1、 全等证明 解题方法归纳 第 1 页 共 20 页 【第 1 部分 全等基础知识归纳、小结】 1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重 合的角叫对应角。 概念深入理解： （1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。 （外观长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 （位置变化） 2、全等三角形的表示方法：若ABC 和ABC 是全等的，记作“ABCABC” 其中， “”读作“全等于” 。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上。
2、3、全等三角形的性质： 全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。 （1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。 （2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。 4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的 边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因 此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 图 3图 1 图 2 全等证明 解题方法归纳 第 2 页 共 20 页 全等三角形对应角所对的边是对
3、应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一 个经过下列各种运动而形成的；运动一般有 3 种：平移、对称、旋转； 5、全等三角形的判定：（深入理解） 边边边（SSS ） 边角边（ SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 斜边，直角边（HL） 注意：（容易出错） （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等） ； （2）不能证明两个三角形全等的是，三个角对应相等，即 AAA；有两边和其中一 角对应相等，即 SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工
4、具，同时也是移动图形位置的工具。在 平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置， 常常需要借助全等三角形的知识。 6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如： 过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F 过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 D 延长 AB 至 C，使 BCAC 在 AB 上截取 AC，使 ACDE 作ABC 的平分线，交 AC 于 D 取 AB 中点 C，连接 CD 交 EF 于 G 点 同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。 全等证明 解题方法归纳 第 3 页 共 20 页
5、 【第 2 部分 中点条件的运用】 1、还原中心对称图形（倍长中线法） 中心对称与中心对称图形知识： 把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果它能够与 另一个图形重合，那么就说 这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的 对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称的两条基本性质： （1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平 分。 （2）关于中心对称的两个图形是全等图形。 中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这 个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 （一个图形）如：平行
6、四边形 线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，所以遇到中点问题，依托中点借助 辅助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想） 。 例 1、AD 是ABC 中 BC 边上的中线， 若 AB 2，AC 4，则 AD 的取值范围是 _。 例2、已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于 F，AF EF，求证：AC BE。 A CB B C AO DAB C A BCDEF 全等证明 解题方法归纳 第 4 页 共 20 页 例 3、如图，D 是ABC 的边 BC 上的点，且 CD=AB，ADB= BAD，AE 是ABD 的中线。
7、求证：AC=2AE 例 4 ABC 中，AD、BE、CF 是三边对应中线。 （则 O 为重心） 求证：AD、BE 、CF 交于点 O。 （类倍长中线） ； ABOCASS 练习 1、在ABC 中，D 为 BC 边上的点，已知BAD CAD，BD CD，求证：AB AC A B CD 2、如图，已知四边形 ABCD 中，AB CD，M、N 分别为 BC、AD 中点，延长 MN 与 AB、CD 延长线交于 E、F ，求证 BEM CFM 3、如图，AB=AE，AB AE，AD=AC，ADAC，点 M 为 BC 的中点，求证：DE=2AM （基本型：同角或等角的补角相等、K 型） MDEBAC EF
8、ACDMB OFEDAB C 全等证明 解题方法归纳 第 5 页 共 20 页 2、两条平行线间线段的中点（“八字型”全等） 如图， ，C 是线段 AB 的中点，那么过点 C 的任何1l2 直线都可以和二条平行线以及 AB 构造“8 字型”全等 例 1 已知梯形 ABCD，ADBC ，点 E 是 AB 的中点，连接 DE 、CE。 求证： ABCD12DECSA梯 例 2 如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=2AB，M 是 AD 的中点，CEAB 于点 E， CEM=40，求 DME 的大小。 （提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半） 例 3 已知ABD 和ACE 都是直角三角形，且 A
