1、1 圆锥曲线 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）21,F|21F 的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意： 表示椭圆； 表示线段 ； 没有轨迹；|21Fa|21Fa21|21Fa （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y 标准方 程 )0(12bayx )0(12baxy 图 形 x OF1 F2 P y A2A1 B1 B2 x O F1 F2P y A2 B2 B1 顶 点 ),0(,(21ba ),0(,()21ab 对称轴 轴， 轴；短轴为 ，长轴为xyb2 焦
2、 点 ),(,(21cF),(,0(21cF 焦 距 )|1ac 离心率 （离心率越大，椭圆越扁）0(ea 通 径 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） 2ba 3常用结论：（1）椭圆 的两个焦点为 ，过 的直线交椭圆于)0(12bayx 21,F1 两点，则 的周长= BA,AF （2）设椭圆 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴的直)(2byax 21,1 线交椭圆于 两点，则 的坐标分别是 QP, |PQ 二、双曲线： （1）双曲线的定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）2,F|21F A1 2 的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离
3、叫做焦距。 注意： 与 （ ）表示双曲线的一支。aPF2|1aPF2|12|21F 表示两条射线； 没有轨迹；|22a| （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y 标准 方程 )0,(12bayx )0,(12baxy 图 形 x OF1 F2 P y A2A1 xO F1 P B2 B1 F2 顶 点 )0,(,21a ),0(,2a 对称轴 轴， 轴；虚轴为 ，实轴为xyb2 焦 点 ),(,21cF),(,21c 焦 距 )0|12ac 离心率 （离心率越大，开口越大）)(ea 渐近线 xbyxby 通 径 2ba （3）双曲线的渐近
4、线： 求双曲线 的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得 ，因式分解得到12byax 02byx 。0xy 与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 ；12byax 2byax （4）等轴双曲线为 ，其离心率为2t （4）常用结论：（1）双曲线 的两个焦点为 ，过 的直线交双曲)0,(12byax 21,F1 y 3 线的同一支于 两点，则 的周长= BA,2AF （2）设双曲线 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴的)0,(12bayx 21,F1 直线交双曲线于 两点，则 的坐标分别是 QP, |PQ 三、抛物线： （1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
5、其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质： 0p 焦点在 轴上，x 开口向右 焦点在 轴上，x 开口向左 焦点在 轴上，y 开口向上 焦点在 轴上，y 开口向下 标准 方程 pxy2pxy2pyx2pyx2 图 形 xO F Pyl OF P y l x O FP yl x O FP yl x 顶 点 )0,( 对称轴 轴x 轴y 焦 点 )0,2(pF),2(pF)2,(pF)2,0(pF 离心率 1e 准 线 xxyy 通 径 p2 焦半径 |0pxPF2|0pyPF 焦点弦 焦准距 p 四、弦长公式： |14)(1|1| 22212212 Akx
6、xkxkAB 其中, 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程 4 的判别式和 的系数2x 求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关 于 x 的一元二次方程 设 ， ，由韦达定理求出 ，,02CBA),(1yxA),(2yxBABx21 ；（3）代入弦长公式计算。C21 法（二）若是联立两方程，消去 x,得关于 y 的一元二次方程 则相应,02CByA 的弦长公式是： |)1(4)()1|)1(| 22121222 AkykykAB 注意（1）上面用到了关系式 和|)(| 212121 Axxx|4)(212121 Ay
7、yy 注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的 距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一 般用分割法 五、弦的中点坐标的求法 法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关于 x 的一元二次方程 设 ， ，由韦达定理求出 ；,02CBxA),(1yxA),(2yxBABx21 （3）设中点 ，由中点坐标公式得 ；再把 代入直线方程求出),(0yM00x 。0y 法（二）：用点差法，设 ， ，中点 ，由点在曲线上，线段),(1yxA),(2yxB),(0yxM 的中点坐标公式，过 A、B
8、两点斜率公式，列出 5 个方程，通过相减，代入等变形，求出 。0,yx 六、求离心率的常用方法：法一，分别求出 a,c，再代入公式 法二、建立 a,b,c 满足的关系，消去 b,再化为关于 e 的方程，最后解方程求 e (求 e 时，要注意椭圆离心率取值范围是 0e1，而双曲线离心率取值范围是 e1) 例 1：设点 P 是圆 24xy上的任一点，定点 D 的坐标为（8，0），若点 M 满足 5 2PMD当点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹方程 解 设点 M 的坐标为 ,xy，点 P 的坐标为 0,xy，由 2PMD， 得 0,28xy，即 0316， 3 因为点 P 在圆 24xy上，所以
9、 204xy即 221634xy， 即 21639xy ，这就是动点 M 的轨迹方程 例 2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点 53(,)2，求椭圆的标准方程 解法 1 因为椭圆的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为 21(0)xyab ， 由椭圆的定义可知： 222253532(0(a） （ ） ） （ ）10a 又 22,6cbc所以所求的标准方程为 2106xy 解法 2 22, 4a，所以可设所求的方程为 24a ，将点53(,) 代人解得： 10 所以所求的标准方程为 2106xy 例 3. 例 4. 6 高二圆锥曲线练习题 1 1、F 1，F 2是定点，且|F 1
