1、弹塑性力学试卷及习题解答 弹塑性力学试卷 配套教材弹性与塑性力学陈惠发 1是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打。 ） （每小题 2 分） （1 ）物体内某点应变为 0 值，则该点的位移也必为 0 值。 （ ） （2 ）可用矩阵描述的物理量，均可采用张量形式表述。 （ ） （3 ）因张量的分量是随坐标系的变化而变化，故张量本身也应随坐标系变化。 （ ） （4 ）弹性的应力和应变张量两者的主方向是一致性，与材料无关的。 （ ） （5 ）对于常体力平面问题，若应力函数 满足双调和方程 ，那么，yx,02 由 确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （ ）yx, （6 ）若某材料在弹性
2、阶段呈各向同性，故其弹塑性状态势必也呈各向同性。 （ ） （7 ） Drucker 假设适合于任何性质的材料。 （ ） （8 ）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。 （ ） （9 ）对于任何材料，塑性应变增量均沿着当前加载面的法线方向。 （ ） （10 ）塑性应变增量的主方向与应力增量的主方向不重合。P107；226 （ ） 2填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。 ） （每小题 2 分） （1 ）设 ，当 满足_关系43241, yaxayx321,a 时 能作为应力函数。 （2 ）弹塑性力学是研究固体受外界因素作用而产生的_的一门学科。 （3
3、 ）导致后继屈曲面出现平移及扩大的主要原因是材料_。 （4 ） 平面上的一点对应于应力的失量的 _。P65 （5 ）随动强化后继屈服面的主要特征为： _。 （6 ）主应力轴和主应变轴总是重合的材料为_。P107 （7 ）相对位移张量 通常_对称的，对于小变形问题由此引起的位移含ij _ _。P75 、76 （8 ）若 ，请分别简述 的真正含义及对应的强化描述：0kfijij ,kij _ _ 。 P236238 3选择题（分别为 3，3，4 分） （1 ）对不可压缩的弹性体，有性质（ ） 。P104 A 且 B 且0zyx.50zyx.5 C 且 Dz 0zyxz （2 ）在与三个应力主轴成相
4、同角度的斜面上，正应力 （ ） 。P41；50；53N A B C D291I13I3212I （3 ）倘若将塑性功增量表述为 ，则其有效应力 和有效应变 应分别为pepdWepd （ ） 。P227、228 ；239241； A B pijdJ,32 pijijS32, C Dpij,2 pijijd, 4计算分析题 1现已知一点的应力张量为 。 （14 分）P70习题 2.2 4152123ij 求：（1）主应力及其主方向； P43、44 （2 ）应力不变量的 、 和 ；P411I23I （3 ）八面体正应力与剪应力。P50 、51 （应力单位） 2证明在弹性应力状态下，式 成立。 （10
5、 分）8821G P50；83；103 ； 3习题 5.1 所示结构由 4 根横截面均为 A/4 的竖直杆和一根水平刚性梁组成，竖杆为理想 弹塑性材料，杆 1 的屈服应力为 ，杆 2 的屈服应力为 ，设各杆材料常数 E 相同，并0102 设 ，试求 P192习题 5.102 （a ）在单调加载下的弹性极限荷载 ，各杆均进入塑性时的最大荷载 ，相应于 的dPpPd 铅垂变形 和相应于 的铅垂变形 。euppu （b）若各竖杆的应变 u/L 达到 后卸载，确定当 P 完全卸去后和竖杆的残余应力和E/20 残余应变。 P177例 5.2 4在简单拉伸试验中材料的应力应变关系为 30Epe 其中， 为
6、初始屈服应力，材料常数 ，就下面两种情况，MPa20 MPa20 求先施应变至 时逆向加载的应力应变关系。.p （a ）随动强化； （b）各向同性强化。 P186例 5.3 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1 计算：(1) ，(2) ，(3) 。piqjkpqijkeAijpkliljeB 答案 (1) ; 答案 (2) ;pqijkpqeA 解：(3) 。()liljikjliljkiljijjiB 2.2 证明：若 ，则 。ija0ea （需证明） 2.3 设 、 和 是三个矢量，试证明：bc2,bca 证：因为 ， 12311223iiiiiiiiiaccbabcbc 所
7、以 即得 123112212331231223detdet( )iiiiiiiiia abcb bcc caabc 。 12113223,iiiiibaacba ab 2.4 设 、 、 和 是四个矢量，证明：cd()()()bd 证明： a 2.5 设有矢量 。原坐标系绕 轴转动 角度，得到新坐标系，如图 2.4 所示。试求矢量 在新坐iuez u 标系中的分量。 答案： ，12cosinu ，2u 。3 2.6 设有二阶张量 。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量 在新坐标系中的分量 、ijjTe T1T 、 和 。123 提示：坐标变换系数与上题相同。 答案： 图 2 . 4 ozyxu
8、 ，121212cossinTT ，12 ，323cosin 。T 2.7 设有 个数 ，对任意 阶张量 ，定义n12niAm12mjB 12 12nmij jCB 若 为 阶张量，试证明 是 阶张量。12ij12niA 证：为书写简单起见，取 ， ，则 2.8 设 为二阶张量，试证明 。trI 证： 2.9 设 为矢量， 为二阶张量，试证明：aA (1) ，(2)()Ta()TaA 证：(1) ()Tjijkjikjnaee Tjikjnnjine 。e 证：(2) ()TaA 2.10 已知张量 具有矩阵 123456789 求 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。T 解： 2.11
