1、地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 1 页 共 9 页 有理数的乘除法（提高） 撰稿：吴婷婷 审稿：常春芳 【学习目标】 1会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算； 2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算； 3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算； 4. 培养观察、分析、归纳及运算能力. 【要点梳理】 要点一、有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与 0相乘，积为 0 要点诠释： (1) 不为
2、0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘 （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2 与-3 的乘积，应列为(-2)(-3)， 不应该写成-2-3 2. 有理数的乘法法则的推广：（1）多个不为 0的有理数相乘时，可以先确定积的符号， 再将绝对值相乘 （2）几个数相乘，如果有一个乘数为 0，那么积就等于 0 要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数 (2)几个不等于 0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定当负因数有奇数个时， 积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正 (3)几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0反之，如果积为 0，那么至少有 一个因数为 0
3、 3. 倒数的意义： 若两个有理数的乘积为 1，就称这两个有理数互为倒数 要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2 的倒数是 ，-2 和 是互12 相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于 1，因此 0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数) 4. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即：ab ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不 变即： (ab)c a(bc) （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这
4、个数分别同这两个数相乘，再把 积相加即：a(b+c) ab+ac 要点诠释： （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换 （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把 其中的几个因数相乘如 abcd d(ac)b一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同 这几个数相乘，再把积相加如 a(b+c+d) ab+ac+ad （3）运用运算律的目的是“简化运算” ，有时，根据需要可以把运算律“顺用” ，也可以 把运算律“逆用” 要点二、有理数的除法 有理数除法法则： 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079
5、687 第 2 页 共 9 页 法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0. 法则二：除以一个数（不等于 0） ，等于乘以这个数的倒数，即 .1()abA 要点诠释：（1）一般在能整除时应用法则一方便些，在不能整除的情况下应用法则二 （2）因为 0没有倒数，所以 0不能当除数 （3）法则一与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对 值 要点三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确 定积的符号，最后算出结果 要点四、有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算
6、，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如 有括号，则先算括号里面的 【典型例题】 类型一、有理数的乘法运算 1计算：(1) ；54(3)1(0.25)6 (2)(1-2)(2-3)(3-4)(19-20)； (3)(-5)(-8.1)3.140 【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘因数是 小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分几个数相乘，有一个因数 为零，积就为零 解：(1) ；54(3)1(0.25)6913648 (2)(1-2)(2-3)(3-4)(19-20) ；19-()()1个 （ ） 相 乘 (3)(-5)(-8.1)3
7、.1400 【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无 关当因数中有一个数为 0 时，积为 0但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的 负因子必须加括号. 2.运用简便方法计算： (1) ；（2）10.2534451278397 【答案与解析】根据题目特点，(1)可以先用乘法交换律把 与 4 相乘，再运用乘法结0. 合律将 与 相乘(2)计算 的值可运用分配律，计算.527 的值则可逆用分配律187 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 3 页 共 9 页 解：(1) 原式 ；161
8、680.254(0.25)5 （2） 478397512+8118()873 【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点适当运用“凑整法”进行交换和结 合 举一反三： 【变式】用简便方法计算： (1) ；21530.4(3)0.477 (2) .5682.6 【答案】 解：（1）原式 125(13)()0.340.347725(). 130.4(1)30.41.3 (2) .45.628.576 (-3.14)35.2+(-3.14)223.3+(-3.14)18.2 -3.14(35.2+46.6+18 .2) -3.14100 -314 类型二、有理数的除法运算 3计算： 17(49)
9、2(3) 【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成 分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分但要注意除法没有分配 律 【答案与解析】 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 4 页 共 9 页 解： 17(49)2(3)3149)7314937 【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求 出结果 举一反三： 【高清课堂：有理数乘除 381226 有理数除法例 1（3） 】 【变式】计算： 1()2()5 【答案】解：原式 023761
10、 类型三、有理数的乘除混合运算 4.计算： 9481() 【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算. 1(6)4996 【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算乘除运算是同一 级运算，再应按从左到右的顺序进行 举一反三： 【变式】计算： 140(2)893 【答案】解： 194189412308326 类型四、有理数的加减乘除混合运算 5. 计算： 1213065 【答案与解析】 解：方法 1： 1203510 方法 2： 230653021()6 所以 11 【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先 地址：