10、F2|=6，动点 M 满足|MF 1|+|MF2|=6，则 M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 2、已知 的周长是 16， ，B , 则动点的轨迹方程是( )ABC)0,3(A) (A) (B) (C) (D)165 2yx1652yx 1256yx)0(1256yx 3、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ） A B C D3232 4、设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为 26若曲线 上的点到椭圆 的两1C51x2C1C 个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 的标准方程为（ ）2 A B C D 243xy2135xy2
11、134xy213xy 5、设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ ）. 209a0a （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 6、双曲线 的实轴长是（ ）82yx （A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4 2 7、双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为（ ）4x1y A B2 C D123 3 8、以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） 2196xy A B20 2106xy C D1xy 9 7 9、过椭圆 =1（ a b0）的左焦点 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， 为右焦点， 2xy1F2F 若 ，则椭圆的离心率为（ ）1F2P60 A B C D31213 10
12、. “ 0mn”是“方程 2mxny”表示焦点在 y 轴上的椭圆的 （ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴与短轴的和为 18，焦距为 6; . (2)焦点坐标为 , ,并且经过点(2，1); .)03( (3)椭圆的两个顶点坐标分别为 , ,且短轴是长轴的 ; )03(31 (4)离心率为 ，经过点(2，0); 2 12、与椭圆 轴长为 2 的椭圆方程是： 且 短有 相 同 的 焦 点yx149 13、在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率xOC12,F
13、x 为 过 的直线 交 于 两点，且 的周长为 16，那么 的方程为： 21Fl,AB2AC 14、已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，若12， 2159xy1FAB， ，则 2FABA 15、 已知 、 是椭圆 C： （ ）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且12F 21xyab0a ，若 的面积是 9，则 12PF 12P 16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 P（ 4， ），Q （ ）两点的椭圆33,2 方程。 圆锥曲线练习题 2 8 1抛物线 的焦点到准线的距离是（ ）xy102 A B C D52510 2若抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则点 的坐标为（
14、 ）。28P9P A B C D(7,14)(,4)(7,24)(7,214) 3以椭圆 的顶点为顶点，离心率为 的双曲线方程（ ） 269xy A B C 或 D以上都不对1482127yx14862yx2197x 4以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆 的圆心的抛物线的方程是（ 02 ） A 或 B 23xy2x23xy C 或 D 或9yxy9 5若抛物线 上一点 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 的坐标为（ ）x2PP A B C D1(,)412(,)8412(,)412(,)84 6椭圆 上一点 与椭圆的两个焦点 、 的连线互相垂直，则 的面积为（ 29yxP1F2 21FP
15、） A B C D0284 7若点 的坐标为 ， 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动时，使 取得(3,)Fxy2MMA 最小值的 的坐标为（ ）M A B C D0,1,2, 8与椭圆 共焦点且过点 的双曲线方程是（ ）4 2yx(2,1)Q A B C D1242yx132yx12yx 9若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长为_.2xmy3 9 10双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，这双曲线的方程为_。20xy1 11抛物线 的准线方程为.y62 12椭圆 的一个焦点是 ，那么 。5kx),(k 13椭圆 的离心率为 ，则 的值为_。 2189y2 14双曲线 的一个焦点为 ，则 的值为_
16、。2kx(0,3)k 15若直线 与抛物线 交于 、 两点，则线段 的中点坐标是_。yxy42ABAB 16 为何值时，直线 和曲线 有两个公共点？有一个公共点？kk26y 没有公共点？ 17在抛物线 上求一点，使这点到直线 的距离最短。24yx45yx 18双曲线与椭圆 有相同焦点，且经过点 ，求其方程。13627yx(15,4) 19设 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且 ，12,F1692yxP0126FP 求 的面积。P 10 高二圆锥曲线练习题 1、F 1，F 2是定点，且|F 1F2|=6，动点 M 满足|MF 1|+|MF2|=6，则 M 点的轨迹方程是( D ) (A)椭
17、圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 2、已知 的周长是 16， ，B , 则动点的轨迹方程是( B )ABC)0,3(A) (A) (B) (C) (D)165 2yx1652yx 1256yx )0(1256yx 3、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ D ） A B C D3 32 4、设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为 26若曲线 上的点到椭圆 的两1C51x2C1C 个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 的标准方程为（ A ）2 A B C D 243xy2135xy2134xy213xy 5、设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ C ）. 2
