1、培智教育 1 初一数学奥林匹克竞赛题（含答案） 初一奥数题一 甲多开支 100 元，三年后负债 600 元求每人每年收入多少？ S 的末四位数字的和 是多少？ 4一个人以 3 千米/小时的速度上坡，以 6 千米/小时的速度下坡，行程 12 千 米共用了 3 小时 20 分钟，试求上坡与下坡的路程 5求和： 6证明：质数 p 除以 30 所得的余数一定不是合数 8若两个整数 x，y 使 x2+xy+y2能被 9 整除，证明：x 和 y 能被 3 整除 9如图 195 所示在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 的中点为 M，N，MN 的 延长线与 AB 边交于 P 点求证：PCD 的面积等于
2、四边形 ABCD 的面积的一 半 解答： 所以 x=5000(元) 培智教育 2 所以 S 的末四位数字的和为 1995=24 3因为 a-b0，即 ab即当 b a0 或 ba0 时，等式成立 4设上坡路程为 x 千米，下坡路程为 y 千米依题意则 有 由有 2x+y=20， 由有 y=12-x将之代入得 2x+12-x=20 所以 x=8(千米)，于是 y=4(千米) 5第 n 项为 所以 培智教育 3 6设 p=30qr，0r30因为 p 为质数，故 r0，即 0r30假设 r 为合数，由于 r30，所以 r 的最小质约数只可能为 2，3，5再由 p=30qr 知，当 r 的最小质约数为
3、 2，3，5 时，p 不是质数，矛盾所以，r 一定不是合数 7设 由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即 (4-m)pq+1=2(p+q) 可知 m4由，m0，且为整数，所以 m=1，2，3下面分别研究 p，q (1)若 m=1 时，有 解得 p=1，q=1，与已知不符，舍去 (2)若 m=2 时，有 因为 2p-1=2q 或 2q-1=2p 都是不可能的，故 m=2 时无解 (3)若 m=3 时，有 培智教育 4 解之得 故 pq=8 8因为 x2+xy+y2=(x-y)2+3xy由题设，9(x 2+xyy 2)，所以 3(x 2xyy 2)，从而 3(x-y) 2因为 3 是质数，故
4、3(x-y)进而 9(x- y)2由上式又可知，93xy，故 3xy所以 3x 或 3y若 3x，结合 3(x-y)，便得 3y；若 3y，同理可得，3x 9连结 AN，CN，如图 1103 所示因为 N 是 BD 的中点，所以 上述两式相加 另一方面， SPCD =SCND S CNP S DNP 因此只需证明 SAND S CNP S DNP 由于 M，N 分别为 AC，BD 的中点，所以 SCNP =SCPM -SCMN =S APM -SAMN =S ANP 又 SDNP =SBNP ，所以 培智教育 5 SCNP S DNP =SANP +SBNP =SANB =SAND 培智教育
5、6 初一奥数题二 1已知 3x2-x=1，求 6x3+7x2-5x2000 的值 2某商店出售的一种商品，每天卖出 100 件，每件可获利 4 元，现在他们采用 提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价 1 元，每 天就少卖出 10 件试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润 是多少元？ 3如图 196 所示已知 CBAB，CE 平分BCD，DE 平分 CDA，12=90求证：DAAB 4已知方程组 的解应为 一个学生解题时把 c 抄错了，因此得到的解为 求 a2b 2c 2的值 5求方程xy-2x+y=4 的整数解 6王平买了年利率 7.11的三年期和年利率为
6、 7.86的五年期国库券共 35000 元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄， 五年后与五年期国库券的本息总和为 47761 元，问王平买三年期与五年期国库 券各多少？(一年期定期储蓄年利率为 5.22) 7对 k，m 的哪些值，方程组 至少有一组解？ 8求不定方程 3x4y13z=57 的整数解 9小王用 5 元钱买 40 个水果招待五位朋友水果有苹果、梨子和杏子三种， 每个的价格分别为 20 分、8 分、3 分小王希望他和五位朋友都能分到苹果， 并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？ 解答： 培智教育 7 1原式=2x(3x 2-x)+3(3x2
7、-x)-2x+2000 =2x131-2x+2000=2003 2原来每天可获利 4100 元，若每件提价 x 元，则每件商品获利(4x)元， 但每天卖出为(100-10x)件如果设每天获利为 y 元，则 y (4x)(100-10x)=400100x-40x-10x 2=-10(x2-6x9)90400=-10(x-3) 2490 所以当 x=3 时，y 最大=490 元，即每件提价 3 元，每天获利最大，为 490 元 3因为 CE 平分BCD，DE 平分ADC 及12=90(图 1104)，所以 ADCBCD=180， 所以 ADBC 又因为 ABBC， 由， ABAD 4依题意有 所以
8、 a 2+b2+c2=34 5xy-2x+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2， 所以(x+1)(y-2)=2 因为x10，且 x，y 都是整数，所以 所以有 6设王平买三年期和五年期国库券分别为 x 元和 y 元，则 培智教育 8 因为 y=35000-x， 所以 x(10.07113)(10.0522) 2+(35000-x)(1+0.07865)=47761， 所以 1.3433x48755-1.393x=47761， 所以 0.0497x=994， 所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元) 7因为 (k1)xm-4， m 为一切实数时，方程组有唯一解
