1、 2015届高三年级第一次联考数学（理）试卷 萍乡中学 万载中学 宜春中学 命题人：李雯 审题人：余启莉 考试时间： 120 分 总分： 150 分 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求 . 1设 z 的共轭复数是 z ，若 8,4 zzzz ，则 zz （ ） A i B i C 1 D i 2已知 ba, 均为单位向量，它们的夹角为 60 ，则 |3| ba （ ） A 7 B 10 C 13 D 4 3 从某地高中男生中随机抽取 100 名同学，将他们的体重（单位： kg） 数据绘制成频率分布直方图（如图）由
2、图中数据可知体重的平均值为（ ） A 64.5 B 59.5 C 69.5 D 50 4、宜春 为 “月亮文化节”招募了 20 名志愿者，他们的编号分别是 1号、 2 号、 19 号、 20 号若要从中任意选取 4 人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一 组 那么确保5 号与 14 号入选并被分配到同一组的选取种数是（ ） A 16 B.21 C.24 D.90 5 已知两定点 ( 1,0)A 和 (1,0)B ，动点 ( , )Pxy 在直线 :2l y x 上移动，椭圆 C 以 ,AB 为焦点且经过点 P ，记椭圆 C 的离心率为 ()
3、ex，则函数 ()y ex 的大致图像是（ ） 6如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边 BD 长为 2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且 AB=BC=1，则异面直线 PB与 CD 所成角的正切值是（ ） A.1 B. 2 C. 12D. 12 7已知实数 x，执行如图所示的流程图，则输出的 x 不小于 55 的概率为（ ） A. 58 B. 38 C. 23 D. 13 8.若方程 的任意一组解 (, )xy 都满足不等式 xy ，则 的取值范围是（ ） A. 5 , 44 B. 5 13 , 12 12 C. 7 , 46 D. 77 , 12 6 9已知 F1
4、， F2 分别为双曲线 的左右焦点， P 为双曲 线上 除顶点外的任意一点，且 F1PF2 的 内切圆交实轴于点 M，则 |F1M|MF2|的值为（ ） A b2 B a2 C c2 D 10已知函数 ( ) | 4 | ( )f x x x x R ，若存在正实数 k ，使得方程 kxf )( 在区间 （ 2， + ）上有两个根 ba, ，其中 ab ，则 )(2 baab 的取值范围是（ ） A )222,2( B )0,4( C )2,2( D )2,4( 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 11 设随机变量 2 1,5XN ，且 02P X P X a ，
5、则实数 a 的值为 13、已知数列 an为等差数列，公差 d 0an的部分项组 成的数列 ak1,ak2, ,akn恰为等比数列，其中k1=1,k2=5,k3=17，则 kn= . 14已知 )(xf 是定义在 1， 1上的奇函数且 1)1( f ，当 1x 、 2x 1， 1，且 021 xx时，有 0)()(2121 xx xfxf ，若 12)( 2 ammxf 对所有 1,1x 、 1,1a 恒成立，则实数 m 的取值范围是 . 三 .选做题：请在下列两题中任选一题作答 .若两题都做，则按第一题评阅计分 .本题共 5 分 . 15（ 1）（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，定点
6、32,2A ，点 B 在直线 cos 3 sin 0 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的极坐标为 （ 2） （不等式选讲选做题） 对于任意, si n 2 si n 3R a2恒成立，则实数 a 的取值范围 _. 四解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16 （本小题满分 12 分） 已知 ( 2 s i n , 2 c o s ( ) 1 )2a x x ， ( c o s , 2 c o s ( ) 1 )2b x x ，设 ()f x ab （ 1）求 ()fx的最小正周期和单调增区间； （ 2）在 ABC 中， ,abc 分别为
