1、第一章 数字信号处理概述 简答题： 1 在 A/D 变换之前和 D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤 波器，它们分别起什么作用？ 答：在 A/D 变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频 率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率 2 倍的条件。此滤波 器亦称为“抗混叠”滤波器。 在 D/A 变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输 出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理， 自己要增加一道采样的工序就可以了。 （ ） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数
2、字系统，然后 基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。 （ ） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全 等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方 法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中 有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处 理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T足够小，足以防止混叠效应） ，把从 的整个系统等效为一个模拟滤波器。)(tyx到 （a） 如果 ，求整个系统的截止
3、频率。kHzTradnh10,8)(截 止 于 （b） 对于 ，重复（a）的计算。kHzT201 采 样 （ T） nhxtx yD/A 理 想 低 通 Tcty 解 （a）因为当 ，在数 模变换中0)(8jeHrad时 1)( TXjTeYaj 所以 得截止频率 对应于模拟信号的角频率 为)(nhc c8c 因此 HzTfc62512 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为 ，因此对 没有影响，TT8 故整个系统的截止频率由 决定，是 625Hz。)(je （b）采用同样的方法求得 ，整个系统的截止频率为kHzT201 fc56 二、离散时间信号与系统频域分析 计算题： 1设序列 的傅氏变换为
4、 ，试求下列序列的傅里叶变换。)(nx)(jeX （1） （2） （共轭）)(* 解：（1） )(nx 由序列傅氏变换公式 DTFT nnjj exeXnx)()() 可以得到 DTFT 2)()2()2( njnnj exexx 为 偶 数 )()(21 )(21)(212)( )2(2jjjj njnnj jneXexex （2） （共轭）)(*nx 解：DTFT )(*)()(* jnnjnj eXexex 2计算下列各信号的傅里叶变换。 （a） （b）2nu2)4 1(nu （c） （d）4 n)( 解：（a） 022)(nnjjn eeuX jnje10 （b） 2)41(24)(
5、nnjjnn eeuX）（ j jmmj e416)1(0)2( （c） 22)( jnnjjnexX （d） 12121)( jjjnn ee）（ 利用频率微分特性，可得 22)1()1(2)()( jjjj eedX 3序列 的傅里叶变换为 ，求下列各序列的傅里叶变换。nxjwX （1） （2） (3) )(* )(Renx)(nx 解： （1） *)()(* jwnjwnjweXex （2） n jwjjnnj eXx)()(21)(21)(R （3） dweXjenxdwjendxjenx jjwnjjw )()()(1)( 4序列 的傅里叶变换为 ，求下列各序列的傅里叶变换。)( )
6、(jwX （1） （2） (3) x Imxj )(2nx 解：（1） )()()( )()( jwnwjnwjnjw eXeee （2） )()(21 )()(21)()1)(jwjwnnjj njwnjwjwnneXx exexex （3） )()(21 )()(21)()( )(2jwjjjnnnwjjnjweXdexeex 5令 和 表示一个序列及其傅立叶变换，利用 表示nxj )(jweX 下面各序列的傅立叶变换。 （1） )2(xg （2） 为 奇 数为 偶 数nn0 解：（1） 为 偶 数kw kjnjnwnjwjw exexegeG2)()2()()( )()(21)(21)(
7、 )(1)(222)2()2(222wjwjjjkwjkwj jkjkjkk wkjeXeexXexex （2） )()()()()( 222 wjrjrrwjnjnwjw eXxgegeG 6设序列 傅立叶变换为 ，求下列序列的傅立叶变换。xjeX （1） 为任意实整数)(00 （2） 为 奇 数为 偶 数nxng2)( （3） 解：（1） 0)(jwnjeX （2） n 为偶数)2(x )(ng )(2wjeX 0 n 为奇数 （3） )()2(2jweXnx 7计算下列各信号的傅立叶变换。 （1） )2()3()2nu n （2） si78cos （3） 其 它041)3cos()(nn