9、 已知二阶张量 的矩阵为310T 求 的特征值和特征矢量。 解： 2.12 求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量： ，AImBnm 其中， 和 是实数， 和 是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为 ，()() 所以 是 的特征矢量， 是和其对应的特征值。设 是和 垂直的任意单位矢量，则有amaIa 所以和 垂直的任意单位矢量都是 的特征矢量，相应的特征值为 ，显然 是特征方程的重根。A 令 ， ，21()mne31()2ne123e= 则有 ，23()+23()+ 上面定义的 是相互垂直的单位矢量。张量 可以表示成ieB1230B+e 所以，三个特征值是 1、0 和1，对应的特征矢量是 、 和
10、。3e12 2.13 设 和 是矢量，证明：ab (1) 2()()a (2) ()ba 证：(1) (2) 2.14 设 ，求 及其轴向矢量。23213xyzxzaee1()w 解： ()wa 23232111 1()()yzzxee 2366xzxe 由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量 。22111 322()()zza 2.15 设 是一闭曲面， 是从原点 到任意一点的矢径，试证明：SrO (1)若原点 在 的外面，积分 ；30Sdrn (2)若原点 在 的内部，积分 。34S 证：(1)当 时，有0r (b)33()()ix 因为原点在 的外面，上式在 所围的区域
11、 中处处成立，所以由高斯公式得SV 。33()0SVdvrrn (2)因为原点在 的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为 的球面 完全在 的内部。aS 用 表示由 和 所围的区域，在 中式(b)成立，所以S 3333()0SSSVddrrr n 即 33SSn 在 上， ， ，于是ra/nr 。332214SSSSdda 2.16 设 ，试计算积分 。式中 是球面 在13()yxzyfee()dSfn22xyza 平面的上面部分. 解：用 表示圆 ，即球面 和 平面的交线。由 Stokes 公式得c22a22xyzaxy 。() 0Sccdydfnfr= 第三章 3.1 设 是矢径、 是
12、位移， 。求 ，并证明：当 时， 是一个可逆 的二阶张量。rurudr,1iju=dr 解： dI 的行列式就是书中的式(3.2)，当 时，这一行列式大于零，所以 可逆。rI ,ij dr 3.2 设位移场为 ，这里的 是二阶常张量，即 和 无关。求应变张量 、反对称张量uArAr 及其轴向矢量 。()/2 解： ， ， ，1()T1()2T ijkklxxee 2jkimkiljkimkijimAAe 3.3 设位移场为 ，这里的 是二阶常张量，且 。请证明：ur,1iju= (1)变形前的直线在变形后仍为直线； (2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面； (3)变形前的两个平行平面在变形后
13、仍为两个平行的平面。 证：(1)方向和矢量 相同且过矢径为 的点的直线方程可以写成a0r (1)0tr 其中 是可变的参数。变形后的矢径为 (2)()uArI 用 点积式(1)的两边，并利用式(2),得I 0()tra 上式也是直线方程，所表示的直线和矢量 平行，过矢径为 的点。所以变形前的()IAa0()IAr 直线变形后仍然是直线。 (2)因为 ，所以 可逆。记 ，则,1iju=I1B (3)()rIAr 变形前任意一个平面的方程可以表示成 (4)ca 其中 是和平面垂直的一个常矢量， 是常数。将式(3)代入式(4)，得c (5)()Br 上式表示的是和矢量 垂直的平面。所以变形前的平面在
14、变形后仍然是平面。a (3)变形前两个平行的平面可以表示成 ，1c2 变形后变成 ，()r2()cr 仍是两个平行的平面。 3.4 在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反 之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。 答案：能；能。 3.5 设位移场为 ，其中 是二阶常张量， 和 是两个单位矢量，它们之间的夹角为 。求变uArnm 形后 的减小量。 答案： 。1()ctg()sinTA 3.6 设 和 是两个单位矢量， 和 是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边mdrr 形面积为 ，试用应变张量把变形
15、时它的面积变化率 表示出来，其中 是面积变Adr /AA 形前后的改变量。 解：变形后， 和 变成 ，r rr 对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得 ddr 对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得 ()()r (a)2()()2()()ddrrrr 注意到 2()()dAAr 2r 所以，从式(a)可得 ()()()()ddArrr ()nmnm 利用习题 2.4 中的等式，上式也可写成 21()A 3.7 设在一个确定的坐标系中的应变分量为 ，让坐标系绕 轴转动 角，得一个新的坐标系，求在新ijz 坐标系中的应变分量。 答案： ，cos2in2xyxyxy ，xyxyy xy ，sinc
16、sxyxy xy ， ，cozyzincoszxzyzz 3.8 在 平面上， 、 、 和 轴正方向之间的夹角分别为 、 、 ，如图 3.9 所示，OabO0612 这三个方向的正应变分别为 、 和 。求平面上任意方向的相对伸长度 。abc n 答案： 2os23()sinabcbccn 3.9 试说明下列应变分量是否可能发生： ， ， ，2xay2xyza ， ，zb2zb0xy 其中 和 为常数。 解： 3.10 确定常数 ， ， ， ， ， ， 之间的关系，使下列应变分量满足协调方程0A10B10C12 ，24()xyx ，01y ，22xC abcOxy6012图 3 . 9 。0zx
