1、九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 1 书 香 浸 润， 励 志 成 长！ 第一单元 位置 1、 用数对确定点的位置，如（3，5）表示：（第三列，第五行） 几 列 几 行 竖排叫列 横排叫行 （从左往右看） （从前往后看） 2、 平移时用“上” 、 “下” 、 “前” 、 “后” 、 “左” 、 “右”来表述。 3、 图形左、右平移： 行不变 图形上、下平移： 列不变 第二单元 分数乘法 一、分数乘法 （一）分数乘法的意义： 1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。 例如： 5 表示求 5 个 的和是多少？9898 2、分数乘分数是求一个数的几分之几是
2、多少。 例如： 表示求 的 是多少？4343 （二）、分数乘法的计算法则： 1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 2 （三） 、规律：（乘法中比较大小时） 一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。 一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外），积小于这个数。 一个数（0 除外）乘 1，积等于这个数。 （四） 、分数混合运算的
3、运算顺序和整数的运算顺序相同。 （五） 、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 乘法交换律： a b = b a 乘法结合律： ( a b )c = a ( b c ) 乘法分配律： （ a + b ）c = a c + b c 二、分数乘法的解决问题 （已知单位“1”的量（用乘法） ，求单位“1”的几分之几是多少） 1、画线段图： （1）两个量的关系：画两条线段图； （2）部分和整体的关系：画一条线段图。 2、找单位“1”： 在分率句中 分率的前面； 或 “占” 、 “是” 、 “比”的后 面 3、求一个数的几倍： 一个数几倍； 求一个数的几分之几是多少： 一个数 。几
4、几 4、写数量关系式技巧： （1） “的” 相当于 “” “占” 、 “是” 、 “比”相当于“ = ” （2）分率前是“的”： 单位“1”的量分率=分率对应量 （3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量（1 分率）=分率对应量 三、倒数 1、倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数。 九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 3 强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。 （要说清谁是谁的倒数） 。 2、求倒数的方法： （1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。 （2）、求整数的倒数：把整数看做分母是 1 的分数，再交换分子分母的位置。 （3）、求带
5、分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。 （4）、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。 3、1 的倒数是 1； 0 没有倒数。 因为 11=1；0 乘任何数都得 0， （分母不能为1 0） 4、 对于任意数 ，它的倒数为 ；非零整数 的倒数为 ；分数 的倒数是 ； ()a1aaba 5、真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1。 第三单元 分数除法 一、 分数除法 1、分数除法的意义： 乘法： 因数 因数 = 积 除法： 积 一个因数 = 另一个因数 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数 的运算。 2、分数除法的计
6、算法则： 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 3、规律（分数除法比较大小时）： （1） 、当除数大于 1，商小于被除数； 九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 4 （2） 、当除数小于 1（不等于 0） ，商大于被除数； （3） 、当除数等于 1，商等于被除数。 4、 “ ”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。 二、分数除法解决问题 （未知单位“1”的量（用除法）： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1” 的量。 ） 1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同： （1）分率前是“的”： 单位“1”的量分率=分
7、率对应量 （2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量（1 分率）=分率对应量 2、解法：（建议：最好用方程解答） （1）方程： 根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。 （2）算术（用除法）： 分率对应量对应分率 = 单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数另一个数 4、求一个数比另一个数多（少）几分之几： 两个数的相差量单位“1”的量 或： 求多几分之几：大数小数 1 求少几分之几： 1 - 小数大数 三、比和比的应用 （一）、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项 九
8、 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 5 除以后项所得的商，叫做比值。 例如 15 ：10 = 1510= （比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）23 前项 比号 后项 比值 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新 量。例： 路程速度=时间。 4、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 6、 比和除法、分数的联系： 比 前 项 比号“：” 后 项 比值 除 法 被除数 除号“” 除 数
9、商 分 数 分 子 分数线“ ” 分 母 分数值 7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0。 体育比赛中出现两队的分是 2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。 （二） 、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外） ，商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外） ，分数值不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，
10、并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 6 4.化简比： 用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 （1） 两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整 数比的方法来化简。 两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。 （2）用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。 如： 1510 = 1510 = = 3223 5按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。 如： 已知两个量之比为 ，则设这两个量分别为 。:abaxb和 6、路
11、程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是 4：5，时间比则为 5：4） 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。 （如：工作总量相同，工作时间比是 3：2，工作效率比则是 2：3） 第四单元 圆 一、 认识圆 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示。 直径是一个
12、圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相 等。 依 据 比 的 基 本 性 质： 九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 7 7在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的 。21 用字母表示为：d2r 或 r d 8、轴对称图形： 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做对称轴。 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有 1 一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等
13、腰梯形、扇形、半圆。 只有 2 条对称轴的图形是： 长方形 只有 3 条对称轴的图形是： 等边三角形 只有 4 条对称轴的图形是： 正方形; 有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。 二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。 2、圆周率实验： 在圆形纸片上做个记号，与直尺 0 刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。 发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（）。 3圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。 用字母 （pai） 表示。 （1）、一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。 圆周
14、率 是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 3.14。 （2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是 倍，而不是 3.14 倍。 （3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 4、圆的周长公式： C= d d = C 或 C=2 r r = C 2 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 8 6、区分周长的一半和半圆的周长： （1） 周长的一半：等于圆的周长2 计算方法：2 r 2 即 r （2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：r2r 即