8、x 【解】 （1） n knNjeukX2)()3()2)( 2 23)1()1(nknjnkNje kNj jkNjj ee221418 kNj jkNje25231)(8 （2）假定 和 的变换分别为 和 ，则)71cos(n)si( )(1kX)(2 k kNkNX 782(82)(1 kj )()()(2 所以 ()21kXX k kNjkNjkkNkN )2()2()2718()2782( （3） 43cos)(nkjneX 4 23)(21n kNjnjnj 90)23()32(490)23()3(4 1nnNjkNjnnkjkNj eeee )23( )()32(4)23()()
9、32(4 1111 99 kNjjkNjkNjjkNj eeee 8求下列序列的时域离散傅里叶变换 ， ， )(nx)(Renx)(0 解： )()(jj eX )()()(21)(21)(Re jejjnj Xxnx )(Im)()(0 jnjj eXen 三、离散时间系统系统函数 填空题： 1设 是线性相位 FIR 系统，已知 中的 3 个零点分别为)(zH)(zH 1，0.8，1+j，该系统阶数至少为（ ） 。 解：由线性相位系统零点的特性可知， 的零点可单独出现，1z 的零点需成对出现， 的零点需 4 个 1 组，所以系统至8.0z jz1 少为 7 阶。 简答题： 2何谓最小相位系统
10、？最小相位系统的系统函数 有何特点？)(minZH 解：一个稳定的因果线性时不变系统，其系统函数可表示成有理方 程式 ，他的所有极点都应在单位圆内，即NkkMrrZabQPZH10)( 。但零点可以位于 Z 平面的任何地方。有些应用中，需要约1k 束一个系统，使它的逆系统 也是稳定因果的。这就需要)(1)(ZHG 的零点也位于单位圆内，即 。一个稳定因果的滤波器，如)(ZHr 果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的， 我们有如下定义。 【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内， 则有最小相位。 一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值 唯一确定。)(jwe
11、H 从 求 的过程如下：给定 ，先求 ，它是 的函数。jwe)(ZHjwe2jwecosk 然后，用 替代 ，我们得到 。最后，)21k)cos(k )()(1ZG 最小相位系统由单位圆内的 的极、零点形成。ZG 一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通 系统的乘积，即 )()(minZHZap 完成这个因式分解的过程如下：首先，把 的所有单位圆外的零)( 点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数 是最小相位的。然后，选择全通滤波器 ，把与之对应)(minZH )(ZHap 的 中的零点映射回单位圆外。i 3何谓全通系统？全通系统的系统函数 有何特点？)(ap 解：一
12、个稳定的因果全通系统，其系统函数 对应的傅里叶变)(ZHap 换幅值 ，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方1)(jweH 程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即 。因而，如果在 处有一 NkkNkMrrap ZZabQPZ1110)( kZ 个极点，则在其共轭倒数点 处必须有一个零点。k 4有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、 系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。 nhxny 解：频率响应： jj eeH)()( 系统函数： nZh)()( 差分方程： )(1XYZ 卷积关系： )(nxhny 第三章 离散傅立叶变换 一、离散傅立叶级数 计算题： 1如果 是一
13、个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周)(nx 期序列。把 看作周期为N的周期序列有 （周期为N） ；)()(1kXnx 把 看作周期为2N的周期序列有 （周期为2N） ；试用)(nx )(2 表示 。）（ kX1）（ k2 解： 101021 )()()(NnNnknNjkexWx n kNjnnnkjkNexkX 212120102 )()()()( 对后一项令 ，则 1010)(222 )()()(NnNnNnkjkj exexk )2(1( 102kXejnnkNjjk 所以 0)12kX为 奇 数为 偶 数k 二、离散傅立叶变换定义 填空题 2某 DFT 的表达式是 ，则变换
