1、高考资源网（ ） 您身边的高考专家 KS5U2015 安徽高考压轴卷 理科数学 第 I 卷（选择题，共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设复数 1322i ，则化简复数21的结果是 A 1322iB 1322iC 1322iD 1322i2已知 p： 是第二象限角， q： sin cos，则 p 是 q 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3如图，若程序框图输出的 S 是 126，则判断框 中应为 A 5?n B 6?n C 7?n D 8?n 4若直 线
2、 2 2 0ax by ( 0, 0)ab被圆 22 2 4 1 0x y x y 截得的弦长为 4，则 11ab的最小值为 A 14B 12C 2 D 4 5已知约束条件 3 4 02 1 03 8 0xyxyxy ，若目标函数 ( 0)z x ay a 恰好在点 (2,2) 处取得最大值，则 a 的取值范围是 A 103aB 13aC 13aD 102a6如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零部件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切掉部分 的体积与原来毛坯体积的比值为 A 1727B 59C 1027D 13
3、7 函数 2 34y x x 的定义域为 0,m ，值域为25 , 44，则 m 的取值范围是 A (0,4 B 3 ,42C 3 ,32D 3 , )2高考资源网（ ） 您身边的高考专家 8某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、 乙两人至少有一人参加。当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻。那么不同的发言顺序的种数为 A 360 B 520 C 600 D 720 9 已知 1(2,3)P ， 2( 1,4)P ，且 12| | 2| |PP PP ，点 P 在线段 P1P2 的延长线上，则 P 点的坐标为 A 45( , )33B 45( , )33C (4,
4、 5) D (4,5) 10 设函数 )(xf 的定义域是 4,4 ，其图象如图，那么不等式 0sin)( xxf的解集为 A 1,2 B 4,12,4 C ,10,2,4 D ，1,4 第 II 卷（非选择题，共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案写在题中横线上。 11 二项式 251()x x 的展开式中，含 x4 的项的 系数为 _。 12 给出下列命题： 角 的终边与单位圆交于点 P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则 sin | |MP ； 存在 (0, )2x ，使 1sin cos 3xx； 将函数 sin(2 )4yx的图
5、象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移 4 个单位长度，得到的函数关于 ( ,0)2 成中心对称； sinyx 与 cosy x x 在区间上有且只有一个公共点。 其中错误的命题为 _。（把所有符合要求的命题序号都填上） 13由曲线 22yx ，直线 42yx ，直线 1x 围成的封闭图形的面积为 _。 14 Sn 是等比数列 na 的前 n 项和， a1 =120 ， 9S3 = S6，设 Tn = a1 a2 a3 an，则使 Tn 取最小值的 n 值为 _。 15存在两条直线 xm 与双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abaa 相交于四点 A， B， C，
6、D，且四边形 ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为 _。 0 x y 1 -2 4 1 -4 -1 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 三、解答题：本大题共 6 小 题，共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 16（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c，且 1a ， 2c ， 3cos 4C 。 （ 1）求 sinA 的值； （ 2）求 ABC 的面积。 17（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的首项为 a1 = 1，前 n 项和为 Sn，并且对于任意的 n 2， 3Sn - 4、 an、132 2n
7、S 总成等差数列。 （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）记数列 nS 的前 n 项和为 Tn，求 Tn。 18（本小题满分 12 分） 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市 100 000 名男生的身高服从正态分布 N（ 168， 16）。现从某学校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高，测量发 现被测学生身高全部介于 160 cm 和 184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第一组 160， 164，第二组 164， 168， ，第 6 组 180， 184，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。 （ 1）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况
