1、运筹学试卷 一、 （10 分） 某咨询公司，受厂商委托，对新上市的一种新产品进行消费者反映的调查。该公司采 用了挨户调查的方法，委托他们调查的厂商以及该公司的市场研究专家对该调查提出下列 几点要求： （1）必须调查 2000 户人家； （2）在晚上调查的户数和白天调查的户数相等； （3）至少应调查 700 户有孩子的家庭； （4）至少应调查 450 户无孩子的家庭。 每会见一户家庭，进行调查所需费用为 家庭 白天会见 晚上会见 有孩子 25 元 30 元 无孩子 20 元 24 元 问为使总调查费用最少，应调查各类家庭的户数是多少？（只建立模型） 二、 （10 分） 某公司受委托，准备把 12
2、0 万元投资两种基金 A 和 B，其中 A 基金的每单位投资额为 50 元，年回报率为 10%，B 基金的每单位投资额为 100 元，年回报率为 4%。委托人要求 在每年的年回报金额至少达到 6 万元的基础上要求投资风险最小。据测定每单位 A 基金的 投资风险指数为 8，每单位 B 基金的投资风险指数为 3，投资风险指数越大表明投资风险 越大。委托人要求在 B 基金中的投资额不少于 30 万元。为了使总的投资风险最小，该公 司应该在基金 A 和基金 B 中各投资多少单位？这时每年的回报金额是多少？ 为求该解问题，设 可以建立下面的线性规划模型 使用管理运筹学软件，求得计算机解如下图所示， 最
3、优 解 目 标 函 数 值 = 62000.000 变 量 值 相差值 x1 4000.000 0.000 x2 10000.000 0.000 3 约束 松驰/剩余变量 对偶价格 1 0.000 0.057 2 0.000 -2.167 3 7000.000 0.000 目 标 系 数 范 围 变量 下限 当前值 上限 x1 3.750 8.000 无上限 x2 无下限 3.000 6.400 常 数 项 范 围 变量 下限 当前值 上限 1 780000.000 1200000.000 1500000.000 2 48000.000 60000.000 102000.000 3 无下限 3
4、000.000 10000.000 根据图回答问题： a.最优解是什么，最小风险是多少？ b.投资的年收入是多少？ c.每个约束条件的对偶价格是多少？ d.当每单位基金 A 的风险指数从 8 降为 6，而每单位基金 B 的风险指数从 3 上升为 5 时，用百分之一百法则能否断定，其最优解变或不变？为什么？ e.对图中的右边值范围的上、下限给予具体解释，并阐述如何使用这些信息。 三、 （10 分） 某造船厂根据合同从当年起连续三年末各提供五条规格型号相同的大型客货轮。已知 该厂这三年内生产大型客货轮的能力及每艘客货轮的成本如下表所示。 已知加班生产时，每艘客货轮成本比正常高出 10%，又知造出来
5、的客货轮如当年不交 货，每艘每积压一年所造成的积压损失为 60 万元。在签合同时，该厂已积压了两艘未交货 的客货轮，而该厂希望在第三年末完成合同后还能储存一艘备用。问该厂应如何安排每年 客货轮生产量，使在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用为最少？建立上述运输问 题模型。 年度 正常生产时间内 可完成的客货轮数 加班生产时间内 可完成的客货轮数 正常生产时每艘成本 （万元） 1 2 3 3 4 2 3 2 3 600 700 650 四、 （10 分） 某畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有 10 个位置 Ai (i1，2，3，10)可供选择，考虑到各地区居民的消
6、费水平及居民居住密集度，规 定： 在东区由 A1，A2，A3 三个点中至少选择两个； 在西区由 A4，A5 两个点中至少选一个； 在南区由 A6，A7 两个点中至少选一个； 在北区由 A8，A9，A10 三个点中至多选两个。 Ai 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见下表（单 位：万元）所示。 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 投资额 110 130 160 90 80 100 90 150 170 190 利润 31 35 45 17 15 25 20 43 53 56 但投资总额不能超过 820 万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润
