1、 全等的相关模型总结1、 角平分线模型应用1. 角平分性质模型： 辅助线：过点G作GE射线AC（1） .例题应用：如图1，在，那么点D到直线AB的距离是 cm.如图2，已知，. 图1 图22 （提示：作DEAB交AB于点E），.(2) .模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD中，BCAB，AD=CD，BD平分.求证： 图3练习二：已知如图4，四边形ABCD中， 图4练习三：如图5，交CD于点E，交CB于点F.(1) 求证：CE=CF.(2) 将图5中的ADE沿AB向右平移到的位置，使点落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论. 图5 图6练习四
2、：如图7，P是AB的中点，PD平分ADC 求证：CP平分DCBADECBP2143 图7练习五：如图8，ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：BE=CF 图8练习六：如图9所示，在ABC中，BC边的垂直平分线DF交BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DEAB于E，并且ABAC。求证：BEAC=AE。图9练习七： 如图10，D、E、F分别是ABC的三边上的点，CE=BF，且DCE的面积与DBF的面积相等，求证：AD平分BAC。2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF射线OB（1） .例题
3、应用：如图1所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于F。求证：证明：延长BE交AC于点F。 已知：如图2，在， 分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点C作CEAB交AM的延长线于点E. 例题变形:如图，求证： (3) .模型巩固：练习一、 如图3，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 图3练习一变形：如图4，在ODC中，过点E作 图4练习二、如图5，已知ABC中
4、，CE平分ACB，且AECE，AEDCAE180度，求证：DEBCACDEB 图5 练习三、如图6，ADDC，BCDC，E是DC上一点，AE平分DAB，BE平分ABC，求证：点E是DC中点。ABCDE 图6练习四、如图7（a），. 图7（a） 图7（b） 图7（c） 、如图7（b），、如图7（c），其他条件不变. 则在图7（b）、图6（c）两种情况下，DE与BC还平行吗？它与三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行) 练习五、如图8，在直角三角形中，的平分线交于自作交于，交于自作于，求证： 图8练习六、如图9所示，在中，为的中点，是的平分
5、线，若且交的延长线于，求证 图9 练习六变形一：如图10所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证 且 图10练习六变形二：如图11所示，在中，平分，于，求证 图11 练习七、如图12，在中，的平分线交与则有那么如图13，已知在中，求证： 图12 图13练习八、在中，的平分线交于，过作，为垂足，求证： 练习九、是的角平分线，交的延长线于，交于 求证： 3. 角分线，分两边，对称全等要记全 两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使OBC.（1）.例题应用：、在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。思
6、路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。解答过程：证明：如图（1），过O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=
7、70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO从而得以解决。如图（5），过P作PDBQ交AC于D，则ABPADP从而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线
8、还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。、如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由 【解析】 ，理由如下如图所示，在的延长线上截取，连接因为是的外角平分线，故在和中，公用，因此，从而在中，而，故 变形：在中，是的平分线是上任意一点求证： 【解析】 在上截取，连结，根据证得，又中，（2）、模型巩固：练习一、.如图，在ABC中，ADBC于D，CDABBD，B的平分线交AC于点E，求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。EADBC练习二、如图，已知ABC中，ABAC，A100，B的平分线交AC于D，ACBD求证：ADBDB
9、C练习三、如图，已知ABC中，BCAC，C90，A的平分线交BC于D，ACBD求证：ACCDAB练习四、已知：在中，的平分线和外角的平分线相交于交于求证：练习五、在中，平分，是中点，连结，求证： 变式：已知：在中，平分，求证：练习六、 已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC,BC=DC,CF平分BCD,DFAB,BF的延长线交DC于点E. 求证：（1） BF=DF； (2) AD=DE.ABCDFE练习七、已知如图，在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA，ABC的外角平分线与CDA的外角平分线交于点P.求证：APB=CPD 练习八、如图，在平行四边形ABCD（两组对边分别平行的四边形）中
10、，E，F分别是AD，AB边上的点，且BE、DF交于G点，BE=DF，求证：GC是BGD的平分线。练习九、如图，在ABC中，ACB为直角，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DEAB交BC于E，求证：CT=BE.练习十、如图所示，已知中，平分，、分别在、上， 求证： 【补充】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点，若，求证：为的角平分线4.中考巡礼：（1）.如图1，OP是AOB的平分线，请你利用图形画一对以OP为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。、如图2，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE是BAC、BCA的
11、角平分线， 相交于点F，请你判断并写出EF与DF之间的数量的关系。、如图3，在ABC中，ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。ABCDEF图2ABCDEF图3 AOMNEF图1（2）.如图，在平面直角坐标系中，B（-1，0），C（1，0）D为y轴上的一点，点A为第二象限内一动点，且BAC=2BDO，过点D作DMAC于M，、求证：ABD=ACD；、若点E在BA的延长线上，求证：AD平分CAE；、当点A运动时，（AC-AB）/AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。2、 等腰直角三角形模型1. 在斜边上任