7、,ABC的对边，且 2a ， ( ) 1fA ， 6b ，求边 c 17 （本小题满分 12 分） 某商场共五层，从五层下到四层有 3 个出口，从三层下到二层有 4 个出口，从二层下到一层有 4 个出口，从一层走出商场有 6 个出口。安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层的安保工作。假设每名警员到该层各出口处的时间相等，某罪犯在五楼犯案后，欲逃出商场，各警员同时接到指令，选择一个出 口进行围堵。逃犯在每层选择出口是等可能的。已知他被三楼警员抓获的概率为 91 （ ）问四层下到三层有几个出口？ （ ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网。设抓到逃犯时，他已下了 层楼，写出 的分布列，并
8、求 E 18 （本小题满分 12 分） 如图正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，底面边长为 a ，侧棱长为 22a ，若经过对角线 1AB 且与对角线 1BC 平 行的平面交上底面于 1DB 。 （ 1）试确定 D 点的位置，并证明你的结论； （ 2）求二面角 DABA 11 的大小； 19、 （本小题满分 12 分） 数列na的前 项和为 nS， 213 1 ( )22nnS a n n n N （）求数列na的通项公式； （）若 1()2 nnnca， 2201321 1iii iiccp cc ，求不超过 P的最大的整数值 20（本小题满分 13 分） 已知椭圆 C 的中心在原点，焦
9、点在 x 轴上，离心率为 21 ，短轴长为 4 3 。 （）求椭圆 C 的标准方程； （） ),2( nP ， ),2( nQ 是椭圆 C 上两个定点， A、 B 是椭圆 C 上位于直线 PQ 两侧的动点。 若直线 AB 的斜率为 21 ，求四边形 APBQ 面积的最大值； 当 A、 B 两点在椭圆上运动，且满足 APQ= BPQ 时，直线 AB 的斜率是否为定值，说明理由。 B A P Q O x y A B C 1A1C1B21 （本小题满分 14 分） 设 ( ) ( 1)xf x e a x （ 1） 若 0, ( ) 0a f x对一切 xR 恒成立，求 a 的最大值 （ 2）设 (
10、 ) ( )xag x f x e，且 1 1 2 2 1 2( , ), ( , )( )A x y B x y x x是曲线 ()y gx 上任意两点，若对任意的 1a ，直线 AB 的斜率恒大于常数 m ，求 m 的取值范围； 三校联考卷答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B A C B B A B 二、 填空题 11、 4 ； 12、 -1 ； 13、 132 1 n ； 14、 0或2或2 mmm ; 15、（ 1） 111 6（ ， ） ；（ 2） ( ,0) 1,2 三、解答题 16、解：（ 1） 2( ) 2 s i n c o
11、 s 2 c o s ( ) 1 s i n 2 c o s ( 2 )2f x a b x x x x x s i n 2 c o s 2 2 s i n ( 2 )4x x x 所以 ()fx的最小正周期 22T 由 2 2 2 ,2 4 2k x k k Z 得单调增区间为： 3 , ,88k k k Z （ 2） 2a ， 6b ， ab 0 2A ( ) 2 s in ( 2 ) 14f A A 2sin( 2 )42A 又 324 4 4A 2,4 4 4AA 由余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c bc A 得： 24 6 3cc 即 2 2 3 2 0cc 31c 或
12、 31c 17解：（ 1）设四层下到三层有 n 个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇。 9141)11)(311( n ，解得 3n （ 2） 可能取值为 0,1,2,3,4,5 9231)311()1(,31)0( pp 9141)311)(311()2( p 12141)411)(311)(311()3( p 41)4( p 所以，分布列为 0 1 2 3 4 p 31 92 91 121 41 36614141213912921310 E 18、解：（ 1） D 为 11AC 的中点 .连结 1AB与 1AB 交于 E ， 则 E 为 1AB的中点， DE 为
13、平面 1ABD 与平面 11ABC 的交线， 1BC /平面 1ABD 1BC /DE ， D 为 11AC 的中点。 （ 2）过 D 作 11DF AB 于 F ，由正三棱柱的性质，1 ,AA DF DF 平面 1AB ，连结 DEEF, ，在正 111 CBA 中， D 是 11CA 的中点，,2323 111 aBADB 又 在 直 角 三 角 形 DAA1 中，,232121 aDAAAAD ,. 11 ABDEDBAD 所以可得 1ABEF .则 DEF 为二面角 DABA 11 的大小，可求得 34DF a ， 111 AABFEB ， 得 aEF 43 ， 4DEF .即所求 .