8、； （ 2）求这 50 名男生身高在 172 cm 以上（含 172 cm）的人数； （ 3）在这 50 名男生身高在 172 cm 以上（含 172 cm）的人中任意抽取 2 人，该 2 人中身高排名（从高到低）在全市前 130 名的人数记为 ，求 的数学期望。 参考数据：若 2 ( , )N ，则 ( ) 0 .6 8 2 6P ， ( 2 2 ) 0 . 9 5 4 4P ， ( 3 3 ) 0 . 9 9 7 4P 。 19（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA 底面 ABCD， AB 垂直于 AD 和 BC， SA = AB
9、 = BC = 2， AD = 1。 M 是棱 SB 的中点 （ 1）求证： AM 面 SCD； （ 2）求面 SCD 与面 SAB 所成 二面角的余弦值； 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 （ 3）设点 N 是直线 CD 上的动点， MN 与面 SAB 所成的角为 ，求 sin 的最大值。 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆 221 : 1 ( 0 )yxC a bab 的离心率 33e ，且经过点 6(1, )2 ，抛物线22 : 2 ( 0 )C x p y p的焦点 F 与椭圆 C1 的一个焦点重合。 （ 1）过 F 的直线与抛物线 C2 交于 M、 N 两点，过 M、 N 分别
10、作抛物线 C2 的切线 l1、 l2，求直线 l1、 l2 的交点 Q 的轨迹方程； （ 2）从圆 O： x2 + y2 = 5 上任意一点 P 作椭圆 C2 的两条切线，切点分别为 A、 B，试问 APB 的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。 21（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) ln ( )f x a x x a R 。 （ 1）当 12a 时，求 ()fx在区间 1,e 上的最大值和最小值； （ 2）如果函数 ()gx ， 1()fx， 2()fx，在公共定义域 D 上，满足 12( ) ( ) ( )f x g x f x，那么就称 ()gx
11、为 1()fx， 2()fx的 “活动函数 ”。 已知函数 221 1( ) ( ) 2 (1 ) l n2f x a x a x a x ， 22 1( ) 22f x x ax。若在区间 (1, ) 上，函数 ()fx是 1()fx， 2()fx的 “活动函数 ”，求 a 的取值范围。 2015 年高考资源网考前押题试卷（安徽卷） 理科数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D C C C C D C 二、填空题 11 10 12 13 316 14 5 16223 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 三、解答题 16 解：（ 1） 37
12、c o s , si n ,44CC 2 1 2 1 4, s ins in s in s in 874ac AA C A 6 （ 2） 2 2 2 2 232 c o s , 2 1 , 2 3 2 0 , 22c a b a b C b b b b b 9 1 1 7 7s in 1 22 2 4 4ABCS a b C 12 17 法 一 解 ： 依 题 意 有nnn aSS 223243 1 2n，即 11 44346 nnnnn SSaSS 即 42 1 nn SS ，即 034342 1 nn SS，2134341nnSS 2n 所以 34nS是以31341 S为首项，以21为公比
13、的等比数列， 所以 1213134nnS，所以 1213134nnS所以 221213121311121 nSSannnnnn， 11 nan 所以 221111nna nn 法二：可退位作差求得 （ 2）由（ 1）可知 1213134nnS所以 nn sssT 21 211)21(13134 nn 92219234 nn . 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 18（本小题满分 12 分） 解：（ ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为 72.1684)100 1182100 2178100 2174100 8170100 7166100 5162( ， 高于全市的平均 值 168（
14、或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为 168.72，比较接近全市的平均值 168） . （ 4 分） （ ）由频率分布直方图知，后三组频率为（ 0.02+0.02+0.01） 4 0.2，人数为 0.25 10，即这 50 名男生身高在 172 cm 以上 (含 172 cm)的人数为 10 人 . （ 6分） （ ） 4 997.0)4316843168( P ， 0013.029974.01)180( P ， 0.0013100 000=130. 所以，全市前 130 名的身高在 180 cm 以上，这 50 人中 180 cm 以上的有 2 人 . 随 机变量 可取 0,1,2 ，于
15、是 4528)0( 21028 CCP ,4516)1( 2101218 C CCP ,451)2( 21022 CCP 5245124516145280 E . （ 12 分） 19（本小题满分 13 分） 解：（ ）以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 )0,0,0(A ， )0,2,0(B ， )0,2,2(C ， )0,0,1(D ， )2,0,0(S ， )1,1,0(M . 则 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , 2 , 1 , 2 , 0A M S D C D . 设平面 SCD 的法向量是 , , ,n x y z 则 ,0,0nCDnSD 即 .02 ,02
