1、1 当心一元二次方程中的陷阱 一元二次方程问题是初中代数之重点，也是中考之热点。许多同学在解題时，由于对题目中的隐含条件重 视不够，往往出现错解，掉入其“陷阱”之中。现将一元二次方程中常见“陷阱”公布于众，以期引起同学们 的注意。 陷阱之一 忽视二次项系数不能为 0 例 关于 x 的一元二次方程(k 21)x 2+(2k1)x+1=0 有两个不相等的实数根，求 k 值.。 (2000 年北京市崇文区中考题) 误解 方程有两个不相等的实数根，0， 即（2k1） 24（k 21）10 解之 k 5 分析 当 k21=0，即 k=1 时，原方程为一元一次方程。 所以，正确的答案应为 k 且 k1。4
2、5 陷阱之二 忽视结论的多解情况 例 已知：a、b 满足 a22a1=0、b 22b1=0 ，则 b a =。 （1999 年无锡市中考题） 误解 由题意可知 a、b 是方程 x22x1=0 的两根， 则 a+b=2，ab=1， = 2 = ab )(2 =6。 分析 在 ab 时有上述结论存在，而当 a=b 时， b a =2。 本題正确的解应为6 或 2 陷阱之三 忽视的 的取值 例 1 方程 2x2mx2m+1=0 的两实数根平方和为 11，求 m 的值。 误解 设方程的两根为 x1、x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 1 ， x 12+x22=11，即（x 1+x2） 2 2x1
3、x2=11， 42 =11。 解之 m1=4， m2=12 分析 解題时只注意到方程两根的等量关系，而忽视了方程有两个实根时 0 这一先决条件，而当 m= 12 时 0，故 m=12 应当舍去。 正解应为 m=4。 例 2 x1、x 2 是 x2（2m 1）x+（m 2+2m4）=0 的两实根，求 x12+x22 的最小值。 误解 由已知得 x1+x2=2m1，x 1x2=m2+2m4，x 12+x22=（x 1+x2） 22x 1x2=（2m1） 2 22（m 2+2m4）=2 （m2） 2+1 当 m=2 时， x12+x22 的最小值为 1。 分析 解法中忽视了方程有实根时 0 这一前提
4、，当 m=2 时，0 此时方程无实根。 正解的解法还应当求出 m 的取值范围， 原方程有两实根解，（2m 1） 22（m 2+2m4）0 解得 m 12 7 当 m= 时， x12+x22 的最小值为 7 1 陷阱之四 忽视对题目中关键词的辨析 例 m 为何实数时，方程 mx22（m1）x+m 3=0 有实数根。 误解 欲使方程有实根，只需 0，即2（m1） 24m（m3）0， 解之 m1 又m0，m1 且 m0。 分析 解法中对方程 “有实根 ”和“有两个实根”未加以辨析，而当 m=0 时，原方程为一元一次方程 2x3=0，x= 2 3 ，也有实根。此题错在误认为原方程一定是一元二次方程。
5、正解为 m1。 例 1：若关于 的方程 有解，则 的取值范围是（ ） A B C 且 D 且 误解：由题意得 ，解得 ，故选 D。 剖析：由于题中对 和方程的次数未作任何规定。因此，原题可理解为 “一元二次方程有实 数根”和“一元一次方程有根”两种情况。当 时为一元二次方程，得 且 ，当 时为一元一次方程。故选 B。 陷阱之五 忽视算术平方根的非负性 例 已知 x=1 是方程 22kx=k 的一根，求作以 2k 和 2k+1 为根的一元二次方程。 （1999 年湖北省黄冈市中考题） 误解 把 x=1 代入原方程，得 =k。解之 k1=2，k 2=1。 当 k=2 时，2k=4，k+1=2 ，所
6、求的一元二次方程为 y27y+12=0； 当 k=1 时，2k= 2，k+1=0，所求一元二次方程为 y2+2y=0。 分析 此解主要错在未考虑到 2kx0 这一问题。因而 k=1 应舍去。 正解应为：所求的一元二次方程为 y27y+12=0。 陷阱之六 忽视对根的符号的考察 3 例 1 已知 、 是方程 x2+5x+3=0 的两实根。求 的值。 （1999 年江苏泰州市中考题） 误解 设 A= ，A 2= 2 +2+ 2=4，=3 A 2=43=12，A=2 3。 分析 由题意可知 0 且 0， （+5，3） A0，故 A=2 应当舍去。正确解应当为 =2 3。 帮你远离一元二次方程习题中的
