物线 的焦点，A、B 是该抛物线上的两点， |AF|+|BF|=3，则线段xy2 AB 的中点到 轴的距离为（ ） A、 B、1 C、 D、434547 例 2、设抛物线 上一点 P 到 轴的距离是 4，则点 P 到抛物线焦点的距离是（ ）xy82y A、4 B、6 C、8 D、12 例 3、已知抛物线 的准线与圆 相切，则 的值为（ )0(2p16)3(2yxp ） A、 B、1 C、2

19、 D、421 例 4、已知过抛物线 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，|AF|=2，则|BF|= xy42 例 5、动点 P 到点 F（2，0）的距离与它到直线 的距离相等，则点 P 的轨迹方程0x 为 例 6、O 为坐标原点，F 为抛物线 C： 的焦点，P 为 C 上一点，若 ，y24 24|F 则 的面积为（ ）POF A、2 B、 C、 D、4232 例 7、设抛物线 C： 的焦点为 F，直线 过 F 且与 C 交于 A、B 两点。若xy4l |AF|=3|BF|，则 的方程为（ ）l A、 或 B、 或1xy1)1(3xy)1(3xy C、 或 D、 或)(3)(3xy )

20、(2)(2 考点 2、抛物线的标准方程： 抛物线的标准方程有四种形式： （1）焦点在 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 ，焦点坐标为x )0(2pxy ，准线方程为 ；)0,2(p2p （2）焦点在 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为 ，焦点坐标为x )(2xy ，准线方程为 ；),( （3）焦点在 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 ，焦点坐标为y )0(2pyx ，准线方程为 ；)2,0(p2p （4）焦点在 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为 ，焦点坐标为y )(2yx ，准线方程为 。),( 必备方法： 1、抛物线的标准方程中参数 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以 的值p p 永远

21、大于 0，当抛物线的标准方程中一次项的系数为负值时，不要误以为 。0 2、抛物线的标准方程的求解方法是“先定型，后计算 ”。所谓“定型” ，是指确定类型， 也就是确定抛物线的焦点所在坐标轴是 轴还是 轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相xy 应的标准方程的形式；所谓“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数 的值，从而p 得出抛物线的标准方程。 典例导悟： 例 1、设抛物线的顶点在原点，准线方程为 ，则抛物线的方程是（ ）2x A、 B、 C、 D、 xy82y42 xy82xy42 例 2、动点 P 到点 F（2，0）的距离与它到直线 的距离相等，则点 P 的轨迹方程0 为 例 3、已知双曲线

22、 的离心率为 2。若抛物线 ：)0,(1:21bayxC 2C 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 的方程为（ ）)0(2pyx1 2 A、 B、 C、 D、38yx362yx8yx162 例 4、设斜率为 2 的直线 过抛物线 的焦点 F，且和 轴交于点 A。若l )0(2a （O 为坐标原点）的面积为 4，则抛物线方程为（ ）F A、 B、 C、 D、xy2xy82xy42xy82 考点 3、抛物线的几何性质： 标准方程 2(0)p2(0)p2(0)p2(0)py 图形 焦点坐标 (,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p 准线方程 xxyy 范围 对称性 轴x轴x轴y轴

23、y 顶点 (0,)(0,)(0,)(0,) 离心率 1e1e1e1e 必备方法： 1、抛物线不同于椭圆，它是一种不封闭的曲线；它只有一条对称轴、一个顶点、一个 焦点，没有对称中心；它的离心率不变，恒为 1. 2、过抛物线 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 ， 两)0(2pxy ),(1yxA),(2B 点，则称线段 为抛物线的焦点弦。设直线 的倾斜角为 ，则有如下结论：ABAB （1） ， 2421 oFxyl oxyFl xyFol （2） 221sin| pxAB （3） iSO （4）以线段 AB 为直径的圆与准线相切 （5）当 AB 与抛物线的对称轴垂直时，称线段 AB 为抛物线的通径

24、，它是焦点弦中的最 短者，等于 p2 （6）设 M 为准线与 轴的交点，则xBMFA （7）设 A、B 在准线上的射影分别为 、 ，若 P 为 的中点，则11PBA （8）若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC 平行于 轴，反之，若过点 B 平行于 轴的直xx 线交准线于 C，则 A、O 、C 三点共线。 典例导悟： 例 1、若抛物线 的焦点坐标为（1 ，0） ，则 ，准线方程为 )0(2pxy p 例 2、抛物线 的焦点到直线 的距离是（ ）83y A、 B、2 C、 D、13 例 3、已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 。若点 Mx ),2(0y 到该抛物线焦点的

25、距离为 3，则 |OM|= 例 4、已知直线 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， 与 C 交于 A、B 两点，l l |AB|=12，P 为 C 的准线上一点，则 的面积为（ ）ABP A、18 B、24 C、36 D、48 例 5、设 为抛物线 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心，),(0yxMyx8:2 |FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 的取值范围是（ ）0 A、 （0，2 ） B、0，2 C、 D、),2(),2 例 6、已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，)(2pxy 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为（ ） A、 B、 C、 D、1x12x2x 例 7、抛物线 的焦点到准线的距离是 xy82 例 8、已知点 A（2，0） ，抛物线 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点y4:2 M，与其准线相交于点 N，则|FM|:|MN|=（ ） A、 B、 C、 D、5:15:13:1