18、09a0a （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 6、双曲线 的实轴长是（C ）82yx （A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4 2 7、双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为（ A ）4x1y A B2 C D123 3 8、以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ A ） 2196xy A B20 2106xy C D1xy 9 9、过椭圆 =1（ a b0）的左焦点 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， 为右焦点， 21F2F 若 ，则椭圆的离心率为（ B ）1F2P60 11 A B C D231213 10. “ 0mn”是“方程 2mxny”表示焦点在 y 轴上的椭
19、圆的 （ C ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析:将方程 21xny转化为 21xymn , 根据椭圆的定义，要使焦点在 y 轴上必须满 足 10,m所以 ， 11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴与短轴的和为 18，焦距为 6; ) 或 ; .1625yx125yx (2)焦点坐标为 , ,并且经过点(2，1); .)03( 32 (3)椭圆的两个顶点坐标分别为 , ,且短轴是长轴的 ; 或 ; )03(1192yx189 2yx (4)离心率为 ，经过点(2，0); 或 .2342yx64 2yx 12、与椭
20、圆 轴长为 2 的椭圆方程是： 且 短有 相 同 的 焦 点yx149 12yx 13、在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率xOC12,F 为 过 的直线 交 于 两点，且 的周长为 16，那么 的方程为：（21Fl,AB2AC ） 2268xy 14、已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，若12F， 2159xy1FAB， ，则 8 2ABA 12 15、 已知 、 是椭圆 C： （ ）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且1F2 21xyab0a ，若 的面积是 9，则 3 12P 12P 16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 P（ 4， ）
21、，Q （ ）两点的椭圆33,2 方程。 解：设椭圆方程为 ，将 P，Q 两点坐标代入，解得12byax 15,022ba 故 为所求。1520yx 圆锥曲线练习题 2 1抛物线 的焦点到准线的距离是（ B ）xy2 A B C D52150 2若抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则点 的坐标为（ C ）。28P9P A B C D(7,14)(,4)(7,214)(7,214) 3以椭圆 的顶点为顶点，离心率为 的双曲线方程（ C ）625yx A B 1481279yx C 或 D以上都不对6 2yx1279yx 4 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，且 ，则 的面积21,F2A0214
22、5FA12AF 为（ C ） A B C D74275 5以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆 的圆心的抛物线的方程是（ D 09622yx ） A 或 B 23xy2x23y C 或 D 或9yxxy9 13 6若抛物线 上一点 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 的坐标为（ B ）xy2PP A B C D1(,)412(,)8412(,)412(,)84 7椭圆 上一点 与椭圆的两个焦点 、 的连线互相垂直，则 的面积为（ D 29yxP1F2 21FP ） A B C D0284 8若点 的坐标为 ， 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动时，使 取(3,)Fxy2MMA 得最小值的
23、的坐标为（ D ）M A B C D0,1,2, 9与椭圆 共焦点且过点 的双曲线方程是（ A ）4 2yx(2,1)Q A B C D1242yx132yx12yx 10若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长为_ _.2xmy3,或 11双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，这双曲线的方程为0xy1 _ _。 2105xy 12抛物线 的准线方程为 .62 32x 13椭圆 的一个焦点是 ，那么 1 。kyx),0(k 14椭圆 的离心率为 ，则 的值为_ _。 2189254,或 15双曲线 的一个焦点为 ，则 的值为_ _。2kxy(0,3)k1 16若直线 与抛物线 交于 、 两点，则线段
24、的中点坐标是_ _。x42ABAB(4,2) 17 为何值时，直线 和曲线 有两个公共点？有一个公共点？kyk26y 没有公共点？ 14 解：由 ，得 ，即236 ykx223()6xk2(3)160kx 2214(748 当 ，即 时，直线和曲线有两个公共点；2780k6,3k或 当 ，即 时，直线和曲线有一个公共点；24,或 当 ，即 时，直线和曲线没有公共点。2780k63k 18在抛物线 上求一点，使这点到直线 的距离最短。24yx45yx 解：设点 ，距离为 ，2(,)Ptd 2241717tt 当 时， 取得最小值，此时 为所求的点。1t(,)P 19双曲线与椭圆 有相同焦点，且经过点 ，求其方程。3627yx(5,4) 解：椭圆 的焦点为 ，设双曲线方程为136y(0,)3c2219yxa 过点 ，则 ，得 ，而 ，(5,4)22519a24,6a或 ，双曲线方程为 。2a4yx 20设 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且 ，12,F1692xP0126FP 求 的面积。P 2解：双曲线 的 不妨设 ，则1 2yx3,5ac12F12a ，而2201 12os6FP120c 得 22()PFP011264,sin3S
