1、第 1 页 共 16 页 第三章 直线与方程 【典型例题】 题型 一 求直线的倾斜角与斜率 设直线 斜率为 且 则倾斜角 的取值范围 lk1k 拓展 一 三点共线问题 例 已知三点 A(a，2) 、B(3，7)、C(-2，-9 a)在一条直线上，求实数 a 的值 例 已知三点 )在一条直线上，则0)(,0,()2, bb1 拓展 二 与参数有关问题 例 已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2)的直线 与线段 AB 始终有公共点，求直线 的l l 斜率 的取值范围.k 变式训练： 已知 两点，直线 过定点 且与线段 AB 相交，求直线 的斜率(2,3)(,
2、2)ABl(1,)Pl 的取值范围. k 拓展 三 利用斜率求最值 例 已知实数 、 满足 当 2 3 时，求 的最大值与最小值。xy28,xxy 第 2 页 共 16 页 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型 一 两条直线平行关系 例 1 已知直线 经过点 M（-3 ，0） 、N （-15 ，-6） ， 经过点 R（-2， ） 、S（0， ） ，试1l 2l3252 判断 与 是否平行？l2 变式训练：经过点 和 的直线平行于斜率等于 1 的直线，则 的值是（ (2,)Pm(,4)Qm ）. A4 B1 C1 或 3 D1 或 4 题型 二 两条直线垂直关系 例 2
3、已知 的顶点 ，其垂心为 ，求顶点 的坐标ABC(2,1)6,3)(3,2)HA 变式训练：（1） 的倾斜角为 45， 经过点 P（-2，-1） 、Q（3，-6） ，问 与 是否垂直？1l2l 1l2 （2）直线 的斜率是方程 的两根，则 的位置关系是 .12,l2310x12l与 题型 三 根据直线的位置关系求参数 例 3 已知直线 经过点 A(3,a)、B （a-2,-3）,直线 经过点 C（2，3） 、D（-1，a-2 ）,1l 2l （1）如果 / ，则求 a 的值；（2）如果 ，则求 a 的值2 1 第 3 页 共 16 页 题型 四 直线平行和垂直的判定综合运用 例 4 四边形 A
4、BCD 的顶点为 、 、 、 ，试判断四(2,)A(2,)B(0,2)C(4,2)D 边形 ABCD 的形状. 变式训练：已知 A（1，1） ，B（2，2） ，C （3，-3 ） ，求点 D，使直线 CDAB，且 CBAD 探点 一 数形结合思想 例 5 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. （1）证明：点 C、D 和原点 O 在同一直线上. （2）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的 坐标. 探点 二 分类讨论思想 例 6 的顶点 ，若 为直角三角形，求 m 的值
5、.ABC(5,1)(,2,)BCmABC 第 4 页 共 16 页 3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 【典型例题】 题型 一 求直线的方程 例 1 写出下列点斜式直线方程： （1）经过点 ，斜率是 4；（2）经过点 ，(2,5)A(3,1)B 倾斜角是 .30 例 2 倾斜角是 ，在 轴上的截距是 3 的直线方程是 .135y 变式训练： 1. 已知直线 l 过点 ，它的倾斜角是直线 的两倍，则直线 l 的方程为(3,4)P1yx 2. 已知直线 在 轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6，求直线ly 的方程.l 第 5 页 共 16 页 3.将直线 绕它上面一
6、点（1， ）沿逆时针方向旋转 15，得到的直线方程是 .3yx3 题型 二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题 例 3 已知直线 的方程为 的方程为 ，直线 与 平行且与1l 23,yxl42yxl1 在 轴上的截距相同，求直线 的方程。2ly 探究 一 直线恒过定点或者象限问题 例 4. 已知直线 .31ykx （1）求直线恒经过的定点； （2）当 时，直线上的点都在 轴上方，求实数 的取值范围.xk 探究 二 直线平移 例 5 已知直线 l：y=2x-3 ，将直线 l 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 4 个单位后得到 的直线方程为_ 第 6 页 共 16 页 3.2.2 直线的两点式
7、方程 【知识点归纳】 1.直线的两点式方程： 2.直线的截距式方程： 【典型例题】 题型 一 求直线方程 例 1 已知 顶点为 ，求过点 且将 面积平分的直线方ABC(2,8)4,0)(6,BCBAC 程. 变式训练： 1.已知点 A（1，2） 、B（3，1） ，则线段 AB 的垂直平分线的方程是（ ）. A B C D45xy425xy25xy25xy 2.已知 ，则过点 的直线 的方程是（ ）.12,1(,)(,)ABl A. B. C. D. 303430 例 2 求过点 ，并且在两轴上的截距相等的直线方程.(3,)P 变式训练：已知直线 l 过点（ 3，-1） ，且与两轴围成一个等腰直
8、角三角形，则 l 的方程为 题型 二 直线方程的应用 例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买 行李票，行李费用 y（元）是行李重量 x（千克）的一次函数，其图象如图所示. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并说明自变量 x 的取值范围； （2）如果某旅客携带了 75 千克的行李，则应当购买多少元行李票？ o y x 6 10 6080 第 7 页 共 16 页 探究 一 直线与坐标轴围成的周长及面积 例 4 已知直线 过点 ，且与两坐标轴构成面积为 4 的三角形，求直线 的方程l(2,3) l 探究 二 有关光的反射 例 5 光线从点 A（3，