17、zy 解： 3.11 若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。 解：（由于应变张量 和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成） 3.12 设 ， ， ， ，其中 ， ， 是常量，求位移的一般表达式。xaybzc0xyzxabc 解： 第四章 4.1 已知物体内一点的六个应力分量为： ， ， ， ， ，50xay30za75yz80zxa5xy 试求法线方向余弦为 ， ， 的微分面上的总应力 、正应力 和剪应力 。12n12132nTnn 答案： 总应力 。213.8T 正应力 。6.04nia 剪应力 。27n 4.2 过某点有两个面，它们的法向单位矢量
18、分别为 和 ，在这两个面上的应力矢量分别为 和 ，试nm1T2 证 。12m 证：（利用应力张量的对称性） 4.3 某点的应力张量为 012xyxzyzxyz 且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求 及该平面的单位法向矢量。y 解：设要求的单位法向矢量为 ，则按题意有in 0ijn 即 ， ， (a)231230y120 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2()y 上式有两个解： 或 。若 ，则代入式(a)中的三个式子，可得 ，这是不ny2n1n30 可能的。所以必有 。将 代入式(a)，利用 ，可求得11in 。1236e 4.4 基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图 4.8
19、，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分 量 2(arctg)xyxAC 2(arctg)yyxAB ，0zyxz2xyA 满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数 、 和 。ABC 解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它 们满足平衡方 程。 在 的边界上，有边界条件0y ，()q0()xy 所给的应力分量 自动满足上面的第二个条件。将 的表达式代入上面的第一个条件，得y (1)AB 在上斜面上，有 ，所以斜面上的应力分量可以简化成tg ， ，(sinco)x C(sinco)xAB ， (2)2y0zyz 斜面上的外法向方向余弦为 ， ， (3)1si2s3n 将式(2)和(3)代入边
20、界条件 ，得ij (4) 0(sincos)s0CAAB 联立求解(1)和(4)，得 ， ，tgqtC 4.5 图 4.9 表示一三角形水坝，已求得应力分量为 ， ， ，xabycxdy0z ，0yza 和 分别是坝身和水的比重。求常数 、1 、 、bcd ，使上述应力分量满足边界条件。 解：在 的边界上，有边界条件x ，01()y0()xy 将题中的应力分量代入上面两式，可解得： ，0a。1 在左侧的斜面上， ，外法向方向余弦为tg ， ，1cosn2sin3 把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件 ，可解得： ，ijn21ctgd 。1tg(t) 4.6 物体的表面由 确定，沿物体表面
21、作用着与其外法向一致的分布载荷 ，试写出,0fxyz (,)pxyz 其边界条件。 解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为 或 fn,iikfn 按题意，边界条件为 p 因此 即 fffp 上式的指标形式为 xyOq 图 4 . 8 O 1yx 图 4 . 9 。,ijifp 4.7 如图 4.10 所示，半径为 的球体，一半沉浸在密度为 的液体内，试写出该球的全部边界条件。a Oz 图 4 . 1 0 解：球面的外法向单位矢量为 或 ixarneiixna 当 时，有边界条件0z 即 或 。r0ij 当 时，球面上的压力为 ，其中 为重力加速度，边界条件为gz 即 或 。gznrijixg
22、z 4.8 物体的应力状态为 ，其中 为矢径 的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在ijijr 一个函数 ，使 ；(2)写出物体表面上的面力表达式。f 解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以 ,iifIe 所以，只要令 ，就有 。f (2)表面上的面力为 或 。TnijTn 4.9 已知六个应力分量 中的 ，求应力张量的不变量并导出主应力公式。ij30 解：应力张量的三个不变量为： ， ， 。1xyI22xyxI30I 特征方程是 321 22()I 上式的三个根即三个主应力为 和0 2xyxyxy 4.10 已知三个主应力为 、 和 ，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角
23、形，其法向单123 位矢量为 ， ，13n23n 求八面体各个面上的正应力 和剪应力 。00 解： ，0123()ij ， ，ijinTe2213inT 。222200131()()()3 4.11 某点的应力分量为 ， ，求：3013 (1)过此点法向为 的面上的正应力和剪应力；12()ne (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。 解：(1) ，123()ijinTee 。224 正应力为 。n 剪应力为 。20n 由此可知， 是主应力， 是和其对应的主方向。123()e (2)用 表示主应力，则 2()0 所以，三个主应力是 ， 。由上面的结论可知，和 对应的主方向是 ，又因1231n 为 是重根，所以和 垂直的任何方向都是主方向。23n
