1、数列中蕴涵的数学思想 数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。 数学思想与数学知识的形成过程同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习理解和应用过程，是学生形成 数学能力的必由之路。而数列知识中蕴涵着丰富的数学思想。 一、 函数与方程思想 例 1、在等差数列 中，已知 ， ，那么 = 。na10S10S 解法 1：设数列 的公差为 d，则 解得n 102910daS 9501ad 2190110 aS 评析：方程思想突出研究已知量与未知量间的等量关系，通过列方程（组）达到求值的目的。本题 利用等差数列的性质： 来列方程组求解，思路简洁、明晰，体现了方程的
2、思想。dnn1 解法 2：由于 为等差数列，故前 项和： 。na ndanS2120 令 ， ，则： 。此时可视 为 的二次函数。由题意得：dbd1 banS2n 解得：01021baS 10b 则 nn2 1001021 S 评析：函数思想贯穿于高中代数的全部内容，在研究数列时，函数与方程思想起着十分重要的作用。 本题利用等差数列的求和公式： ，在 时，可视 是关ndandnaSn 22121 nS 于 的二次函数，从而利用方程组来求解。这就是函数思想的体现。n 例 2、已知数列 ，其中 ，且数列 为等比数列，求常数 。ncnn3npc1 p 解：因为 是等比数列，p1 所以 （ 为公比）即
3、 qcnn12 nnnpcqpc112 所以 nqp33323112 整理得 0232311 nnnn pqqpqp 即 对于一切自然数都成立。49 而 ， ，n30n2 所以 解得 或 所以 或 。94pq23pq2p3 评析：此题从数列与方程的交汇处着手，根据等比数列的定义，得出一个关于自然数的恒等式，进 而列方程组求解。这其中蕴涵着函数和方程的思想。 二、 数形结合思想 例 1、设等差数列 中， 为前 项的和，且 ，求 。nanSqpSqpS 分析：等差数列的前 项和公式为 。当 时， 是 的二次函数。设ndan2120n ，又 ，故对称轴为 。由二次函数对称性知：bnafSn2qpSq
4、p 。0fqpqp 评析：数形结合就是使函数解析式与函数图象、方程与曲线建立起一一对应关系，使数量关系与图 形性质相互转化。本题借助二次函数的对称性，利用数形结合思想使数列问题更直观、明了。 例 2、在数列 中， 。问 为何值时， 取得最大值和最小值？na87nNnna 解： ，187n 设函数 ，其图xf 象如图所示： 则满足 的 和 的值87nana 为函数 图象上的点。易知 最小， 最大。xfy23 评析：数形结合就是“数”与“形”的相互转化，但解决过程中往往偏重于由“数”到“形”的转 化。 三、 分类讨论思想 例 1、已知等比数列的前 项之和为 ，前 项之和为 ，公比 。令 ，求nnS
5、11nSq01nSTy xO 81 。nTlim 解：当 时， ， 。1q1naS1limlinT 当 时， qn11nnqS 若 时， ；若 时， 。0q11limnTqTnnlimli 综上， 101liqn 评析：分类讨论经常运用于含字母系数的数学问题，要注意正确进行分类，选取恰当的标准，进行 不重不漏的划分。本题中等比数列的前 项和 要分 和 两种情况分别讨论。nnS1q 例 2、已知数列 满足 （ ， ， ） ，且首项为 ，求通项 。naBAa1N0AB1an 解：当 时， 1Ann1 （1）AkBakaknnn1 令 ，则 即 AB11 由（1）得： kan 是以 为首项，公比为
6、的等比数列。11ABaA 故 1ABann 当 时， ，即 ，则 是等差数列，故 。n1 Ban1n Bnan1 综上，当 时， ；当 时， 。1Aan 1n1 评析：本题中容易误认为 ，从而忽视对 是否为 1 的讨论。解题中要注意讨论的分类标准和分A 类的完整。 四、 化归与转化思想 例 1、等差数列前 项和为 30，前 项和为 100，则它的前 项和为（ ） 。nn2n3 （A）130 （B）170 （C）210 （D）260 解：令 ，则 ， 。故 ，则公差 。 301aS10212aS702a40d 故选（C）项。4073a 3 评析：化归与转化思想是指在解决数学问题时，采用某种手段将