14、 （ 2）解法（二）（空间向量法） A B C 1A1C1BD E x yz O A B C 1A 1C 1B D F E 建立如图所示空间直角坐标系，则 ),0,21,0( aA )2 2,21,0(),2 2,0,2 3(),2 2,21,0( 111 aaAaaCaaB ， ).22,41,43( aaaD )0,43,4 3(),2 2,0( 11 aaDBaaAB 。 设 ),(1 zyxn 是平面 DAB1 的一个法向量，则可得 001111DBnABn ，所以04343022ayaxazay.所以可得 ).2,1,3(1 n 又平面 1AB 的一个法向量 ),0,0,23(2 a
15、OCn 设 ，的夹角是与 21 nn 则 .22c o s2121 nn nn 又可知二面角 DABA 11 是锐角 ,所以二面角 DABA 11 的大小是 .4 19、解： （）因为213 122nna S n n ， 所以 当 1n时，12 1 a，则1 12a， 当 2时，211 13( 1 ) ( 1 ) 122S n n ， 所以 121a a n ，即 12( ) 1nna n a n ，b 所以11 ( 2)2b b n ，而11 11 2ba ， 所以数列nb是首项为12，公比为 2的等比数列，所以12 nnb 12 nnan（）由 (1)知12 nnncn 2 1 1 1 1
16、 11 1 1( 1 ) 1nnn n n nccc c c c n n n n ， 所以2201321 1iii iiP cc 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 20141 2 2 3 3 4 2013 2014 2014 L， 故不超过 P的最大整数为 2013 20、 解： （）设 C 方程为 )0(12222 babyax 由已知 b= 32 离心率 222,21 cbaace 得 4a 所 以，椭圆 C 的方程为 11216 22 yx （）由（）可求得 P、 Q 的坐标为 )3,2(P ， )3,2( Q ，则 6| PQ ， 设 A
17、 , 11 yx B( 22,yx ),直线 AB 的方程为 txy 21 ，代人 11216 22 yx 得 01222 ttxx 由 0,解得 44 t ，由根与系数的关系得 12221 21 txxtxx 四边形 APBQ 的面积 221 3483621 txxS 故，当 312,0 m ax St APQ= BPQ 时， PA、 PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k ， 则 PB 的斜率为 k ， PA 的直线方程为 )2(3 xky 与 11216 22 yx 联立解得 048)23(4)23(8)43 222 kkxkxk（ ， 21 43 )32(82 k kkx
18、同理 PB 的直线方程 )2(3 xky ，可得22 43 )32(82 k kkx 所以2212221 43 48,43 1216 kkxxkkxx 21212121 3)2(3)2( xx xkxkxx yyk AB 214824434843161212164)(22332121 kkkkkkkkkxxkxxk 所以直线 AB 的斜率为定值 21 21 解：（ 1） ( ) ( 1)xf x e a x ， () xf x e a ， 0a ， ( ) =0xf x e a 的解为 lnxa ， m i n( ) ( l n ) ( l n 1 ) l nf x f a a a a a a
19、 ， ( ) 0fx 对一切 x R 恒成立， ln 0aa， ln 0aa ， max 1a （ 2）设 21 xx、 是任意的两实数，且 21 xx mxx xgxg 12 12 )()( ，故 2 2 1 1( ) ( )g x m x g x m x 不妨令函数 mxxgxF )()( ，则 ()Fx在 （ ， ） 上单调递增， ( ) ( ) 0F x g x m 恒成立 对任意的 1a x R ， ， ()m g x 恒成立 )(2)( xxxx eaeeaaexg a = aa 2 31)1( 2 a ， 故 3m （ 3）由（ 1）知 exx+1，取 x= ni2 ， ,12,
20、3,1 ni 得 1- 22 ini en ， 即 22()2 inni en ， 累加得 ： 12 1 2 3 1 22 2 211 3 2 1 ( 1 )( ) ( ) ( )2 2 2 11nn nn n nn e e ee e en n n ee 1 3 ( 2 1 ) ( 2 )1n n n nenne 2015届高三年级第一次联考数学（理）答卷 萍乡中学 万载中学 宜春中学 一、选择题（ 10 5=50 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题（ 5 5=25 分） 11、 12、 13、 14、 15、 (1) (2) 三、解答题 (75 分 ) 16、（ 12 分） 17、（ 12 分） 18、（ 12 分） 学校：班级：姓名：学号：密封线内不要答题装订线学校：班级：姓名：学号：密封线内不要答题装订线学校：班级：姓名：学号：密封线内不要答题装订线座位号 A B c 1A1C1B