14、后数字频域上相邻两 10)()(NkklMWxlX 个频率样点之间的间隔是（ ） 。 解： M2 3某序列DFT的表达式是 ，由此可看出，该序列的 10)()(NkklMWxlX 时域长度是（ ） ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间 隔是（ ） 。 解：N M2 4如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足 条件（ 纯实数、偶对称 ） 。 解：纯实数、偶对称 5采样频率为 的数字系统中，系统函数表达式中 代表的物HzFs 1z 理意义是（延时一个采样周期T=1/F） ，其中时域数字序列 的序)(nx 号 代表的样值实际位置是（nT=n/F） ； 的N点DFT 中，序n )(n
15、xkX（ 号 代表的样值实际位置又是（ ） 。k kk2 解：延时一个采样周期 ， ，FT1kk2 6用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了 512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔 为8000/512,数字角f 频率间隔 为 2pi/512和模拟角频率间隔 8000*0.0123。w 解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s 判断说明题： 7一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做 DFT对它进行分析。 （ ） 解：错。如果序列是有限长的，就能做 DFT 对它进行分析。否则， 频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。 计算题 8令 表
16、示N点的序列 的N点离散傅里叶变换， 本身也是)(kX)(nx )(kX 一个N点的序列。如果计算 的离散傅里叶变换DFT得到一序列kX ，试用 求 。)(1nx)(nx)(1 解： 1010)(01101 )()(NnknNkNknnNNkn WxWxX 因为 10)(0NknW其 他 l 所以 11 )()()()(Nn NnRxlxx 9序列 ，其4点DFT 如下图所示。现将 按下列0,k)(nx （1） ， （2） ， （3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？（尽量利用 DFT的特性） nxnkXk （1） )4()1nxy730 （2） 0)(2nxy7430 （3） )()3
17、奇 数偶 数n 解：（1） 0123,kYkX （2） 30,7,2,1112 k （3） 4mod,30,711413kkXY 10设 是一个 2N 点的序列，具有如下性质：)(nx )(nxNnx 另设 ，它的 N 点 DFT 为 ，求 的 2N 点 DFT)()1RxN)(1kX)(nx 和 的关系。(kX 解： 推导过程略21k 11试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式） （1） （2）)()(nRaxN )()(nRxN 解：（1）因为 ，所以)(NkNjnnkjaeeakX21021)( （2）由 ，得)()(RnxN10nkWkX10)()(NnNknk R 10)(1
18、0()1(NnNkNnkk RWWX )()1( )(1)2(232 )1(3)1(kRN kRNWNn kkkkNkkk )()()( kWNkN 所以 )(1)(kRkXN 12计算下列序列的N点DFT： 16P （1） 0,)(nax （2） ， ，mN2cosNm0 解：（1） ，kNkN Knk aWaWkX11)(10 1 （2） 0222102cos)( n nkNjmjnjNnk eem)(2)(211mkNjjmkNjjee )(1)()()(1)()(2 mkNjkjmkNjjjkjmkNjkNjjj eee )(1)(1)(sin)(sin1 mkNjkj ek , k=
19、m 或 k=-m2N = 0, 其它 13已知一个有限长序列 )5(2)(nnx （1） 求它的 10 点离散傅里叶变换 kX （2） 已知序列 的 10 点离散傅立叶变换为 ，求序)(y )()(210kXWkY 列 n （3） 已知序列 的 10 点离散傅立叶变换为 ，求)(m)()(kkM 序列 解；（1） 109010)5(2)()(Nnnnkk WWxkX =1+2 =1+2k51kje51 2 =1+2 ，)(9,. （2）由 可以知道， 是 向右循环移位 2 的结果，)(210kXkY)(nyx 即 )7(2)()2()10nnxy （3）由 可以知道，)()(kYXkM 点 循
20、 环 卷 积 。的与是 10)()(nyxm 一种方法是先计算 的 线 性 卷 积与 nyx llnyxnu)()()( =4,0,01 然后由下式得到 10 点循环卷积 )7(4)2(50,4,50,)(10()( nnRlunml 另一种方法是先计算 的 10 点离散傅立叶变换y kkn nkNnk WWykY 7102109010 72)()( 再计算乘积 kkkXkM7102105)()( 77102104 kkW45 由上式得到 7425)(nnm 14 （1）已知序列： ，求 的 N 点 DFT。10siNx，)(nx （2）已知序列： ，则 的 9 点 DFT 是2,10)(n，
