1、数科三班 马萍 201211131910 阶梯教室座位设计问题 摘要 本文研究的是阶梯教室座位设计问题，座位的满意程度主要取决于 视角 和仰角 。视角 是学生眼睛到黑板上、下边缘的夹角， 越大越好；仰角 是学生眼睛到黑板上边缘视线与水平线的夹 角， 太大使人的头部过分上仰，引不舒适感，一般要求不超过 30 度。而对于本题中的问题一、问题二和问题三则需要实际情况，分 侧重点考虑视角 和仰角 的影响。对问题一，在地板线倾角给 定的情况下建立仰角 与某个学生到阶梯教室黑板水平距离的函数， 在 =30 度的情况下，求的最佳座位。对于问题二，在 =30 度时， 通过求解多组 值所对应的最佳座位位置，发现
2、最佳座位位置在一 个固定位置附近摆动，并且此固定位置距离首排座位较近，在此距 离中的学生满意程度随 的增大而逐渐增大，所以所有学生的平均 满意程度主要取决于视角 的值。仅对视角 进行讨论，得出结 果。问题三在问题二的基础上做进一步的改进，通过分析得知在问 题二中的固定位置之前的学生迫切要求其座位再高一些，所以可以 让他们的座位从前往后竖直方向变化的速度大于水平方向的速度； 而固定位置之后的学生要求座位靠前一些，所以可以让他们的座位 水平方向的变化速度大于竖直方向的速度。而固定位置附近的坡度 变化缓慢，综合得出进一步提高学生满意程度的方案 关键字 阶梯教室座位设计 最佳位置 平均满意程度 问题的
3、重述 下图为阶梯教室的剖面示意图，座位的满意程度主 要取决于视角 和仰角 。视角 是学生眼睛到黑板上、下边缘 视线的夹角， 越大越好；仰角 是学生眼睛到黑板上边缘视线 与水平线的夹角， 太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一 般要求 不超过 30o。 设阶梯教室黑板高 h, 上边缘距地面高 H， 地板线倾角 ，第一排和最后一排座位与黑板水平距离分别为 d 和 D, 学生平均坐高为 c（指眼睛到地面的距离） 。已知参数 h=1.8， H=5，d=4.5 ，D=19， c=1.1（单位：m ） 。(如图所示) (1) 地板线倾角 10 o，问最佳座位在什么地方。 (2) 求地板线倾角 （一般不超
4、过 20o） ，使所有学生的平均满意程 度最大。 (3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高学生的满意程度 模型的假设 1、假设学生可以按照比例近似为一段线段 2、假设设计过程中没有学生数额要求 3、假设阶梯教室的地面是水平的； 符号的说明 H黑板上边缘到地面的距离。 D-最后一排到黑板的水平距离 h-黑板的高度 c-学生平均座高 d-第一排到黑板的水平距离 -学生眼睛与黑板上下边缘的夹角 -学生眼睛到黑板上边缘视线与水平线的夹角 -地板线倾角 m-学生脚底到水平线的垂直距离 M-任意一位学生的座位位置 A-黑板上边缘的位置点 B-黑板下边缘的位置点 O-学生座位到黑板的水平线与黑板所在竖直线
5、的交点 -学生座位到黑板的水平距离 问题的分析 问题一： 题中给出了地板线与水平面的具体夹角，要求求出最佳 座位。根据题中已知条件，算出首排学生的仰角位为 38.62 度，可 知在 给定的情况下，学生的最佳座位应该在 =30 度的位置上。 为此要找到 与某一变量的函数关系式，求此关系式函数所对应的 图像，如图一，进一步说明了这一点。具体找关系式是在题中所给 的图中可以看出 在一个三角形中。因此我们用余弦定理找出角度 与每个边的关系。题目要求最佳座位，我们设学生与黑板之间.的 水平距离 ，运用简单的几何关系，我们得出了 与 的函数关 系式。最终得出 的最大值，即找出最佳座位。 图一 问题二： 在