9、当 k=1，m=4 时，的解为一切实数， 所以方程组有无穷多组解 当 k=1，m4 时，无解 所以，k1，m 为任何实数，或 k=1，m=4 时，方程组至少有一组解 8由题设方程得 z3m-y x=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m 原方程的通解为 其中 n，m 取任意整数值 9设苹果、梨子、杏子分别买了 x，y，z 个，则 消去 y，得 12x-5z=180它的解是 x=90-5t，z=180-12t 代入原方程，得 y=-23017t故 x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t x=20，y=8，z=1 2 培智教育 9 因此，小王的愿望不能实现，因为按他的
10、要求，苹果至少要有 123+456=2120 个 培智教育 10 初一奥数题三 1解关于 x 的方程 2解方程 其中 abc0 3求(8x 3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和 4液态农药一桶，倒出 8 升后用水灌满，再倒出混合溶液 4 升，再用水灌满， 这时农药的浓度为 72，求桶的容量 5满足-1.77x=-2x 的自然数 x 共有几个？这里x表示不超过 x 的最大整数， 例如-5.6=-6，3=3 6设 P 是ABC 内一点求：P 到ABC 三顶点的距离和与三角形周长之比的 取值范围 7甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行 24 千米，甲经过 9
11、小时到东站，乙经过 16 小时到西站，求两站距离 8黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减 1，这 样继续下去，最后得到 19，1997，1999，问原来的三个数能否是 2，2，2？ 9设有 n 个实数 x1，x 2，x n，其中每一个不是+1 就是-1，且 求证：n 是 4 的倍数 解答： 1化简得 6(a-1)x=3-6b+4ab，当 a1 时， 2将原方程变形为 培智教育 11 由此可解得 x=ab+c 3当 x=1 时，(8-6+4-7) 3(2-1)2=1即所求展开式中各项系数之和为 1 依题意得 去分母、化简得 7x2-300x+800=0，即 7x-20)(
12、x-40)=0， 5若 n 为整数，有nx=nx，所以-1.77x=-2x0.23x=- 2x+0.23x 由已知-1.77x=-2x，所以-2x=-2x+0.23x， 所以 0.23x=0 又因为 x 为自然数，所以 00.23x1，经试验，可知 x 可取 1，2，3，4，共 4 个 6如图 1105 所示在PBC 中有 BCPBPC， 延长 BP 交 AC 于 D易证 PBPCABAC 由， BCPBPCAB+AC， 同理 ACPAPCACBC， ABPAPBACAB 得 ABBCCA2(PAPBPC)2(ABBCCA) 所以 7设甲步行速度为 x 千米/小时，乙步行速度为 y 千米/小时
13、，则所求距离 为(9x+16y)千 培智教育 12 米依题意得 由得 16y2=9x2， 由得 16y=249x，将之代入得 即 (249x) 2=(12x)2解之得 于是 所以两站距离为 98166=168(千米) 8答案是否定的对于 2，2，2，首先变为 2，2，3，其中两个偶数，一 个奇数以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇 偶性不变)，所以，不可能变为 19，1997，1999 这三个奇数 。 又因为 所以，k 是偶数，从而 n 是 4 的倍数 培智教育 13 初一奥数题四 1已知 a，b，c，d 都是正数，并且 ada，cdb 求证：acbdab 2已知甲种
14、商品的原价是乙种商品原价的 1.5 倍因市场变化，乙种商品提价 的百分数是甲种商品降价的百分数的 2 倍调价后，甲乙两种商品单价之和比 原单价之和提高了 2，求乙种商品提价的百分数 3在锐角三角形 ABC 中，三个内角都是质数求三角形的三个内角 4某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产 1000 台， 那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总 产量的一半，求原计划每年各生产多少台？ z=x+y+y+1+x-2y+4， 求 z 的最大值与最小值 8从 1 到 500 的自然数中，有多少个数出现 1 或 5？ 9从 19，20，21，98 这 80
15、个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶 数的选法有多少种？ 解答： 1由对称性，不妨设 ba，则 acbdacad=a(cd)ab 2设乙种商品原单价为 x 元，则甲种商品的原单价为 1.5x 元设甲商品 降价 y，则乙商品提价 2y依题意有 1.5x(1-y)+x(12y)=(1.5xx) (12)， 化简得 1.5-1.5y+1+2y=2.51.02 所以 y=0.1=10， 所以甲种商品降价 10，乙种商品提价 20 3因为A+BC=180，所以A，B，C 中必有偶数唯一的偶 质数为 2，所以C=2所以A+B=178由于需A，B 为奇质数，这 样的解不唯一，如 培智教育 14 4设每年