21、 其 它 )( 正确否？用演算来证明你的结论。8,.9sin3)(kekXkj ，345P 解：（1） )(kXknNjNne210si1022n knjnjj 10)1(2)(2NnnkNjnkje ,j = 12k 0， 其它 （2） kjkjj kjkjjkjjnknj eeekX 99339262091)( 8,.09sin3 2Kkekj ， 可见，题给答案是正确的。 15一个 8 点序列 的 8 点离散傅里叶变换 如图 5.29 所示。)(nx )(kX 在 的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个 16 点序列 ，)(nx )(ny 即 ， 为偶数2xn)(ny 0 ， 为奇数n
22、 （1）求 的 16 点离散傅里叶变换 ，并画出 的图形。)( )(kY)(kY （2）设 的长度 N 为偶数，且有 ，)(kX 12,.0),1() NNX求 。Nx 01234567-1 kX 123 4 解：（1）因 n 为奇数时 ，故)(ny 14,.20161506)()(nnknkWxykY ， 708)(mkx 150k 另一方面 其 它,07)()(78kWxkXmk 因此 其 它,0158,)()8(7)(8kxkmk 其 它,015)(78kWxmk 所以 )(kY其 它,015)(78kxmk 其 它,0158)(7,kkX 按照上式可画出 的图形，如图 5.34 所示。
23、)(Y 16计算下列有限长序列 的DFT，假设长度为N。)(nx 1012345678 9 k2 )(kY （1） nax)( 10Nn （2） 1,32 解：（1） 010)(NnnkNnkaWkX kNkN110Nk (2) 304)()(nnkxkX kkW34241 jj)1()( )30(k 17长度为 8 的有限长序列 的 8 点 DFT 为 ，长度为 16 的一nxX 个新序列定义为 )2(x14,.20 )(ny 0 15,.3n 试用 来表示 。)(kX)()(yDFTkY 解： 15016nnWy 70)12(670216()(rkrrky 708)(rrkx)5,.( 而
24、 708)()(nnkWkX)7,.10( 因此，当 时， ；当 时，令,.1)kXY15,.98 ，得到：)7,.10(8lk )()()()8(70870)8( lXWrxrxlYll 即 )kXY 于是有 )(k7,.1 )(k )8X5,.9k 18 试计算 的离散傅里叶变换 的值 304,21)(nNx若 )(nx)(kX 。),(k 【解】 140(kknNWxnX 所以 5012)()( 030 Nkkn jjjjNNkkn eeWxX 224221030 02)()1( 242030)()2( jjkkn 3263030 01)()( jjNNkkn exX 证明题： 19设
25、表示长度为 N 的有限长序列 的 DFT。)(kX)(nx （1） 证明如果 满足关系式)(nx )1()(nNxn 则 0)(X （2） 证明当 N 为偶数时，如果 )1()nxn 则 0)2(X 解 （1） 12120101010 )()()()()()()( NnNnNnNnnnk nxxWxXk 令 m1012120)()()(NnNnmxX 显然可得 )( （2） （将 n 分为奇数和偶数两部 1010 )(NnnNnjkxexX 分表示） 12012120 )()(NrrNr xx 120120)()(NrNr 121)2()1( 10120 krNrxNxNrr 令 12002
26、)()(NrNkxx 显然可得 )2(X 简答题： 21在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减 小这种效应？ 解：因为为采样时没有满足采样定理 减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤 去高于折叠频率 的频率成分。2sf 22试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。 解：离散傅立叶变换是 Z 变换在单位圆上的等间隔采样。 三、离散傅立叶变换性质 填空题： 1已知序列 ，序列长度 ，写出序列3,210;,32kkx 4N 的值（ ） 。)2(4RxN 解： 3,210;,23,10;3,1,2 kkxxk 2已知 ，则 和 4;40;,31 nhnx nx 的
27、5 点循环卷积为（ ） 。h 解： 32 kkxkx 4,3210;,)()(55 kx 3已知 则 的3,210;,24,3210;,3 knhknx nhx和 4点循环卷积为（ ） 。 解： 7346201423201230xhh 证明题： 4试证N点序列 的离散傅立叶变换 满足Parseval恒等式 nxkX 210210NmNk 证： 10210 *mXX 21010* 1010)(NkNkmmkkNkkNxxWx 5 是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的)(nXkx和 对称性： )()(1nxkN 证明略。 6 长为N的有限长序列， 分别为 的圆周共轭偶)(nx )(,nx
