1、第三章 离散傅里叶变换 1. 如图 P3-1 所示，序列 是周期为 6 的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。)(nx 图 P3-1 解： 由 nkjnnkexWxkX6 250506 )()()( kjkjkjkjkj ee 56 24623622662 108114 计算求得 , , )( 39)(j)(jX , , 03X395 2. 设 ， ，试求 ，并作图表示 ， 。)(4nRx6 )(nx)(k)(nxkX 解： 由 kjkjkjnkjnnk eeeWkX 3236250506 1)()()( 计算求得 , , 4 jX)( , , )3(1)(35j ， 如图 P3-2 所示。)
2、( nx|k 图 P3-2 3. 设 ， 令 ，nnx其 他,041)( )2()4nRh6 )(nx ，试求 与 的周期卷积并作图。6 h(x 解：在一个周期内的计算值 mnhxnhy)()()( )(nx N mh1 2 3 4 5 0 )(y 0 0 1 1 1 1 0 14 1 0 0 1 1 1 1 12 2 1 0 0 1 1 1 10 3 1 1 0 0 1 1 8 4 1 1 1 0 0 1 6 5 1 1 1 1 0 0 10 4. 已知 如图 P3-4(a)所示，为 1，1，3，2 ，试画出 ，)(nx 5)(nx ， ， ， ，6R)(3nx6)x3R 等各序列。)(7x
3、 解：各序列如图 P3-4（b）所示。 图 P3-3 图 P3-4（a ） 图 P3-4（b） 5. 试求以下有限长序列的 N 点 DFT（闭合形式表达式）： (1) )(cos)(0nRanx (2) N (3) x0),() (4) nRN (5) )()(2x 解： （1）因为 ，所以)(cos)(0nRanN )()(21)( 021020 00 kReeakekX NNnnjjnjNnj )(2101020 kRaNNnkjnkj )(110022eeNkjjkNjj )()(21 000000000 000 21212121212 kNjkNjkNj jjjkNjkNjkNj jj
4、j eeeeeea 021021 21sini2sini 0000 kekea kNjjkNjj （2）因为 ，所以)()(Rx10221Nn kNjnkjaeeakX （3）因为 ，所以x),() knNj NnnkjNnkj eexkX 021020102)( （4）因为 ，所以)(RxN 10)(10)(,(NnNkknk RWXWk )()(1)()(1)2( 2(3 )()()1( 1(10)(10kNRkWNkXNknNkN kNkkNkk nNn ）（ 所以 )()(kXk （5）由 ，则2nRxN 102)()(nNkRWkX 根据第（4）小题的结论 1x 则 )(1)(10k
5、RWNnkXNk kNNnknkkN kNkkNk nnnkkWXWW 12)()()()12(1494)1(12)(2 32)1(230)(102）（ ）（ 所以 10,)()(2kk 6. 如图 P3-6(a)画出了几个周期序列 ，这些序列可以表示成傅里叶级数)( nx 10)/2()(NknkNjeXx 问： （1） 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 成为实数？)( k （2） 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 ） （除 外）成为虚数？X)0( （3） 哪些序列能做到 0，k=2，4，6，)( kX 图 P3-6（a ） 解： （1）要使 为实数，即要求 )( kX)(*kX 根
6、据 DFT 的性质， 应满足实部偶对称，虚部奇对称（以 n=0 为轴） 。又由图知，nx 为实序列，虚部为零，故 应满足偶对称)(nx)( nx 即 是以 n=0 为对称轴的偶对称，可看出第二个序列满足这个条件。)(x 如图 P3-6(b)所示。 图 P3-6（b） （2）要使 为虚数，即要求 )( kX )()(*kX 根据 DFT 的性质， 应满足实部奇对称，虚部偶对称（以 n=0 为轴） 。又已知 为nx )(nx 实序列，故 )()nx 即在一个周期内， 在一圆周上是以 n=0 为对称轴的奇对称，所以这三个序列都不满足)(x 这个条件。 （3）由于是 8 点周期序列，对于第一个序列有
7、kjkjjnnkj eekX4430821 1)( 当 。时 ， )(6,42 1k 对于第二个序列有 kjjnkjeekX4320411)( 当 。时 ， )(6,42 1k 对于第三个序列有 )4()( 13nxnx 根据序列移位性质可知 kjkjkj eXekX4 113 1)()( 当 。时 ， 0)(6,42 3k 综上所得，第一，第三个序列满足 ,2,0)( k 7. 在图 P3-7(a)中画了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。 图 P3-7（a ） 解： )()()( 65021nRmxnym 结果如图 P3-7(b)所示。 图 P3-7（b） 8. 图 P3-8(a)表
8、示一个 5 点序列 。)(nx （1）试画出 ；)(*nx （2）试画出 ；)(nx （4） 试画出 ； 图 P3-8（a ） 解： 个小题的结果分别如图 P3-8(b)，P3-8(c),，P3-8(d)所示。 图 P3-8（b） 图 P3-8（c ） 图 P3-8（d） 9. 设有两个序列 nxn其 他,05)(y其 他,14)( 各作 15 点的 DFT，然后将两个 DFT 相乘，再求乘积的 IDFT，设所得结果为 ，)(nf 问 的哪些点（用序号 n 表示）对应于 应该得到的点。)(nf )(*nyx 解： 序列 的点数为 N1=6，y(n)的点数为 N2=15，故 的点数应为)(x )