16、yx zx令 1z ，则 1,2 yx ，于是 )1,1,2( n . 0nAM ， nAM . AM 平面 SCD. （ 4 分） （ ）易知平面 SAB 的法向量为 1 1,0,0n .设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 ， 则 111 , 0 , 0 2 , 1 , 1 2631 6 1 6nnc o snn ，即 63cos . S A D B C M x y z N 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为 36 . （ 8 分） （ ）设 , 2 2, 0 ,N x x，则 , 2 3, 1M N x x . 又，面 SAB
17、 的法向量为 1 1,0,0n ， 所以， 2 2 222, 2 3 , 1 1 , 0 , 0 1si n =115 12 102 3 1 1 5 12 10xx xxxxxxx . 57)531(1015)1(12)1(10122 xxx. 当 531x ，即 35x 时， 735sinmax . （ 13 分） 20解：（ 1）当 12a 时， 21( ) ln2f x x x， 211() xf x x xx ； 2 分 对于 1,xe ，有 ( ) 0fx ， ()fx在区间 1, e上为增函数， 3 分 2m a x ( ) ( ) 1 2ef x f e ，m in 1( ) (
18、1 ) 2f x f. 5 分 （ 2） 在区间（ 1， +）上，函数 ()fx是 12( ), ( )f x f x 的 “活动函数 ”，则 12( ) ( ) ( )f x f x f x 令 22 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 l n2p x f x f x a x a x x 0，对 (1, )x 恒成立， 且 1( ) ( ) ( )h x f x f x= 221 2 ln2 x a x a x 0 对 (1, )x 恒成立， 21 ( 2 1 ) 2 1 ( 1 ) ( 2 1 ) 1 ( ) ( 2 1 ) 2 a x a x x a xp x a x a x x x
19、7 分 1）若 12a ，令 ( ) 0px ，得极值点 1 1x ，2 121x a ， 当 211xx，即 1 12 a时，在（ 2x ， +)上有 ( ) 0px ， 此时 )(xp 在区间 ( 2x ， +)上是增函数，并且在该区间上有 ()px ( 2()px ， +)，不合高考资源网（ ） 您身边的高考专家 题意； 9 分 当 211xx，即 1a 时，同理可知， )(xp 在区间 (1， +)上，有 )(xp ( )1(p ， +)，也不合题意； 9 分 2） 若 12a ，则有 2 1 0a ，此时在区间 (1， +)上恒有 ( ) 0px ， 从而 )(xp 在区间 (1，
20、+)上是减函数；要使 0)( xp 在此区间上恒成立，只须满足1(1) 02pa 12a ，所以 21 a 21 . 11 分 又因为 2( ) 2 ah x x a x 2 2 22 ( )x a x a x axx 0, ()hx 在 (1, +)上为减函数， 1( ) (1 ) 2 02h x h a ， 14a 12 分 综合可知 a 的范围是 11,24. 13 分 21.（ 1）由于椭圆 1C 的离心率 e= 33 ,则 33ac ， ca 3即 ，则 cb 2 ，椭圆 1C 的方程为 ,1232222 cxcy 将点 26,1 代入椭圆 1C 的方程得到 c=1,故所求椭圆 1C
21、 的方程为,123 22 xy 其焦点坐标为 )1,0( ，则 F(0 ， 1), 故抛物线 2C 的方程为yx 42 3 分 易知直线 MN 的斜率一定存在，设为 k，则直线 MN 的方程为 y=kx+1,代入抛物线的方程得到 0442 kxx 。设 ),(),( 2211 yxNyxM ，则 4,4 2121 xxkxx 4 分 由于 xyxy 21,41 2 ，故直线 1l 的斜率为121x， 1l 的方程为 ),(21411121 xxxxy 即211 4121 xxxy ， 同 理 可 得 直 线 2l 的 方 程 为 222 4121 xxxy ，令211222 41214121
22、xxxxxx ，即 ),)(21)( 212121 xxxxxx 显然 )( 21 xx ，故kxxx 2)(21 21 ，即点 Q 的 横 坐 标 是 kxx 2)(21 21 ，点 Q 的 纵 坐 标 是14141)(414121 2121211211 xxxxxxxxxy ， 即点 Q（ 2k,-1） ,故点 Q 的轨迹方程是 y=-1 6 分 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 （ 2）当这两条切线中有一条切线的斜率不存在时，根据对称性，不妨设点 P 在第一象限，则此时点 P 的横坐标为 2 ，代入圆 O 的方程得点 P 的纵坐标是 3 ，因此这两条切线所在的方程分别为 ,3,2 yx
23、 因此 2APB ,所以若角 APB 的大小为定值，则这个定值只能是 2 （ 8 分） 当这两条切线的斜率都存在时，设点 P )( 0,0yx ，过点 P 的切线的斜率为，则切线方程为,),( 1000 yCxxkyy 的方程联立消去与椭圆 06)(2)(4)23( 20000000220 xkyxkykxk ，由于直线 ),( 000 xxkyy 是椭圆 1C 的切线，故 ,06)(2)23(4)(4 20002020000 xkykxkyk 整理得： ,0)3(22 200002020 ykyxkx 10 分 设切线 PA， PB 的斜率分别为 21,kk ，则 21,kk 是上述方程的两个实根，故 ,2 3202021 xykk 又点 P )( 0,0yx 在圆 522 yx 上，故 52020 yx 所以 121 kk ，所以2APB ， 12 分 综上可知，角 APB 的大小为定值，且这个定值为 2 。 13 分