7、问题通过变换使之转化，从而使问 题得到解决。其特点在于灵活性和多样性，常用变换方法有一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转 化、命题的等价转化等。由于本题是选择题，因此可利用化归思想中从一般到特殊的思想。对 进行赋n 值，令 ，较易得出答案，使解法简单化。1n 例 2、定义：若数列 对任意 ，满足 （ 为常数） 。则称数列 为等差naNkan12 na 比数列。 （1）若数列 的前 项和 满足 ，求 的通项公式，并判断该数列是否为nnS 等差比数列；（2）若数列 为等差数列，试判断 是否一定为等差比数列，并说明理由；（3）试an 写出一个等差比数列的通项公式，使此数列既不是等差数列，也不是等比
8、数列。 解：（1）当 时， ， （1）2n1nS ， （2）1naS （1）-（2）得 ，所以 ，即 。12nna1nna12na 又 ，所以 ， 。1N 任给 ， ，故数列 为等差比数列。Nn21212nnana （2）设等差数列 的公差为 ，则 。ddann12 当 时， （1 为常数） 。从而数列 是等差比数列。0d12an na 当 时，即数列 是常数列时，不是等差比数列。 （3）通项如 形式的数列，如 ，不是等差数列，也不是等比bqn0132nna 数列，但 为常数，是等差比数列。31232112 nnna 评析：本题把一个新定义的数列问题，通过分析、类比，转化为等差（比）数列，把未
9、知转化为 已学、已知，体现了化归这一基本思想。 五、 特殊与一般思想 例 1、已知数列 中， ，且 ， ，其中na1kka12ka321 =1，2，3， 。 （）求 ， ；（）求 的通项公式。k35n 解：（） （1）kk12 令 ，有：1k 02a （2）kka32 令 ，有： 312 同样，对递推式（1） ，令 ，有： ；k413234a 对递推式（2） ，令 ，有： 。95 （）将（1）式代入（2）式，得： kkk12 又 11321kka 225kk 1313a 将以上各式相加得： 332112 kkk 21kkk31k 将上式代入递推式（1）得： 1232kka 因此 的通项公式为：
10、na 当 为奇数时， ；当 为偶数时， 。1231nn 123nna 评析：本题在由 求 、 、 、 时，将所给递推式中的字母 赋以特殊值 1 和 2 分别计算，1a234a5 k 体现了由一般到特殊的过程；在求几个特殊项的过程中，观察其规律，找到数列递推关系式的特点，从 而找到解题思路和方法，这就是由特殊到一般的思维飞跃。 六、有限与无限思想 例 1、已知 是各项为正数的等差数列， 、 、 成等差数列又 ，na1lga2l4lga21nba ,23n () 证明 为等比数列；nb () 如果无穷等比数列 各项的和 ，求数列 的首项 和公差 nb13Sna1d (注：无穷数列各项的和即当 时数
11、列前 项和的极限) 解：（）设数列a n的公差为 d，依题意，由 得214lglg214a 即 ，得 因)3()(121ada0ad或 12nbn 当 =0 时，a n为正的常数列 就有 12nb 当 = 时， ,就有d1a 1112 )(,)( aannn 12nabn 于是数列 是公比为 1 或 的等比数列nb （）如果无穷等比数列 的公比 =1，则当 时其前 项和的极限不存在。nbqn 因而 = 0，这时公比 = ， d1a21d 这样 的前 项和为nb ()nnS 则 S= 1()12limlinndd 由 ，得公差 =3，首项 = =33S1a 评析：有限与无限思想经常是在考查其它数学思想和方法的同时进行考查，如在由特殊到一般的归 纳思想和用数学归纳法证明时，都体现了有限与无限思想。本题是在考查极限概念和四则运算时，体现 了有限与无限思想。随着高中课程的改革，这种思想的体现和运用必将随着新增内容而得到不断加强， 应该引起我们的重视。