7、“陷阱” 许多一元二次方程习题常常把很容易忽视的条件放进题中，设计了一些“陷阱”.如果同学们对知识理解不 透彻或分析问题不全面,就极易误入“陷阱” ，导致错解.为帮助同学们远离这些“陷阱” ，下面笔者就对它们逐 一进行分析. 一.二次项系数“陷阱” 例 1.当 为何值时,关于 的一元二次方程 有两个实数根.ax 01)2(xax 错解: .414)12(2a .,04 、 分析:错误原因是忽视了一元二次方程的二次项系数 这一隐含条件.实际上一元二次方程02a 有两个实数根的条件应是 .故本题的结论应是:当 时,方程2cbxa 0、 041a、 有两个实数根.01)( 小结：如果题设中所给的一元
8、二次方程的二次项系数中含有字母,那么这个题目就已经设计了有关二次项系 数的“陷阱” ，此时务必要考虑“二次项系数不为零”这一隐含条件. 二.根的判别式“陷阱” 例 2.已知 是一元二次方程 的两个实数根，且 满足不等式21x、 0312mx 21x、 ，求实数 的取值范围.0)(21xm 错解: 、221 xx .312 ,0)(121xx .3m 4 .35m 分析:错误原因是忽视了判别式 这一隐含条件.实际上一元二次方程有两个实数根,则必然有 这0 0 一条件.根据此方程有两个实数根,可先列出不等式 ,解出 .故本题的结论是:0)31(8)2(m61 .3561 小结： 如果题目中已直接或
9、间接给出了一元二次方程有两实根，那么这个题目就已经设计了有关判别式的 “陷阱” ，此时一定要考虑 的隐含条件. 三.二次根式“陷阱” 例 3.已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,求 的取值范围.x 012)1(xkx k 错解: .84)2(2kk 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,x)(2xkx .0184kk、 .2 分析:错误的原因是忽视了二次根式的被开方数 这一隐含条件.本题必须同时考虑01k 这三个条件,才能正确求解.正确结论是: .01021kk、 211k、 小结：如果题设中存在被开方数是有关字母的二次根式,那么这个题目很有可能设计了有关二次根式的“陷 阱”
10、 ，此时有必要考虑被开方数大于或等于零这一隐含条件. 四.关键字“陷阱” 例 4.关于 的方程 有实数根,则 的取值范围是( )x0132xkk (A) (B) 49k 049、 (C) (D)k 错解: 关于 的方程 有实数根,x0132xk ,0、 即 ,49k .、 选(B). 分析:此方程形式上是一个一元二次方程,但从题设中的关键文字“方程” 、 “有实数根”来看，该方程不仅 可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.本题需要这样讨论:若 时,则该方程是一元一次方程,它有0k 5 实根 ;若 时,则该方程是一元二次方程,当 时,它有两个实数根.这两种情况都满足题31x0k 049k、
11、设条件,所以 的取值应是 (不必要求 ,因为 时方程也有实数根).故选(C).490k 例 5.关于 的方程 有两个实数根,则 的取值范围是( )x132xk (A) (B) 49k 049k、 (C) (D) 错解: 当 时,原方程有实数根 ;0k31x 当 时,关于 的方程 有两个实数根,02k ,k、 即 ,049 .、k 这两种情况都满足题设条件,所以 的取值范围应是 .故选(C).k49k 分析:分析题设中的关键词“方程”,该方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程;但是由后面的关 键词语“有两个实数根”可知，该方程不可能是一元一次方程，所以只考虑它是关于 一元二次方程.故正确答x 案是(B). 小结:在解有关一元二次方程的习题时，应特别注意 “方程” 、 “有实数根” 、 “有两个实数根”等关键文字， 注意思考它们的隐含条件，以免陷入关键字“陷阱”.