9、BD ACE=90，连接 DE，设 M 为 DE 的中点。求证：MB MC；设BAD CAE，固定 RtABD，让 RtACE 移至图示位置，此时 MB MC 是否成立？请证明你的结论。 l2l1CBA EADCB EMAB DC EACDMB EACDMB 全等证明 解题方法归纳 第 6 页 共 20 页 练习 1、已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90若 BD=BC，F 是 CD 的 中点，试问：BAF 与BCD 的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明； 2、Rt ABC 中，BAC=90，M 为 BC 的中点，过 A 点作某直线 ，过 B 作 于lDl 点 D，过 C
10、作 于点 E。l （1）求证：MD=ME （2）当直线 与 CB 的延长线相交时，其它条件不变， （1）中的结论是否任然成立？l 3、如图（1） ，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF（CGBC）中，点 B、C、G 在同一直 线上，M 是 AE 的中点， （1）探究线段 MD、MF 的位置及数量关系，并证明； （2）将图（1）中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转，使正方形 CGEF 的对角线 CE 恰 好与正方形 ABCD 的边 BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。 （1）中得到的两 个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。 （结合前面“8 字型”全等，仔细思考） M D
11、A EF GCB MDA E F G CB ACDF lEDMAB C lEDMAB C 全等证明 解题方法归纳 第 7 页 共 20 页 3、构造中位线 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 重点区分：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它对 边的中点；而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。 （全等法）在ABC 中，D 、E 分别是 AB、AC 边的中点，证明： DEBC，DE= BC12 证明：延长 DE 至 F 点，使 DE=EF，连接 CF（倍长中线） 三角形的中位
12、线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来，将题目给 出 的分散条件集中起来（集散思想） 。注：题目中给出多个中点时，往往中点还是不够用的。 例 1 在四边形 ABCD 中，E 、F 、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。 求证：四边形 EFGH 是平行四边形。 例 2 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC=BD，M 、N 分别是 AB、CD 的中点， MN 分别交 BD、AC 于点 E、F. 你能说出 OE 与 OF 的大小关系并加以证明吗？ 练习 1、三角形 ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，BDAD，点 D 是垂足，点 E 是
13、边 BC 的中点，如果 AB=6，AC=14，求 DE 的长。 FEDBCA HGFEAB CD FEONMAB CD EDABC 全等证明 解题方法归纳 第 8 页 共 20 页 2、AB CD，BCAD ，DEBE ，DF=EF，甲从 B 出发，沿着 BA-AD-DF 的方向运 动，乙 B 出发，沿着 BC-CE-EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从 B 出发，则谁先到达 F 点？ 3、等腰 RtABC 与等腰 RtCDE 中，ACB=EDC=90 ，连 AE、BE，点 M 为 BE 的中点，连 DM。 （1）当 D 点在 BC 上时，求 的值DMAE （2）当CDE 绕点
14、C 顺时针旋转一个锐角时，上结论是否任然成立，试证明 A F B E DC M A C BED MA CBDE 全等证明 解题方法归纳 第 9 页 共 20 页 4、 ABC、CEF 都为等腰直角三角形，当 E、F 在 AC、BC 上，ACB=90，连 BE、 AF，点 M、N 分别为 AF、BE 的中点 （1）MN 与 AE 的数量关系 （2）将CEF 绕 C 点顺时针旋转一个锐角，MN 与 AE 的数量关系 4、与等面积相关的图形转换 在涉及三角形的面积问题时，中点提供了底边相等的条件，这里有个基本几何图形 如图，ABC 中，E 为 BC 边的中点，那么显然 ABE 和AEC 有相同的高
15、AD，底边也相等，故面积相等。 例 E、F 是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF、CE 交于点 G，则 =AGCDBS四 边 形矩 形 DE A B C G FEA BCD MN EA C BF NME A C BF 全等证明 解题方法归纳 第 10 页 共 20 页 扩展 如图，等腰 RtACD 与 RtABC 组成一个四边形 ABCD，AC=4 ，对角线 BD 把 四边形 ABCD 分成了二部分，求 的值。ABDCS 【5、等腰三角形中的“ 三线合一” 】 “三线合一”是相当重要的结论和解题工具，它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着 极为亲密的关系。 例 ABC 中，AB=
16、AC，BDAC 于 D，问CBD 和 BAC 的关系？ 分析：CBD 和BAC 分别位于不同类型的三角形中，可以考虑转为同类三角形。 例 在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 M 为 BC 中点， MNAC 于点 N，则 MN=_ 【6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】 这可以作为一个定理直接运用，关于这个定理的证明有多种方法，包括利用前面所讲 中点的一些知识。 例 如图 RtABC 中， ACD=90，CD 为斜边 AB 上的中线 N B M A C DB A C DB A C DB A C ADC B 全等证明 解题方法归纳 第 11 页 共 20 页 求证：CD= AB12