28、oe )(nx 部及奇部，也即 )(*)(21)(*)( nNxnNxnee )(*)(21)(*)( nNxnNxnoo 证明： )(Im)(ReKXjnxDFToe 证 )(*)(21*21*)( Nee nxnNxNnx )(Re)()(kXkX)(*)(21)(*)(21)(*)( Noo nxnNxnNxn )(Im)()( kXjkX 7若 NxnDFTknxDFT,)( 求 证 证： （1） 10)(NknNW （2） 10)()(kknxX 由（2） ，将 互换，则有 10)()(NkknN与 （这应该是反变换公式） 10)()(nknWxX （用 ，且求和取主值区） 10)(
29、NkknNk代 替 10)(knkx 与（1）比较 所以 NX)( 8若 ，求证 。)()(kIDFTnx)()(1nRXkxIDFTN 证： 10)()(NkknWxxIDFS 1010)(2)(NrrnrkNk krrX 而 l （ 为整数）10)(NknrWl 0 lNnr 所以 )(1)(1)(2XlNXkxIDFS 于是 RRnTN 9令 表示 N 点序列 的 N 点 DFT，试证明：)(kX)(x （a） 如果 满足关系式 ，则 。)(n)1(nxn0)(X （b） 当 N 为偶数时，如果 ，则 。)2 证： 10)()(nnkWxkX1,.0(N （a） 10)()(Nn N 为
30、偶数： 120120)()()(NnnxX 0)()1()120120Nnnx N 为奇数： )21()1()()(2 10120 NxnXnn )21(0)21( )1()21(110NxxnxxnNn 而 中间的一项应当满足：)(nx )21()1()2( nxxN 因此必然有 0nX 这就是说，当 N 为奇数时，也有 。0)(X （b）当 N 为偶数： 10102)()2(NnnNnxWx 120120120110 )()()( )()(NnnNnn nNn xx 当 N 为偶数时， 为奇数，故 ；又由于1N 故有,)1()(nn0)1()1(2200 NnnNnxxX 10设 ，求证
31、。)(kxDFT)()nNxkXDFT 【解】因为 nkNNW)( 根据题意 10)(knkNx 10)()(knkX 因为 nkNkNW)( 所以 )()(10kXDFTXxkkn 11证明：若 为实偶对称，即 ，则 也为实偶对)(nnNx)(k 称。 【解】 根据题意 10)()(NnnkWxkX 的 周 期 性 质再 利 用 nkNNnkNx10)( 10)()(nkn 下面我们令 进行变量代换，则 mN1)()(NmmkWxX 又因为 为实偶对称,所以 ，所以)(nx 0)(x )(0)(kNmkNkNWx 可将上式写为 0)()(1) kkmWxX Nmkx0)( NkmkNx)(0
32、)( 10)(NmkWx 所以 )()()(10)(XkXNmmkN 即证。 注意：若 为奇对称，即 ，则 为纯虚数并且奇)(nx )()nx)(kX 对称，证明方法同上。 计算题： 12已知 ，用圆周卷积法求)30()1(),30(1)( nnynx 和 的线性卷积 。)(nyz 解： ， 4,32x ,)(y 因为 的长度为 , 的长度为)(41Nn42N 所以 的长度为 ,故应求周期)(ynxz711 的圆周卷积 的值，即7N)()()()(10nRmnyxnyxnz NNm 所以 60,43,2 13序列 ，序列 。3,21)(为na1)(为nb （1）求线性卷积 （2）若用基 2 F
33、FT 的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线 性卷积运算结果，FFT 至少应取多少点？ 解：（1） nmbabanw)()()( 所以 ，3,81440 （2）若用基 2FFT 的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性 卷积运算，因为 的长度为 ；所以 得长度为)(na1Nnba 。5121N 故 FFT 至少应取 点。83 14有限长为 N=100 的两序列 01)(nx910n 10)(ny980n 做出 示意图，并求圆周卷积 及做图。)(,y )()(yxf 解 示意图略，圆周卷积nx nn9010,2,83974,65,9738,210nnnf 15已知 是长度为 N 的有限长序
34、列， ，现将)(x )()(nxDFTkX 的每两点之间补进 个零值，得到一个长为 的有限)(n1r rN 长序列 )(y 0)(rnx 1,0,Nirn 求：DFT 与 的关系。 )(y)(kX 解：因为 01NllWxk1k 令knrNNrlrNnknrxyY12,010)()()( lrn 1012,0)()()(rmNrllkNkXXWx 10)(120rNkkNr其 他 16已知 是 N 点有限长序列， 。现将长度变成)nx )()(nxDFTX 点的有限长序列rN)(ny 0)(xy 1 0rNn 试求 点 DFT 与 的关系。rn)(kX 解：由 10,)( 102kenxxDF
35、TkXNnNj 可得 1010)()()()( NnnkrNrNnkrWxyyTkY 1,)(102 lrXexNnrkNj 所以在一个周期内， 的抽样点数是 倍，相当于在)(YrkX的)( 的每两个值之间插入 个其他的数值（不一定为零） ，而当)(kX1r 的整数 倍时， 相等。r为 l kX与)( 17已知 是 N 点有限长序列， 。现将 的每)(nx )()(nxDFT)(nx 两点之间补进 个零值点，得到一个 点的有限长序列1rrNy 0)()rnxynNir其 他 1,0, 试求 点 DFT 与 的关系。rN()(kX 解：由 10,)( 10NkWnxDFTkXN 可得 10)()