16、增产 d 千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为 a- d，a，ad 依题意有 解之得 所以三年产量分别是 4 千台、6 千台、8 千台 不等式组： 所以 x2； 无解 培智教育 15 6设原式为 S，则 所以 又 0.112-0.001=0.111 因为 所以 =0.105 7由x1，y1 得 -1x1，-1y1 所以 y10，x-2y+4-1-21+4=10 所以 z=x+y+(y+1)+(x-2y+4)=x+yx-y5 (1)当 x+y+0 时，z=-(x+y)x-y+5=5-2y 培智教育 16 由-1y1 可推得 35-2y7，所以这时，z 的最小值为 3、最大值为 7 (2)当
17、x+y0 时，z=(xy)+(x-y+5)=2x+5 由-1x1 及可推得 32x+57，所以这时 z 的最小值为 3、最大值为 7 由(1)，(2)知，z 的最小值为 3，最大值为 7 8百位上数字只是 1 的数有 100，101，199 共 100 个数；十位上数字 是 1 或 5 的(其百位上不为 1)有 2310=60(个)个位上出现 1 或 5 的(其百 位和十位上都不是 1 或 5)有 238=48(个)再加上 500 这个数，所以，满足 题意的数共有 100+60+48+1=209(个) 9从 19 到 98 共计 80 个不同的整数，其中有 40 个奇数，40 个偶数第 一个数
18、可以任选，有 80 种选法第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他的 39 个偶数中选取，有 39 种选法同理，第一个数如果是奇数，第二个数也有 39 种选法，但第一个数为 a，第二个为 b 与第一个为 b，第二个为 a 是同一种 选法，所以总的选法应该折半，即共有 种选法 培智教育 17 初一奥数题五 1一项任务，若每天超额 2 件，可提前计划 3 天完工，若每天超额 4 件， 可提前 5 天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间 2已知两列数 2，5，8，11，14，17，2(200-1)3， 5，9，13，17，21，25，5(200-1)4， 它们都有 200 项，问这两列数中相同的
19、项数有多少项？ 3求 x3-3px2q 能被 x22axa 2整除的条件 4证明不等式 5若两个三角形有一个角对应相等求证：这两个三角形的面积之比等于 夹此角的两边乘积之比 6已知(x-1) 2除多项式 x4ax 3-3x2bx3 所得的余式是 x+1，试求 a，b 的值 7今有长度分别为 1，2，3，9 的线段各一条，可用多少种不同方法， 从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？ 8平面上有 10 条直线，其中 4 条是互相平行的问：这 10 条直线最多能 把平面分成多少部分？ 9边长为整数，周长为 15 的三角形有多少个？ 解答： 1设每天计划完成 x 件，计划完工用的时间为 y 天，则总
20、件数为 xy 件依题意得 解之得 总件数 xy=815=120(件)，即计划用 15 天完工，工作的件数为 120 件 培智教育 18 2第一列数中第 n 项表示为 2(n-1)3，第二列数中第 m 项表示为 5(m-1)4要使 2(n-1)35+(m-1)4 所以 因为 1n200，所以 所以 m=1，4，7，10，148 共 50 项 3 x3-3px+2q 被 x22axa 2除的余式为 3(a2-p)x2(qa 3)， 所以所求的条件应为 4令 因为 所以 培智教育 19 5如图 1-106(a)，(b)所示ABC 与FDE 中， A=D现将DEF 移至ABC 中，使A 与D 重合，D
21、E=AE，DF=AF，连 结 FB此时，AEF的面积等于三角形 DEF 的面积 得 6不妨设商式为 x2+x由已知有 x 4ax 3-3x2bx3 =(x-1) 2(x2+x)+(x1) =(x 2-2x1)(x 2 x)x1 =x 4+(-2)x 3+(1-2)x 2(1-2)x+1 比较等号两端同次项的系数，应该有 培智教育 20 只须解出 所以 a=1，b=0 即为所求 7因为 所以正方形的边长11 下面按正方形边的长度分类枚举： (1)边长为 11：92=8+3=74=6+5， 可得 1 种选法 (2)边长为 10：91=82=73=6+4， 可得 1 种选法 (3)边长为 9：9=8
22、+1=7+2=6+3=5+4， 可得 5 种选法 (4)边长为 8：8=7+1=6+2=5+3， 可得 1 种选法 (5)边长为 7：7=6+1=52=43， 可得 1 种选法 (6)边长6 时，无法选择 综上所述，共有 1+1+5+1+1=9 种选法组成正方形 8先看 6 条不平行的直线，它们最多将平面分成 2+23+4+56=22 个部分 现在加入平行线加入第 1 条平行线，它与前面的 6 条直线最多有 6 个交 点，它被分成 7 段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了 7 个部分加入 第 2，第 3 和第 4 条平行线也是如此，即每加入一条平行线，最多增加 7 个部 培智教育 21 分因此，这些直最多将平面分成 22+74=50 个部分 9不妨设三角形的三边长 a，b，c 满足 abc由 bca，abc=15，abc 可得，15=a(bc)2a，所以 a7又 15=a+bc3a，故 a5于是 a=5，6，7当 a=5 时，bc=10，故 b=c=5； 当 a=b 时，bc=9于是 b=6，c=3，或 b=5，c=4；当 a=7 时，b+c=8，于是 b=7，c=1，或 b=6，c=2，或 b=5，c=3，或 b=4，c=4 所以，满足题意的三角形共有 7 个