9、( 011 又 为 与 的 15 点的圆周卷积，即 L=15。所以，混叠点数为 N-L=20-15=5。)(nfx)(ny 即线性卷积以 15 为周期延拓形成圆周卷积序列 时，一个周期内在 n=0 到 n=4(=N-L-1)(nf 这 5 点出发生混叠，即 中只有 n=5 到 n=14 的点对应于 应该得到的点。)(f )(*nyx 10. 已知两个有限长序列为 64,031)(nx5,1)(y 试作图表示 ， 以及 。nx)()(nyxnf 解： 结果如图 P3-10 所示。 图 P3-10 11. 已知 是 N 点有限长序列， 。现将长度变成 rN 点的有限)(nx )()(XnxDFTk
10、 长序列 y1,0)(rNnxny 试求 rN 点 DFTy(n) 与 Xk的关系。 解： 由 10,)()()( 102kenxDFTkNNj 可得 1,0,)( )()(Y102101lrkXenx WnxyNrkNjrn krNnkrN 所以在一个周期内， 的抽样点数是 的 r 倍（ 的周期为 Nr） ，相当于在Y)()(kY 的每两个值之间插入 r-1 个其他的数值（不一定为零） ，而当 k 为 r 的整数 l 倍时，)(kX 与 相等。Yr 12. 已知 是 N 点的有限长序列， ，现将 的每两点之间补)(nx )()(XnxDFTk)(x 进 r-1 个零值点，得到一个 rN 点的
11、有限长序列 y n ,01,0,)/() 其 他 Nirnirxny 试求 rN 点 DFTy(n)与 Xk的关系。 解： 由 10,)()()(10NkWnxDFTkXN 可得 10,)()()()(10 1010 rNkWixrixynkYrNNiikNinkr 而 )(RXYrN 所以 是将 (周期为 N)延拓 r 次形成的，即 周期为 rN。)(k)XkY 13. 频谱分析的模拟信号以 8kHz 被抽样，计算了 512 各抽样的 DFT，试确定频谱抽样 之间的频率间隔，并证明你的回答。 证明： 由 2,0Ffs 得 0ssf 其中 是以角频率为变量的频谱的周期， 是频谱抽样之间的频谱间
12、隔。s 又 NFfss0 则 fs0 对于本题有 512,8NkHzfs zF6.0 14. 设由一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为 2 的整数幂，假定没有采用任何 特殊数据处理措施，要求频率分辨力10Hz，如果采用的抽样时间间隔为 0.1ms， 试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一定 记录中的最好点数。 解： （1）因为 ，而 ，所以0FTHz10 sT10 而最小记录长度为 0.1s。 （2）因为 ，而kHzTf10.30 hsf2 所以 kzfsh51 即允许处理的信号的最高频率为 5kHz。 （3） ，又因 N 必须为 2 的整数幂，所以一个记录
13、中的最少点10.30TN 数为 。2410 15. 序列 的共轭对称和共轭反对称分量分别为)(nx ，)()21*nxe )()21)(*nxo 长度为 N 的有限长序列 （0nN-1 ）的圆周共轭对称和圆周共轭反对称分量分别定(x 义如下： )()()*RNNep (21( nxxo （1） 证明 )()(nNeeepnRxxooo （2） 把 看作长度为 N 的序列，一般说，不能从 恢复 ，也不能从)(nx )(ep)(xe 恢复 。试证明若把 看作长度为 N 的序列，且 nN/2 时op)(o)(nx ，则从 可恢复 ，从 可恢复 。0)(xnxepe)(op)(xo 证明（1） 方法一
14、 由于 只在 的范围内有值，则有)(nx1N )(21)()()()(2)( * nNxnRnxNNep n=0 时 0*nx （a） 时10Nn )(21)()2)(*nxxnxe )(1*nNN 所以 )()(Rxxeeep （b）n=0 时 ，0nRN0*nN 则有 )() )()()(2121( *nxn nRxxNee Np 综上所述 )(nRNxeeep 同理可证 )(ooo 方法二 （a） )()( nxnxNeeep)21)*)(0(xRxNe )()*nRNnn 因为 )(RxN 所以 )()0(21*Nxxe +得 )()0()()() * nxxnNxnRNxnee （b
15、）由于 )()(21)(*NNNexnnx)()0()()( * NnxxxRN (4)+(5)得 )()()(21)(*nRxnxNNep )()0()* Nnxx (3)与(6)比较可知 ()()(xxNeeep 同理可证 nRnooo （2）利用（1）的结果 )()(xxNeeep )21*nnNn 按照题意,当 时， 。此时/00(x ，/ 所以当 时， ， ，故2/n)(n0)(*Nn 0xe 所以当 时， 。/0N)(ep 当 时，按共轭对称有12n )()2)(* nxnxxee 且由（1）的结论知 )()()(* RNeeep 当 时12/nN 0)(*nRNxe 所以 )()
16、()(* nRxNeeep 综上、可得 12),(0)(*nNxnepe 同理可证 12),(0)(*nxnopo 16. 令 表示 N 点序列 的 N 点离散傅里叶变换，)(kX)(nx （1） 证明如果 满足关系式 ，则 。)1()nNxn0)(X （2） 证明当 N 为偶数时，如果 ，则 。2/ 证明 （1） 因为 10,)()(10NkWnxkXN 当 时()xn 10 )()(Nn nkNRxk 10 )1()1()(n NknkW10)1()(NnNknWx 可以求得 )()()1(RXkk 当 k=0 时 )( 即 0)( （2） 依照（1） ，当 时，可得)1(nNxn10 ()(n nkNWRkX )1(Nk 当 (N 为偶数 )时2Nn )1(22 NjNeRX 由 N 为偶数，则有 1)()1(2NjNjee 所以 22NXNX 即 0