11、北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 5 页 共 9 页 算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法 2 利用倒数关系巧妙解决，如果按 a(b+c) ab+ac 进行分配就错了 举一反三： 【变式】 （1） ；（2）21130653075318.4563.996 【答案】 （1）原式= ()20 （2）原式 7531818.4563.996(4)(.49)2.17 类型五、含绝对值的化简 6. 已知 a、 b、 c 为不等于零的有理数，你能求出 的值吗?|abc 【思路点拨】当 a、 b、 c 分别大于 0 时， ， ，
12、；当 a、 b、 c 分别小|1a|1 于 0 时， ， ， |1| 【答案与解析】 解：分四种情况： (1)当 a、 b、 c 三个数都为正数时， ；| 13abcabc (2)当 a、 b、 c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设 a 为负数，b 、 c 为正数， ；| 1c (3)当 a、 b、 c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设 a 为正数，b 、 c 为负数， ；|ab (4)当 a、 b、 c 三个数都为负数时，| (1)()3cb 综上， 的值为：|a3, 【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论 举一反三： 【高清课堂：有
13、理数乘除 381226 有理数除法例 2】 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 6 页 共 9 页 【变式】计算 的取值ab 【答案】 解：(1)当 a0、b0 时， ；12ab原 式 (2)当 a0、b0 时， ；原 式 (3)当 a0，b0 时， ；0ab原 式 (4)当 a0，b0 时， 1原 式 综上， 的值为： 2,0 【巩固练习】 一、选择题 1若 a c 0 b ，则 abc 与 0的大小关系是（ ） Aabc 0 Babc = 0 Cabc 0 D无法确定 2. 若|x-1|+|y+2|+|z-3|0，
14、则(x +1)(y-2)(z+3)的值为( ) A48 B-48 C0 Dxyz 3已知 a0，-1b0，则 a， ab， ab2由小到大的排列顺序是( ) Aaabab 2 B ab2aba Caab 2ab Dabaab 2 4. 若“!”是一种数学运算符号，并且 1!1，2!21!，3!321，4!4321，则 的值是为（ ） 10!98 A B99! C9900 D2!504 5.下列计算：0-(-5)-5； ； ；(3)9123342 ；若 ，则 x的倒数是 6其中正确的个数是（ ） (36)942x A1 B2 C3 D4 6.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的
15、一部分，剩下部分如图所 示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ） A2010 B2011 C2012 D2013 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 7 页 共 9 页 7已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元 2009年、2010 年、2012 年举办.若这三项运 动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？（ ） A公元 2070年 B公元 2071年 C公元 2072年 D公元 2073年 二、填空题 8计算 12-7(-32)+16(-4)之值为 9已知 ， ，且 ，则 的值是_|4x1|2y0xy
16、10.如果 ，则化简 = .0xy 11.某商场销售一款服装，每件标价 150元，若以八折销售，仍可获利 30元，则这款服装 每件的进价为_元 12.在 与它的倒数之间有 个整数，在 与它的相反数之间有 个整数，则3.5a3.5b = .()2ab 13.如果有理数 都不为 0，且它们的积的绝对值等于它们积得相反数，则,cd 中最少有 个负数，最多有 个负数.,cd 三、解答题 14.计算： （1） 731()(4826 （2） 10).25.(%)52 （3） 1()3(81)6 （4）(-9)(-4)(-2) (5) )2041)(3()5(4)3(2 （6）200420032003-20
17、032004200404 15.受金融危机的影响，华盛公司去年 13 月平均每月亏损 15 万元，46 月平均每月盈 利 20 万元，710 月平均每月盈利 17 万元，1112 月平均每月亏损 23 万元这个公司决定： 若平均每月盈利在 3 万元以上，则继续做原来的生产项目，否则要改做其他项目请你帮 助该公司进行决策是否要改做其他项目，并说明你的理由 16.用计算器计算下列各式，将结果写在横线上： ； ； ；921_92_923_ 红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 8
18、 页 共 9 页 924_ （1）你发现了什么规律，请用字母 （ 为正整数）表示n （2）不用计算器，直接写出结果 92_ 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C 【解析】abc 中负因子的个数有两个，所以最后的积应为正的. 2.【答案】B 【解析】由|x-1|+|y+2 |+|z-3|0 可求得 x1，y-2，z3， 所以(x+1)(y-2)(z+3)2(-4)6-48 3.【答案】C 【解析】利用特殊值法，取 a-2，b ，则 ab-2 ， ，易121ab 比较得到 4.【答案】C 【解析】这类问题需根据题中所给的运算法则计算即可 100!=100999821，98 !989721，故
19、原式100999900 5.【答案】B 【解析】正确 6.【答案】D 【解析】从图可得，截下的部分应该为：蓝 紫 红 黄 绿 |蓝 紫 红 黄 绿 |， ， |蓝 紫 红 黄 绿 |蓝 紫 红 ， 每 5个 一 个 循 环 ， 总 个 数 应 该 是 被 5除 余 3的 数 ， 所 以 答 案 应 为 ： 2013 7 【答案】B 【解析】由已知，我们可总结出每 4年举办一次，只要每个选项与 2009，2010，2012 的 差有一个是 4的倍数，则能在这一年举办某项运动会，否则这三项运动会均不在这一年举 办 二、填空题 8.【答案】232 【解析】原式12-(-224)+(-4)232 9.
20、【答案】-8 【解析】因为|x|4，所以 x4 或-4同理， 或 又因为 ，所以12y0xy x、y 异号所以 8xy 10.【答案】0 【解析】 ； ，所以和为 0,1x0,1xy 11.【答案】90 【解析】依题意列式为：1500.8-3090 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 9 页 共 9 页 12.【答案】-5 【解析】由题意可得： ，代入计算得：-53,7ab 13.【答案】1； 3 【解析】 四个数的积的绝对值等于它们积得相反数，可得这四个数的积为负数，,abcd 所以负因子的个数为奇数个，从而可得最少
21、有 1个，最多有 3个. 三、解答题 14. 【解析】 解：（1）原式= 173()(48261348)(48)252 （2）因为 从而加数中都含有 ，所以逆用乘法分配律，可使运算简10.2% 便 原式 1374.5137024.5140 （3）原式= 68-+()96 (4)原式-942 142 (5) 原式= 2043)()5(3)(21 =- 0 =- 04 （6）原式= 2004200310001-2003200410001=0. 15.【解析】解：不需要改做其他项目 理由：(-15)3+203+17 4+(-23)2-45+60+68 -4637(万元)因为 ，所以不需要改做其他项目13723 16.【解析】解：20979，21978，22977，23976 （1） ，其中 表示 ； _9()9710)nn_ab10 （2）28971