36、()(rNnnkrNyyTkY 10,)()(1010 rWixrixnikNi ikN 而 RXkYr 所以 是将 （周期为 N）延拓 次形成的，即 周期为 。)()(r)(kYrN 18已知序列 和它的 6 点离散)3()2()1(3)4( nnnx 傅立叶变换 。)kX （1）若有限长序列 的 6 点离散傅立叶变换为 ，)(y )()(46kXWkY 求 。)(ny （2）若有限长序列 的 6 点离散傅立叶变换为 的实部，)(nu )(k 即 ，求 。)(Re)(kXU （3）若有限长序列 的 3 点离散傅立叶变换 )(v )2()kXV ，求 。)2,10(kn 解：（1）由 知， 是
37、 向右循环移位 4 的结果，)(46kXWkY)(nyx 即 6)4()nxy )1()25(3)4( nn （2） 50 631)n nkWkX kkW362634 k)( )(21RekXX kkkk W36263626434 KkW458 kkkk 566362621 由上式得到 )5(2)4()3()()1(3)(4 nnnnu （3） 3050503262 nnknknnkk WxxWxxkX 2,10,)3()( )(202330)(0 kWnxnnnkknknk 由于 )()()(203XvkVnk2,10,)()203xnnk 所以 ,v 即 2)5()2(341xv 或 )(
38、nn 19令 表示 N 点的序列 的 N 点离散傅里叶变换， 本身)(kX)(nx )(kX 也是一个 N 点的序列。如果计算 的离散傅里叶变换得到一序列kX ，试用 求 。)(1nx)(nx)(1 解 1010)(10101 )()()()( NnknNkNknnNNkn WxWxXnx 因为 10)(NknW其 他 l 所以 11 )()()()(Nn NnRxlxx 20为了说明循环卷积计算（用 DFT 算法） ，分别计算两矩形序列 的卷积，如果 ，求)()(RnxN)(6nx （1）两个长度为 6 点的 6 点循环卷积。 （2）两个长度为 6 点的 12 点循环卷积。 【解】这是循环卷
39、积的另一个例子。令 其 他01121 Lnxn 图 3-6 中 ，N 定义为 DFT 长度。若 ，则 N 点 DFT 为6LL 其 他0)()(1021 kNWkXnk n1xN1(a) 如果我们将 和 直接相乘，得1kX2 其 他0)()(23 k 由此可得 Nnx3 1n 这个结果绘在图 3-6 中。显然，由于序列 是对于 旋Nmnx)(21x 转，则乘积 的和始终等于 N。Nmx)(21 当然也可以把 和 看作是 2L 点循环卷积，只要给他们增补 Ln 个零即可。若我们计算增长序列的 2L 点循环卷积，就得到图 3-7 所 示序列。可以看出它等于有限长序列 和 的线性卷积。注意1nx2
40、如图 3-7 所， 时LN2 kN LWXk121 所以图 3-7（e）中矩形序列 的 DFT 为（ ）3nxL2 231kNLkX 循环卷积的性质可以表示为 2121 kXnxDFT 考虑到 DFT 关系的对偶性，自然两个 N 点序列乘积的 DFT 等于他们 对英的离散傅里叶变换的循环卷积。具体地说，若 ，213nxx 则 1023 )(Nl NlkXkX 或 2121nxDFT 21设 是一个 2N 点序列，具有如下性质)(x )(xN0Nn 另设 ，它的 N 点 DFT 为 。)(1nRx )(1kX 求 得 2N 点 DFT 和 的关系。)(n)(kX)(1 【答案】 2DFT 22已
41、知某信号序列 ， ，试计算,13)(kf 2,43)(kh （1） 和 的循环卷积和 ；)(kfhf （2） 和 的线性卷积和 ；)(k （3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。 【答案】 （1） )3(21)(0)1(3)(6khkkhky （2） )6(4)5(0)4(21h （3）略 23如图表示一个5点序列 。)(nx （1）试画出 ()nx （2）试画出 5 01234123 nx 解： 0123412 3 n nx 56781 42104 1369 012345 1310110)( 5nx 简答题： 24试述用DFT计算离散线性卷积的方法。 解：计算长度为 M,N 两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为 M+N-1,而后求补零后两序列的 DFT，并求其乘积，最后求乘积后序 列的 IDFT，可得原两序列的线性卷积。 25已知 是两个N点实序列 的DFT值，今需要从)(,kYX)(,nyx 求 的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT)(,knyx 运算一次完成。 解：依据题意 )()(,)( kYnykXnx 取序列 jZ 对 作 N 点 IFFT 可得序列 。)(kZ)(z 又根据 DFT 性质 由原题可知，)()()()()( njyxkYjIDFTkXIF