15、5.14 r 三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母 S 表示。 2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心 角。 3、圆面积公式的推导： （1） 、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化 复杂为简单，化抽象为具体。 （2） 、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。 （3） 、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 因为： 长方形面积 = 长 宽 所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径 S 圆 = r r 圆
16、的面积公式： S 圆 = r 2 r2 = S 4、环形的面积： 一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r。（Rr环的宽度） S 环 = R 或 环形的面积公式： S 环 = （R）。 九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 9 5、扇形的面积计算公式： S 扇 = r 2 （n 表示扇形圆心角的度数）360 6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。 而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如： 在同一个圆里，半径扩大 3 倍，那么直径和周长就都扩大 3 倍，而面积扩大 9 倍。 7、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。
17、 例如： 两个圆的半径比是 23，那么这两个圆的直径比和周长比都是 23，而面积比是 49 8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4 9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。 反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。 10、确定起跑线： （1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。 （2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不 同） （3）、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2跑道的宽度 （4）、当一个圆的半径增加厘米时，它的周长就增加厘米；当一个圆的
18、直径增加 厘米时，它的周长就增加 厘米。 11、常用各 值结果： = 3.14 2 = 6.28 3 = 9.42 5 = 15.7 6 = 18.84 7 = 21.98 9 = 28.26 10 = 31.4 16 = 50.24 36 = 113.04 64 = 200.96 96 = 301.44 4 = 12.56 8 = 25.12 25 = 78.5 12、常用平方数结果 = 121 = 144 = 169 = 196 = 225 12123214252 = 256 = 289 = 324 = 3616789 九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 10 第五单元 百分数
19、 一、百分数的意义和写法 1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。 百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。 2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。 3、百分数和分数的主要联系与区别： （1） 联系：都可以表示两个量的倍比关系。 （2） 区别： 、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单 位； 分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。 、百分数的分子可以是整数，也可以是小数； 分数的分子不能是小数，只能是除 0 以外的自然数。 4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“”来表示。 二、百分
20、数和分数、小数的互化 （一）百分数与小数的互化： 1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。 （二）百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数： 九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 11 先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否 100 的分数，能约分要约成最简分数。 2、分数化成百分数： 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是 100 的分数，再写成百分数形式。 先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。 （三）常见的分数与小数、百分数之间的互化 = 0.5 =
21、 50% = 0.2 = 20% = 0.625 = 62.5% 21 5185 = 0.25 = 25% = 0.4 = 40% = 0.125 = 12.5% 4 21 = 0.75 = 75% = 0.6 = 60% = 1.375 = 37.5% 3 5383 = 0.0625 = 6.25% = 0.8 = 80% = 0.875 = 87.5%1647 = 0.04 = 4 = 0.08 = 8 = 0.12 = 12 = 0.16 = 16 2525253254 三、用百分数解决问题 （一）一般应用题 1、常见的百分率的计算方法： 合格率 = 发芽率 = %10产 品 总 数合
22、格 产 品 数 %10种 子 总 数发 芽 种 子 数 出勤率 = 达标率 = 总 人 数出 勤 人 数 学 生 总 人 数达 标 学 生 人 数 成活率 = 出粉率 = 10总 数 量成 活 的 数 量 10出 粉 物 的 重 量粉 的 重 量 烘干率 = 含水率 = %烘 干 前 的 重 量烘 干 后 的 重 量 %烘 干 前 的 重 量烘 干 后 的 重 量烘 干 前 的 重 量 九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 12 一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率达不到 100%，完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。（一般出粉率在 70、
23、80%，出油率在 30、40%。） 2、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题： 数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同： （1）分率前是“的”： 单位“1”的量分率=分率对应量 （2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量（1 分率）=分率对应量 3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。 解法：（建议：最好用方程解答） （1）方程： 根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。 （2）算术（用除法）： 分率对应量对应分率 = 单位“1”的量 4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题： 两个数的相差量单位“1”的量 1
24、00% 或： 求多百分之几：（大数小数 1） 100% 求少百分之几：（ 1 - 小数大数） 100% （二）、折扣 1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通称“打折” 。 几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如八折= =80,六折五=0.65=65108 2、 一成是十分之一，也就是 10%。三成五就是十分之三点五，也就是 35% （三） 、纳税 1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴 纳给国家。 2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、 教育、文化和国防安全等事业。 3、应纳税额：缴纳的税款
25、叫做应纳税额。 九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 13 4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。 5、应纳税额的计算方法：应纳税额 = 总收入 税率 （四）利息 1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。 2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支 援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。 3、本金：存入银行的钱叫做本金。 4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。 5、利率：利息与本金的比值叫做利率。 6、利息的计算公式：利息本金利率时间 7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则： 税后利息=利息
26、-利息的应纳税额=利息-利息利息税率=利息（1-利息税率） 第六单元 统计 一、扇形统计图的意义： 用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。 也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。 二、常用统计图的优点： 1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。 2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。 3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。 三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角 越大，扇形越大。 （因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占 九 龙 小 学 六 年 级 数 学 教 研 组 14 圆周角度数的百分比。 ） 第七单元 数学广角 一、 “鸡兔同笼”问题的特点： 题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。 二、 “鸡兔同笼”问题的解题方法 1、猜测法 2、假设法 （1） 假如都是兔 （2） 假如都是鸡 （3） 古人“抬脚法”： 解答思路： 假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成 了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就少了一半。这种思维方法叫化归法。关系式： 鸡兔总脚数2-鸡兔总数 = 兔的只数； 鸡兔总数 - 兔的只数 = 鸡的只数。 3、列方程法