7、为最大?建立上述问题 的整数规划模型。 五、 （10 分） 某公司拟将某种设备 4 台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂。各工厂获得此设备后， 预测可创造的利润如下表所示， 问这 4 台设备应如何分配给这 3 个工厂，使得所创造的总利润为最大？用动态规划求 解。 六、 （10 分） 请确定 a、b、c 、d 各题的存储模型，确定各输入数据，不需计算： a、某公司生产一种电子设备，该设备所需的一个部件由自己的分厂提供，分厂对这种 部件的生产能力为 6000/件，分厂每次的生产准备费为 250 元。公司的这种电子设备的年需 求为 2000 台/年。装配允许滞后，滞后的费用为每台成本的 40%。该部件
8、每件成本为 500 元，年存贮为成本的 20%。求：公司生产关于这种部件费用最小的生产批量。 b、某单位每年需要一种备件 5000 个，这种备件可以从市场直接购买到。设该备件的 单价为 16 元/个，年存贮费为单价的 25%。一个备件缺货一年的缺货费为单价的 10%。若 每组织采购一次的费用为 120 元。试确定一个使采购存贮费用之和为最小的采购批量。 c、一条生产线如果全部用于某型号产品时，其年生产能力为 600000 台。据预测对该 型号产品的年需求量为 250000 台，并在全年内需求基本保持平衡，因此该生产线将用于多 品种的轮番生产。已知在生产线上更换一种产品时，需准备结束费 1350
9、 元。该产品每台成 本为 45 元，年存贮费用为产品成本的 24%，不允许发生供应短缺。求使费用最小的该产 品的生产批量。 d、某企业的产品中有一外购件，年需求量为 60000 件，单价为 35 元。该外购件可在 市场立即采购到，并设不允许缺货。已知每组织一次采购需 720 元，每件每年的存贮费为 该件单价的 20%。试求经济订货批量及每年最小的存贮加上采购的总费用。 七、 （10 分） 确定 a、b、c 的排队论模型及输入数据，并写出要求解问题的符号，不计算。 a、某公用电话占有 3 台电话机，来打电话的人按泊松分布到达，平均每小时 24 人， 每次通话的时间服从负指数分布平均为 3 分钟。
10、求： (1)到达时，不需要等待即可打电话的概率； (2)平均排队人数； (3)为打电话平均耗费的时间， b、一个机加工车间有 30 台相同的机器，每台机器平均每小时需加油一次，由于工作 强度是随机的，机器缺油时自动停机，停机数服从泊松分布。一个修理工完成一台机器的 加油平均需要 10 分钟，加油时间服从负指数分布，现有 3 个加油工人。求： (1)系统里平均等待和正在加油的机器数； (2)一个机器缺油而停机等待加油的平均时间； (3)有 1 个，2 个加油工人空闲的概率。 c、一个私人牙科诊所只有一个医生，诊室外有三把座椅可以等待。已知每名患者的平 均治疗时间为 20 分钟。来看病患者的到达服
11、从泊松分布，平均每小时 2 人。求： (1)系统中顾客的平均数； (2)患者到达需要排队的概率； (3)患者因没有等待的座位而离去的概率。 八、 （10 分） 某报亭出售某种报纸，每售出一百张可获利 15 元，如果当天不能售出，每一百张赔 20 元。每日售出该报纸份数的概率为，根据以往经验如下表所示。 试问报亭每日定购多少张该种报纸能使其赚钱的期望值最大？ 销售量（单位：百张） 5 6 7 8 9 10 11 概率 0.05 0.10 0.20 0.20 0.25 0.15 0.05 九、 （10 分） 某企业要投资一种新产品，投资方案有三个：S1、S2、S3，不同经济形势下的利润如 下表所示
12、。请用： （1）悲观准则决策； （2）后悔值法决策； （3）乐观系数法（0.5） 进行决策。 投资方案 不同经济形势 好 一般 差 S1 8 12 16 S2 23 25 5 S3 100 8 40 十、 （10 分） 某公司在今后四个月内需租用仓库堆放物资。已知各个月所需的仓库面积数字如下所 示： 月份 1 2 3 4 所需仓库面积 （百平方米） 15 10 20 12 仓库的租借费用，当租借期限越长时，享受的折扣优惠越大，具体数字如下： 合同租借期限 1 个月 2 个月 3 个月 4 个月 合同期限内每百平方米 仓库面积的租借费用 二 800 4500 6000 7300 租借仓库的合同每
13、月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据 需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理，可签一份，也可同时签定若干份租用面 积和租借期不同的合同。请建立求解出一个所付租借费为最小的租借方案的线性规划模型。 2.2管理运筹学考试试卷（B）参考答案 第一题（10 分） 标准答案： 设 xij 表示 i 时会见的 j 种家庭的人数 目标函数：（2 分） minZ=25x11+30x21+20x12+24x22 约束：（8 分） x11+x21+x12+x22=2000 x11+ x12=x21+ x22 x11+x21700 x12+x22450 xij0（i,j=1,2） 第二