9、4）发出，经过 x 轴反射，再经过 y 轴反射，光线经过点 B（2，6） ，求射入 y 轴后的反射线的方程. 变式训练：已知点 、 ，点 P 是 x 轴上的点，求当 最小时的点 P 的(3,8)A(2,)BAPB 坐标 第 8 页 共 16 页 3.2.3 直线的一般式方程 【知识点归纳】 1直线的一般式： 2直线平行与垂直的条件： 【典型例题】 题型 一 灵活选用不同形式求直线方程 例 1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： （1）斜率是 ，经过点 A（8，2） ； （2）经过点 B(4，2)，平行于 轴；12 x （3）在 轴和 轴上的截距分别是 ,3； （4）经过两点 （3，
10、2） 、xy 1P （5，4）.2P 题型 二 直线不同形式之间的转化 例 2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点 .(5,6)(4,8)AB 题型 三 直线一般式方程的性质 例 3 直线方程 的系数 A、B、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下0AxBy 性质? （1）与两条坐标轴都相交；（2）只与 x 轴相交；（3）只与 y 轴相交；（4）是 x 轴 所在直线；（5）是 y 轴所在直线. 第 9 页 共 16 页 变式训练：已知直线 。:530laxy （1）求证：不论 为何值，直线 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，l 求 的取值范围。a 题型 四 运
11、用直线平行垂直求参数 例 4 已知直线 ： ， ： ，问 m 为何值时：1l20xmy2l10mxy （1） ； （2） .21/l 变式训练：（1）求经过点 且与直线 平行的直线方程；(3,2)A420xy （2）求经过点 且与直线 垂直的直线方程.,0B5 题型 五 综合运用 例 5 已知直线 ， ，求 m 的值，使得：1:60lxmy2:()320lxy （1）l 1 和 l2 相交；（2）l 1l 2；（3）l 1/l2；（4）l 1 和 l2 重合. 第 10 页 共 16 页 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 【知识点归纳】
12、1.两条直线的焦点坐标： 2.两点间的距离公式： 【典型例题】 题型 一 求直线的交点坐标 例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标. （1）直线 l1: 2x3y +10=0 , l2: 3x+4y2=0； （2）直线 l1: , l2: .1nxynyx 题型 二 三条直线交同一点 例 2 若三条直线 相交于一点，则 k 的值等于2380,120xyxykxy， 变式训练：1.设三条直线： 交于一点，求 k 的值21,3,45xykxy 2.试求直线 关于直线 : 对称的直线 l 的方程.1:l20xy2l30xy 第 11 页 共 16 页 题型 三 求过交点的直线问
13、题 例 3 求经过两条直线 和 的交点，且平行于直线 的280xy210xy4370xy 直线方程. 变式训练：已知直线 l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过 l1 和 l2 的交点，且与直线 l3: 3x- 2y+4=0 垂直的直线 l 的方程. 题型 四 两点间距离公式应用 例 4 已知点 且 ，则 a 的值为(2,1)(,3ABa|5A 变式训练： 在直线 上求一点 ，使它到点 的距离为，并求直线 的方程.20xyP(5,8)MPM 题型 五 三角形的判定 第 12 页 共 16 页 例 5 已知点 ，判断 的类型(1,2)3,4(5,0)ABCABC
14、探究 一 直线恒过定点问题 例 6 已知直线 . 求证：无论 a 为何值时直线总经过第一象限.(2)(31)ayx 变式训练：若直线 l：y kx 与直线 2x3y60 的交点位于第一象限，求直线 l 的倾 斜角的取值范围. 探究 二 利用对称性求最值问题（和最小，差最大） 例 7 直线 2xy 4=0 上有一点 P，求它与两定点 A(4，1)，B(3，4) 的距离之差的最大 值. 变式训练：已知 ，点 为直线 上的动点求 的最(1,0),)MN、 P210xy2PMN 第 13 页 共 16 页 小值，及取最小值时点 的坐标P 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 【
15、知识点归纳】 1.点到直线的距离： 2.两条平行间直线的距离： 拓展：点关于点、直线对称点的求法 【典型例题】 题型 一 利用点到直线距离求参数 例 1 已知点 到直线 的距离为 1，则 a=（ ）. (,2)0a:30lxy A B C D222 题型 二 利用点到直线距离求直线的方程 例 2 求过直线 和 的交点并且与原点相距为 1 的直线 l 的方程.110:3lyx2:30lxy 第 14 页 共 16 页 变式训练： 直线 l 过点 P(1，2) ，且 M(2，3)，N(4，5) 到 的距离相等，则直线 的方程是l l 题型 三 利用平行直线间的距离求参数 例 3 若两平行直线 和
16、之间的距离为 ，求 的值.3210xy60xayc2132ca 变式训练：两平行直线 间的距离是（ ）.512302450xyxy与 A. B. C. D. 21366 题型 四 利用平行直线间的距离求直线的方程 例 4 与直线 平行且与 的距离 2 的直线方程是:51260lxyl 题型 五 点、直线间的距离的综合运用 例 5 已知点 P 到两个定点 M（1，0） 、N （1，0）距离的比为 ，点 N 到直线 PM 的2 距离为 1求直线 PN 的方程 第 15 页 共 16 页 探究 一 与直线有关的对称问题 例 6 ABC 中， . 求A 的平分线 AD 所在直线的方程.(3,)2,)(7,1)ABC 变式训练：1.与直线 关于点（1，-1 ）对称的直线方程是2360xy 2求点 A（2，2）关于直线 的对称点坐标49 探究 二 与距离有关的最值问题 例 7 在函数 的图象上求一点 P，使 P 到直线 的距离最短，并求这个最短24yx 45yx 的距离. 变式训练：在直线 上求一点 P，使得：:310lxy 第 16 页 共 16 页 （1）P 到 A（ 4，1）和 B（0，4）的距离之差最大。 （2）P 到 A（ 4，1）和 C（3，4）的距离之和最小。