12、取一点的旋转全等： 操作过程： （1） .将ABD逆时针旋转，使ACMABD，从而推出ADM为等腰直角三角 形.（但是写辅助线时不能这样写） （2） .过点C作，连AM导出上述结论.2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连AD.（1）. 使BF=AE（AF=CE），导出BDFADE. （2）.使EDF+BAC=，导出BDFADE. （1）、例题应用： . 解析：方法一：过点C作， 方法二： . 证明：方法一：连接AM，证明MDEMAC.特别注意证明MDE=MAC. 方法二：过点M作MNEC交EC于点N，得出MN为直角梯形的中位线，从而导 出MEC为等腰直角三角形. （2
13、） 、练习巩固： 已知：如图所示，RtABC 中，AB=AC，O为BC中点，若M、N分别 在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM. 、 是判断OMN的形状，并证明你的结论. 、 当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？ 思路：两种方法： 在正方形ABCD中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求BAE=DCF为多少度. 提示如右图： 3. 构造等腰直角三角形 （1） 、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角（略）；（2） 、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.如下图： 图3-1 图3-2操作过程：在图3-2中，先将ABD以BD所在的直线为对称轴作对
14、称三角形，再将此三角形沿 水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A与M，D与E重合.例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，求OCA+OCB的 度数. 4. 将等腰直角三角形补全为正方形，如下图： 图4-1 图4-2例题应用： 思路：构造正方形ACBM，可以构造出等边APM，从而造出，又根据，可得，再由于，故而得到从而得 证.例题拓展：若ABC不是等腰直角三角形，即，而是， 其他条件不变，求证：2=21. 练习巩固：在平面直角坐标系中，A（0 , 3），点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0，当A、B、C 三点围成等腰直角三角形时，求点B、C的坐标.（1）、当点B为直角顶点： 图1 图2（
15、2） 、当点A为直角顶点： 图3 图4（3） 、当点C为直角顶点： 图5 图6 3、 三垂直模型（弦图模型） . . . 由ABEBCD导出 由ABEBCD导 由ABEBCD导出 ED=AE-CD 出EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD1. 例题应用：例1.已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，D为AC中点，AFBD于E，交BC于F，连接DF.求证：ADB=CDF. 思路：方法一: 过点C作MCAC交AF的延长线于点M.先证ABDCAM， 再证 CDF CMF即可.方法二：过点A作AMBC分别交BD、BC于H、M.先证ABHCAF， 再证 CDF ADH即可.方法三：过点A作AMB
16、C分别交BD、BC于H、M.先证RtAMF RtBMH，得出 HFAC. 由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD为ABC的中位线 从而推出MDAB，又由于，故而MDAC，MDHF，所以MD为 线段HF的中垂线. 所以1=2.再由ADB+1=CDF+2 ，则 ADB=CDF .例1拓展（1）：已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，AM=CN，AFBM于E，交BC于F，连接NF.求证：ADB=CDF. BM=AF+FN 思路：同上题的方法一和方法二一样.拓展（2）：其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：PM=PN, PBPF+AF.思路：同上题的方法一和方法二一样.例2.如
17、图2-1，已知ADBC，ABE和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=，AD=2，BC=5，求四边形AEDF的面积. 图2-1 解析：如图2-2，过点E、B分别作ENDA，BMDA交DA延长线于点N、M. 过点F、C分别作 FPAD，CQAD交AD及AD延长线于点 P、Q. ABE和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=，AE=AB， DF=CD.ENDA，BMDA，FPAD，CQAD ，NMB=ENA=FPD=DQC=. ENA=MBA ，FDP=QCD. ENAABM，FPDDQC.NE=AM， PF=DQ . NE+PF=DQ+AM=MQ-AD . ADBC，CQBM，BMN=，
18、 四边形BMQC是矩形. BC=MQAD=2，BC=5 NE+PF=5-2=3 图2-22.练习巩固：（1）、如图（1）-1，直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=，是AD的垂直平分线， 交AD于点M，以腰AB为边做正方形ABFE，EP于点P. 求证：2EP+AD=2CD. （1）-1 （1）-2 （2）、如图，在直角梯形ABCD中，ABC=，ADBC，AB=AC，E是AB的中点， CEBD. 求证：BE=AD ； 求证：AC是线段ED的垂直平分线； BCD是等腰三角形吗？请说明理由. 4、 手拉手模型1.ABE和ACF均为等边三角形 结论：（1）. ABFAEC（2）.BOE=BAE=（“八
19、字模型证明”）（3）.OA平分EOF 拓展： 条件：ABC和CDE均为等边三角形 结论：（1）、AD=BE （2）、ACB=AOB （3）、PCQ为等边三角形 （4）、PQAE （5）、AP=BQ （6）、CO平分AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （7），（8）需构造等边三角形证明）2.ABD和ACE均为等腰直角三角形 结论：（1）、BE=CD （2）BECD 3.ABEF和ACHD均为正方形 结论：（1）、BDCF （2）、BD=CF变形一：ABEF和ACHD均为正方形，ASBC交FD于T，求证：M为FD的中点. 方法一： 方法二： 方法三： 变形二：ABEF和AC
20、HD均为正方形，T为FD的中点，求证：ASBC4当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：1=2=. 5、 双垂直+角平分线模型 结论：AE=AF拓展：若AP平分BAD，其他条件不变，求证：APCF 6、 半角模型条件：思路：（1）、延长其中一个补角的线段 （延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ） 结论：MN=BM+DN AM、AN分别平分BMN和DNM（2） 、对称（翻折） 思路:分别将ABM和ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.（B+D=且AB=AD）例题应用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满 足MN=BM +DN，求证：.MAN= . .AM、AN分别平分BMN和DNM. 思路同上略. 例1拓展：在正方形ABCD中，已知MAN=，若M、N分别在边CB、DC 的延长线上移动， .试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系. .求证：AB=AH. 提示如图： 例2.在四边形ABCD中，B+D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD 且 上，满足EF=BE +DF.求证： 提示：练习巩固：如图，在四边形ABCD中，B=D=，AB=AD，若E、F分别 在边BC、CD 上的点，且. 求证：EF=BE +DF. 提示：