17、（1）利用垂直平分线的性质：垂直平分线上任一点到线段 的二个端点的距离相等。 取 AC 的中点 E，连接 DE。则 DEBC（中位线性质） ACB=90 BCAC ，DEAC 则 DE 是线段 AC 的垂直平分线 AD=CD （2）全等法，证法略。 例 在三角形 ABC 中，AD 是三角形的高，点 D 是垂足，点 E、F 、G 分别是 BC、AB、AC 的中点，求证：四边形 EFGD 是等腰梯形。 练习 1、在 RtABC 中，A=90，AC=AB，M、N 分别在 AC、AB 上，且 AN=BM。 O 为斜边 BC 的中点。试判断OMN 的形状，并说明理由。 2、ABC 中，A=90 ，D 是
18、 BC 的中点，DE DF。求证: 22BECF （集散思想） 3、ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上，E 在 AB 上，且 BD=DE，点 P、M、N 分别为 AD、BE、BC 的中点 （1）若BAC=90 ，则 PMN=_，并证明 （2）若BAC=60 ，则 PMN=_ （3）若BAC= ，则 PMN=_ EFDCA B FDCA B GF EDAB C OCAB NM F DACBE NPME CABD NMPE CABD MPENB CAD 全等证明 解题方法归纳 第 12 页 共 20 页 【中点问题练习题】 1、假设给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形
19、请解答下列问 题： （1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称； （2）如图 1，在ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上，且 CD=CA，点 E、F 分别为 BC、AD 的中点，连接 EF 并延长交 AB 于点 G求证：四边形 AGEC 是等邻角四边 形； （3）如图 2，若点 D 在ABC 的内部， （2）中的其他条件不变， EF 与 CD 交于点 H，是 否存在等邻角四边形，若存在，是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由 2、已知：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形， ABC=ADE=90，点 M 是 CE 的中 点，连接 BM （1）如图 ，点 D 在
20、 AB 上，连接 DM，并延长 DM 交 BC 于点 N，可探究得出 BD 与 BM 的数量关系为_ ，写出证明过程。 （2）如图 ，点 D 不在 AB 上， （1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果 不成立，说明理由。 GF D C A EB HGF C A EBD NMCBAED M CBADE 全等证明 解题方法归纳 第 13 页 共 20 页 3、在AOB 中，AB=OB=2，COD 中，CD=OC=3， ABO=DCO连接 AD、BC ，点 M、N 、P 分别为 OA、OD 、BC 的中点 若 A、O、C 三点在同一直线上， ABO=60，则PMN 的形状是_，此时 =_ADB
21、C 4、已知：如图 ，正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG （1）求证：EG=CG； （2）将图 中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图 所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG 问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理 由 （3）将图 中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 所示，再连接相应的线段，问（1） 中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均要求证明） P NMDB ACO G FB C A DE GF B C A DE GF B C
22、A DE 全等证明 解题方法归纳 第 14 页 共 20 页 全等三角形综合二 知识点： 1、全等三角形的判定及性质： 2、角平分线的性质与判定： 3、常用辅助线： 例题讲解 例 1、如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，AE 平分BAC，交 CD 于 K，交 BC 于 E，F 是 BE 上一点，且 BF=CE， 求证：FKAB 例 2、如图 1，ABC 中，BAC=90，BA=AC， （1）D 为 AC 的中点，连 BD，过 A 点作 AEBD 于 E 点，交 BC 于 F 点，连 DF，求证： ADB=CDF （2）若 D，M 为 AC 上的三等分点，如图 2，连 BD
23、，过 A 作 AEBD 于点 E，交 BC 于点 F， 连 MF，判断 ADB 与CMF 的大小关系并证明 例 3、如图，在ABC 中，C=90，M 为 AB 的中点，DM AB，CD 平分ACB， 求证：MD=AM 全等证明 解题方法归纳 第 15 页 共 20 页 例 4、在ABC 中，ACB 为锐角，动点 D（异于点 B）在射线 BC 上，连接 AD，以 AD 为边在 AD 的右侧作正方形 ADEF，连接 CF （1）若 AB=AC，BAC=90 那么 如图一，当点 D 在线段 BC 上时，线段 CF 与 BD 之间的位置、大小关系是 _ （直接写出结论） 如图二，当点 D 在线段 BC
24、 的延长上时，中的结论是否仍然成立？请说明理由 （2）若 ABAC，BAC 90点 D 在线段 BC 上，那么当ACB 等于多少度时？线 段 CF 与 BD 之间的位置关系仍然成立请画出相应图形，并说明理由 例 5、如图所示，已知 A，B 为直线 l 上两点，点 C 为直线 l 上方一动点，连接 AC、BC，分别以 AC、BC 为直角边向ABC 外作等腰直角CAD 和等腰直角CBE，满足 CAD=CBE=90，过点 D 作 DD1l 于点 D1，过点 E 作 EE1l 于点 E1 （1）如图，当点 E 恰好在直线 l 上时，试说明 DD1=AB； （2）在图中，当 D，E 两点都在直线 l 的
25、上方时，试探求三条线段 DD1，EE 1，AB 之间 的数量关系，并说明理由 例 6、如图 1，已知点 A（a，0） ，点 B（0，b） ，且 a、b 满足 04ba （1）求 A、B 两点的坐标； （2）若点 C 是第一象限内一点，且 OCB=45，过点 A 作 ADOC 于点 F，求证： FA=FC； 全等证明 解题方法归纳 第 16 页 共 20 页 （3）如图 2，若点 D 的坐标为（ 0，1） ，过点 A 作 AEAD ，且 AE=AD，连接 BE 交 x 轴于点 G，求 G 点的坐标 巩固： 1、如图，已知BAC=90，ADBC 于点 D，1=2，EFBC 交 AC 于点 F试说明
