圆锥曲线总结.doc

1、圆锥曲线概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F ，F 的距离的和等于常12 数 ，且此 常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段 F F ，当常数小于2a21F21 时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F ，F 的距离的差的绝对值等于常数 ，且此常数 一1F2 a 定要小于|F F |，定义中的“绝对值”与 |F F |不可忽视 。若 |F F |，则轨迹是以2 a112 F ，F 为端点的两条射线，若 |F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双1 曲线的一支。 如方程 表示的曲线是_

2、（答：双曲线的左支）22(6)(6)8xyxy （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母” ， 其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间e 的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点 及抛物线 上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是_（答 2）)0,(Q4 2y 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ： （1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ） ，焦点在 轴上时 1（x12ba0ay2bxa ） 。方程 表示椭圆的充要条件是什么

3、？（ABC0，且 A，B，C 同号，0ab2AByC AB ） 。 如（1）已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为_（答：3 2kk ） ； (3,)(,)2 （2）若 ，且 ，则 的最大值是_ ， 的最小值是_（答：Ryx62yxyx2yx ）5, （2）双曲线：焦点在 轴上： =1，焦点在 轴上： 1（ ） 。2ba2ba0,ab 方程 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号） 。2AxByC 如设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线 C 过点O1F2e ，则 C 的方程为_ （答： ）)10,4(P6xy （3）抛物线：开口向右时 ，开口向左时 ，开口

4、向上时2(0)yp2(0)ypx ，开口向下时 。2xpy 如定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。 45 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。x2y 如已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_（答：12myx ）)3,1(,( （2）双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；x2y （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦

5、点位置，焦点 F ，F 的位置，是椭12 圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ，确定椭圆、,ab 双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。a22bcc22 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以 （ ）为例）：范围： ；焦12yx0a,axby 点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0） ，四个顶点(,0)c,xy ，其中长轴长为 2 ，短轴长为 2 ；准线：两条准线 ； 离心率：(,)abb2c ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭

6、圆越扁。e1ee 如（1）若椭圆 的离心率 ，则 的值是_（答：3 或 ） ；5 2myx510m325 （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为 _（答： ） （2）双曲线（以 （ ）为例）：范围： 或 ； 21xyab0,abxa,yR 焦点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0） ，两个顶点(,0)c,0xy ，其中实轴长为 2 ，虚轴长为 2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，(,0)a 其方程可设为 ；准线：两条准线 ； 离心率： ，双曲线2,xyk 2accea ，等轴双曲线 ， 越小，开口越小， 越

7、大，开口越大； 两条渐近线：1eee 。bya 如 （1）双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于_（答： 或023yx 132 ） ； 3 （2）双曲线 的离心率为 ，则 = （答：4 或 ） ； 21axby5:ab1 （3） 已知 F1、F 2 为双曲线 的左焦点,顶点为 A1、A 2, 是双曲线上任意一点,则分 209P 别以线段 PF1、A 1A2 为直径的两圆一定（ b ） A相交 B相切 C相离 D以上情况均有可能 （3）抛物线（以 为例）：范围： ；焦点：一个焦点2(0)ypx0,xyR ，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，(,0)

8、2p 0 只有一个顶点（0,0） ；准线：一条准线 ； 离心率： ，抛物线 。2pcea1e 如设 ，则抛物线 的焦点坐标为_（答： ） ；Ra,4axy)6,( 5、点 和椭圆 （ ）的关系：（1）点 在椭圆外0(,)Pxy2b00Pxy ；（2）点 在椭圆上 1；（3）点 在椭圆内 201ab0(,)xy2byax(,)2xy 6直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交： 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不00 一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直 0 线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 直线与抛物线相交，但直线与抛物

9、线相交不 一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅 是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 如（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_（答： (- ,-1)） ； 35 （2）直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点，则 m 的取值范围是_（答： 215ym 1，5） （5，+ ） ） ； （3）过双曲线 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若 AB4，则这样的直线21x 有_条（答：3） ； （2）相切： 直线与椭圆相切； 直线与双曲线相切； 直线与抛物000 线相切； （3）相离：

10、直线与椭圆相离； 直线与双曲线相离； 直线与抛物 线相离。 特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。 如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时, 直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线 1 外一点 的直线与双曲线2byax0(,)Pxy 只有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行 的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内 时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P

11、 在两条渐近线上但非 原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线； （3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直 线。 如（1）过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有_（答：2） ； )4,2(xy82 （2）过点(0,2)与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 _（答：169 2x ） ； 45,3 （3）过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 A、B 两点，若 4，则满足条件的12yxl 直线 有_条（答：3） ； l （4）对于抛物线 C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内部

12、，若点x4024xy),(0yM 在抛物线的内部，则直线 ： 与抛物线 C 的位置关系是_（答：相),(0yxMl)(0 离） ； （5）过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 、2F p ，则 _（答： 1） ； qp1 （6）设双曲线 的右焦点为 ，右准线为 ，设某直线 交其左支、右支和右准线96 2yxlm 分别于 ，则 和 的大小关系为_( 填大于、小于或等于) （答：等于） ；RQP,FQR （7）求椭圆 上的点到直线 的最短距离（答： ） ；2842yx 01623yx813 （8）直线 与双曲线 交于 、 两点。 当 为何值时， 、

13、 分别在双曲1aABaAB 线的两支上？当 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？（答： ； ） ；,a 7、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到 相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。red 如（1）已知椭圆 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为1625yx _（答： ） ；3 （2）已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距xy82y 离等于_； （3）若该抛物线上的点 到焦点的距离是 4，则点 的坐标为 _（答： ） ；MM7,(2

14、4) （4）点 P 在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 的横坐标1925 为_（答： ） ；1 （5）抛物线 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 轴的距离为xy2 y _（答：2） ； （6）椭圆 内有一点 ，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使 134 2yx)1,(P FP2 之值最小，则点 M 的坐标为_（答： ） ；,362 8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为 bc；对于双曲线20tan|Sbcy0|bmaxS 。 如 （1）短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为

15、、 ，过 作直线交t 532e1F21 椭圆于 A、B 两点，则 的周长为_（答：6） ；2F （2）设 P 是等轴双曲线 右支上一点，F 1、F 2 是左右焦点，若)0(2ayx ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 （答： ） ；01F 4xy （3）椭圆 的焦点为 F1、F 2，点 P 为椭圆上的动点，当 0)上异于原点的两点， ，点 C 坐标为（0，2p）OAB （1）求证：A,B,C 三点共线； （2）若 （ ）且 试求点 M 的轨迹方程。AMBR0 （1）证明：设 ，由 得 221(,)(,) ，又 221120,4xxpp2211(,),(,)xxACpABp ， ，即 A,B

16、,C 三点共线。21 1()(0/ （2）由（1）知直线 AB 过定点 C，又由 及 （ ）知OMB MR OMAB，垂足为 M，所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x0， y0)。 15.圆锥曲线中线段的最值问题： 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为2 FAPHBQF PHy0xA_ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则 ，因

17、而易发现，当PHA、P 、F 三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离 和最小。 解：（1） （2， ） （2） （ ）1,4 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 例 2、F 是椭圆 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。3 2yx （1） 的最小值为 PA （2） 的最小值为 分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 或准线作FP 出来考虑问题。 解：（1）4- 5 设另一焦点为 ，则 (-1,0)连 A ,PF 542)(2 FAaPFaPPA 当 P 是 A 的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为 4- 。 （2）3 作出右准线 l，作 PHl 交于 H，因 a2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e= ，21 PFHF2,1即 AP 当 A、P 、 H 三点共线时，其和最小，最小值为 3142Axca