6、问题二中，要求解出一个 值，使得所有的学生的平 均满意程度最大。在第一题的结果中，我们知道，随着 的增大， 的值单调递增，且 为一锐 角，则 的值逐渐减小。同样由第一 问可知 的值在整个过程中是逐渐减小的，在计算的过程中，随着 的变化，最佳位置总在某一点附近摆动，在 =30 度时，取定此位 置，在此位置右侧 =30 度，最佳位置只受 的影响，左侧同时 受 和 的影响，但随着 值从 0 度到 20 度变化， 逐渐变大， 逐渐减小，并考虑到此点距首位置较近，因此可以忽略 的影 响，从全局考虑 的影响即可。又由于首座位的 值固定，故末 位置 值取得最大值即可求得此时 角的大小，列出末位置 cos 的
7、函数关系，用 EXCEL 处理，由函数图像求得所求 值。 问题的求解: 在 =30 度时，由公式： TAN30=5-(X-4.5)*TAN+1.1/X 求得: =5时，=6.432 ； =10时，=6.225； =15时，=6.020； =20时，=5.820； 取其平均值得 X=6.123； 模型的建立与求解 问题一： 在阶梯教室座位设计问题上，根据题中给出的简易的平 面几何图（如下图图二） ，加之在问题一的分析的基础上，我们将此 问题归结为在几何图中求 最大值的问题。而最大值对应的位置 ，即是最佳座位位置。为此我们在题中的图中做了标点、找到 与 的关系式。 （如下图图二） 图二 由图二的几
8、何关系得出 m=4.5 tan10 ，OA=3.9-m， OB=|m-2.1|。 在ABM 中 AM= 3.9m BM= 2.1-m , 故用余弦定理得 cos= 23.9 m2.1-m1.8 23.9m 2.1-m 运用 Excel 软件得出 cos 与 的关系做出了 cos 与 图像，即 图一。根据图像得出 是根据 的增大而减小的，由此知道 的 最大值在 =30 处取得。根据 值求的最佳座位 的值即为 6.225m。 问题二： 由上图图二可得 ： OA=3.9-14.5*TAN; OB=14.5*TAN-2.1; AM=SQRT(192+(3.9-14.5*TAN)2); BM=SQRT(
9、192+(14.5*TAN-2.1)2); AB=1.8; 综上可求的得： COS=2*19 2+(3.9-14.5*TAN) 2+(14.5*TAN - 2.1)2-1.82/2*SQRT(192+(3.9-14.5*TAN) 2)*SQRT(192+(14.5*TAN- 2.1)2); 由 EXCEL 软件，得出图三，如下 图三 由图经过计算，可得 最佳大小约为 12.1 度。 问题三： 问题三要求设计地板线的形状，进一步提高学生的满意 程度，可在问题二的基础上进一步设计地板线形状，进而提高学生 的满意程度。由问题二可知，同一 角时，在 X=6.123 附近的学生 满意程度最佳，在其左侧的
10、学生渴望更高一些，而右侧的学生则渴 望离黑板更近一些，在附近位置的座位变化须尽量小。 问题上的求 解 有分析可知，在 x=6.123 左侧的座位变化需满足：竖直方向的 变化大于水平方向的变化，则其形状应呈现凸行增长；而在 x=6.123 右侧的座位变化需满足：竖直方向的变化小于水平方向的变化，则 其形状应呈现凹形增长。 综合以上分析。地板线应设计成下图形 状，可进一步提高学生满意程度: 模型的评价与改进 本次模型的建立较好的解决了影院观众的座位问题，使得观众的满 意程度尽可能达到最佳程度。通过运用数学几何知识及 Excel 处理， 把理论与实际结合，使实际问题得以解决。可以推广到教室座位的 安排，会场座位安排等等，有一定意义的实用价值。