26、 AE=CF 2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F （1）说明 BE=CF 的理由； （2）如果 AB=5，AC=3 ，求 AE、BE 的长 3、如图，ABC 中，AC=2AB ，AD 平分BAC 交 BC 于 D，E 是 AD 上一点，且 EA=EC。 求证：EBAB 全等证明 解题方法归纳 第 17 页 共 20 页 4、如图，在ABC 中，ACB=90 ，P 为 AC 上一点， PQAB 于 Q，AM AB 交 BP 的延长线于 M，MNAC 于 N，AQ=MN （1）求证：AP=AM； （2）求证：PC=AN 5、如图，AB
27、C 内，BAC=60，ACB=40，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别 是BAC， ABC 的平分线， 求证：BQ+AQ=AB+BP 6、将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图（1）方式摆放，其中ACB= DEB=90， A= D=30，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F （1）求证：CF=EF； （2）若将图（1）中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 a，且 0a60，其他条件 不变，如图（2） 请你直接写出 AF+EF 与 DE 的大小关系：AF+EF_ DE （填“” 或“=”或“” ） （3）若将图（1）中DBE 的绕点
28、B 按顺时针方向旋转角 ，且 60180，其他 条件不变，如图（3） 请你写出此时 AF、EF 与 DE 之间的关系，并加以证明 7、如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，ABC 的三点坐标分别为 A（0，5） ， B（-5，0） ， C（2，0） ，BDAC 于 D 且交 y 轴于 E，连接 CE （1）求ABC 的面积； 全等证明 解题方法归纳 第 18 页 共 20 页 （2）求 的值及ACE 的面积AEO 8、如图 1，在平面直角坐标系中，点 A（4，4） ，点 B、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上， S 四边形 OBAC=16 （1）COA 的值为_ ； （2）求CAB
29、的度数； （3）如图 2，点 M、N 分别是 x 轴正半轴及射线 OA 上一点，且 OHMN 的延长线于 H，满足HON=NMO，请探究两条线段 MN、OH 之间的数量关系，并给出证明 9、在平面直角坐标系中，点 A（2，0） ，点 B（0，3）和点 C（0.2） ； （1）请写出 OB 的长度：OB=_ ； （2）如图：若点 D 在 x 轴上，且点 D 的坐标为（-3，0） ，求证：AOBCOD； （3）若点 D 在第二象限，且 AOBCOD，则这时点 D 的坐标是_ （直接写 答案） 10、已知，在ABC 中，CA=CB，CA、CB 的垂直平分线的交点 O 在 AB 上，M、N 分别 全等
30、证明 解题方法归纳 第 19 页 共 20 页 在直线 AC、BC 上，MON=A=45 （1）如图 1，若点 M、N 分别在边 AC、BC 上，求证：CN+MN=AM； （2）如图 2，若点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 边的延长线上，试猜想 CN、MN、AM 之 间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明） 11、 （1）如图 1，以ABC 的边 AB、AC 为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG， 连接 EG，试判断ABC 与AEG 面积之间的关系，并说明理由 （2）园林小路，曲径通幽，如图 2 所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺 成已知中间的所有正方形的
31、面积之和是 a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b 平 方米，这条小路一共占地多少平方米 12、如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE 拼在一起（图 1） ABD 不动， （1）若将ACE 绕点 A 逆时针旋转，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 2） ， 证明：MB=MC （2）若将图 1 中的 CE 向上平移， CAE 不变，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 3） ，判断并直接写出 MB、MC 的数量关系 （3）在（2）中，若CAE 的大小改变（图 4） ，其他条件不变，则（2）中的 MB、MC 的数量关系还成立吗？说明理由 全等证明 解
32、题方法归纳 第 20 页 共 20 页 13、如图，ABC 中，D 是 BC 的中点，过点 D 的直线 MN 交 AC 于 N，交 AC 的平行线 BM 于 M， PDMN ，交 AB 于点 P，连接 PM、PN （1）求证：BM=CN； （2）请你判断 BP+CN 与 PN 的在数量上有何关系，并说明你的理由 14、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点A 、B 两点的坐标分别为 A（m，0） 、 B（0，n） ，且 ，点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线0623nm AO 匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒 （1）求 OA、OB 的长； （2）连接 PB，若POB 的面积不大于 3 且不等于 0，求 t 的范围； （3）过 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 y 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中， 是否存在这样的点 P，使EOPAOB？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理 由