14、题（10 分） 标准答案： a. 最优解：x1=4000；x2=10000；最小风险：62000（2 分） b. 年收入：6000 元（2 分） c. 第一个约束条件对偶价格：0.057；第二个约束条件对偶价格：-2.167 ；第三个 约束条件对偶价格：0（2 分） d. 不能判定（2 分） e. 当右边值总投资额取值在 7800001500000 之间时，不改变约束条件 1 的对 偶价格；当右边值回报额取值在 48000102000 之间时，不改变约束条件 2 的对偶价格； 当右边值 B 的投资额小于 10000 时，不改变约束条件 3 的对偶价格。 （2 分） 第三题（10 分） 标准答案
15、： M 为一足够大的数 第四题（10 分） 标准答案： 设 目标函数：（2 分） maxZ=31x1+35x2+45x3+17x4+15x5+25x6+20x7+43x8+53x9+56x10 约束条件：（8 分） 110x1+130x2+160x3+90x4+80x5+100x6+90x7+150x8+170x9+190x10820 x1+x2+x32 x4+x51 x6+x71 x8+x9+x102 xi 为 0-1 变量（i=1,2,10 ） 第五题（10 分） 标准答案： 阶段 3(3 分) xi Si r f(xi) X* 0 1 2 3 4 0 0 0 0 1 5 5 1 2 7
16、7 2 3 12 12 3 4 13 13 4 阶段 2(3 分) xi Si r f(xi) X* 0 1 2 3 4 0 0 0 0 1 0+5 6+0 6 1 2 0+7 *6+5 *11+0 11 1,2 3 0+12 6+7 *11+5 12+0 16 2 4 0+13 *6+12 *11+7 12+5 12+0 18 1,2 阶段 1(3 分) xi Si r f(xi) X* 0 1 2 3 4 4 0+18 *4+16 8+11 10+6 13 20 1 分配给甲厂 1 台；分配给乙厂 2 台；分配给丙厂 1 台；总利润：20(1 分) 第六题（10 分） 标准答案： a. 允
17、许缺货的经济生产批量模型：D=2000 台/年；d=2000 台/ 年；p=6000 台/年； C1=100 元/年； C2=200 元/年； C3=250 元/年(3 分) b. 允许缺货的经济订购批量模型：D=5000 个/ 年；C1=4 元/年； C2=1.6 元/次； C3=120 元/年(3 分) c. 经济生产批量模型：D=250000 台/年；p=600000 台/年；d=250000 台/ 年； C1=10.8 元/年； C3=1350 元/次(2 分) d. 经济订购批量模型：D=60000 件/年；C1=7 元/年； C3=720 元/ 次(2 分) 第七题（10 分） 标
18、准答案： a. 多服务台泊松到达服务负指数分布模型 M/M/3：C=3 ；=0.4 人/分钟；=1/3 人/分钟（1）p0+p1+p2 ；（2 ）Lq；（3）Ws(3 分) b. 多服务台泊松到达服务负指数分布模型 M/M/3：=30 台/小时；=18 台/ 小时 （1）Ls；（2）Wq；（3）p2, p1(3 分) c. 单服务台泊松到达服务时间任意模型：=2 人/ 小时；=3 人/小时（1） Ls；（2）1- p0；（3）1-（p0+p1+p2+ p3+p4）(4 分) 第八题（10 分） 标准答案： k=15；h=20；k/(k+h)=3/7；(3 分) 当 Q=8 时：；（4 分） 满
19、足条件，所以当报亭每日购 800 张报纸能使其赚钱的期望最大。(3 分) 第九题（10 分） 标准答案： （1） 悲观准则： min(S1)=8；min(S2)=5；min(S3)=-40；max min(S1), min(S2), min(S3)=8；选择方案 S1。(3 分) （2） 后悔值法：(3 分) 方案 形势 好 一般 差 S1 92 13 0 92 S2 77 0 11 77 S3 0 33 56 56（min） 选择方案 S3。 （3） 乐观系数法：E(S1)=12；E(S2)=15；E(S3)=30（max） ；选择方案 S3。 （4 分） 第十题（10 分） 标准答案： 设 xij 为第 i 月初办理的期限为 j 月的合同规定的仓库面积 目标函数：（2 分） minZ=2800(x11+x21+x31+x41)+4500(x12+x22+x32) +6000(x13+x23) +7300x14 约束条件：（8 分） x11+x12+x13+x1415 x12+x13+x14+x21+x22+x2310 x13+x14+x21+x22+x23+x31+x3220 x14+x23+x32+x4112 xij0（i,j=1,2,3,4）
