1、 第 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分。在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求） 1.已知全集为 R，集合 | 1xA x e，2 | 4 3 0B x x x ，则 RA C BIA | 0xxB |1 3C | 0 1 3x x x 或D | 0 1 3x x x 或2.已知复数 aaiz (21R)，iz 212 ，若1zz为纯虚数，则1|zA2B3C 2 D53.如图给出 的是计算1 1 1 14 6 2014L+ + + +的值的程序框图，其中 判断框内应填入的是 A 2013i B 2015i C 2017i D 201
2、9i 4.已知 x、 y 的取值如表所示： 如果 y 与 x 呈线性相关，且线性回归方程为 y bx 132 ，则 b A 12 B.12 C 110 D.110 5.在 ABC中，,ABC的对边分别是abc，其中25 , 3 , si n 2a b B ，则角 A的取值一定属于范围 A ( , )42 B 3( , )24 C 3(0, ) ( , )44 D 3( , ) ( , )4 2 2 4 6 已知直线 : 3 2 0l ax y 与曲线 3yx 在点 (1,1)P 处的切线垂直 ,则 (1,1)P 到直线 l 的距离为 A. 71313 B. 3105 C.31313 D. 21
3、05 7.已知数列n，b满足111 ba， Nnbbaa nnnn ,211, 则数列nab的前 10项的和为 A.)1434 9 B.)134 10C.(31 9D.)14(31 108.如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 A.14 B. 15 x 2 3 4 y 6 4 5 C. 16 D. 17 9.过双曲线 C：221xyab的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、 O 两点 (O 为 坐标原点 )，则双曲线 C 的方程为 A.112B.179C.188D.
4、22112 4xy10.关于函数)42sin()( xxf，有下列命题 : 其表达式可写成 42cos)( xxf； 直线)(8 fx 是图象的一条对称轴； )(xf的图象可由xxg 2sin)( 的图象向右平移4个单位得到； 存在),0( ，使)3()( xfxf恒成立 . 其中，真命题的序号是 （ ） A B C D 11. 已知过抛物线 C： 2 2x py ( 0)p 的焦点 F 的直线 m 交抛物线于点 M、 N, 23M F N F,则抛物线 C 的方程为 （ ） A 2 8xy B 2 2xy C 2 4xy D 2 22xy 12.已知函数 f（ x）满足 11( ) 2 (
5、) , 1 , 3 ( ) = l n , , 33f x f x f x x xx 当 时 ， 若 在 区 间内，函数( ) ( )g x f x ax的图象与 x轴有三个不同的交点，则实数 a的取值范围是 A1(0, )2eB ln3 1 , )3 eCln3 1 , )32eD(0 )第 卷（ 非 选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中的横线上） 13.已知 5(1 )(1 )ax x的展开式中 2x 的系数为 5，则 a ； 14.在我校 2015 届高三 11 月月考中理科数学成绩 290 , 0N ，统计结果显示
6、6 0 1 2 0 0 .8P ，假设我校参加此次考试有 780 人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于 120 分的有 人 . 15. 已知函数 ( ) 2f x x= + sinx， 若 对 任 意 的 Ryx , ，不等式0)8()216( 22 yyfxxf 恒成立，则 22xy+ 的取值范围是 ； 16. 定义函数Ixxfy ),(，若存在常数 M，对于任意Ix1，存在唯一的Ix2，使得Mxfxf 2 )()( 21， 则 称 函 数)(f在 I上 的 “ 均 值 ” 为 M，已知2 2) logf x= x +, 1,4x ，则函数2 2( ) logx x= x +, 1,4x
7、上的“均值”为_ 三解答题（本大题共 6 题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17.（ 本小题满分 12 分） 2s i n c o s c o s s i n s i n (0 )2f x x x x 在 x 处取最小值 . （）求 的值 ; （）在 ABC 中 , cba , 分别是角 A,B,C 的对边 ,已知 ,2,1 ba 23)( Af ,求角 C. 18（本小题满分 12 分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或 拥堵的概念 .记交通指数为 T，其范围为，分别有 5 个级别： T 严重拥堵 .早高峰时段（ T 3），从某市交通指挥中心
8、随机选取了二环以内 50 个交通路段，依据交通指数 数据绘制的直方图如图所示： （ ） 据此直方图估算交通指数 T 4， 8） 时的中位数和平均数 （ ） 据此直方图求出某市早 高峰 二环以内的 3个路段至少有两个 严重拥堵 的概率是多少？ （ ） 某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟，基本畅通为 30 分钟，轻度拥堵为 35分钟；中度拥堵为 45分钟；严重拥堵为 60 分钟，求此人所用时间的数学期望 19 （本小题满分 12 分 ） 已知数列 na 满足： *1 2 1 113, , 2 ( 2 , )44 n n na a a a a n n N ，数列 nb 满足：1 0b ， *
9、13 ( 2 , )nnb b n n n N ，数列 nb 的前 n 项和为 nS . （）求证：数列 nn ab 为等比数列； （）求证：数列 nb 为递增数列； （）若当且仅当 3n 时， nS 取得最小值，求 1b 的取值范围 20. （本小题满分 12 分）已知中心在原点 O ， 左焦点为1( 1,0)F 的椭圆 C 的左顶点为 A ，上顶点为 B ， 1F 到直线 AB 的距离为 7|7 OBuuur . x y Rx S Q P O （ ） 求椭圆 C 的方程； （ ） 若椭圆 C 方程为： 221xymn（ 0mn ），椭圆 2C 方程为： 223xymn，若直线 y kx b
10、与两椭圆 2C 、 C 交于四点 (依次为 P 、 Q 、 R 、 S )，且 2PS RS QSuur uuur uuur，原点到点 ( , )Ekb 的距离为 32 ，求直线 PS 的方程 . 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 xf x e kx，其中 kR （ ） 若 ke ，试确定函数 fx的单调区间； （ ） 若 0k ，且对于任意 , ( ) 0x R f x恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （ ） 求证：当 ln2 1k且 0x 时， 2 31f x x kx 。 请考生在第 22,23,24 题中任 选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号
11、. 22.（本小题满分 10 分） 选修 4 1: 几何证明选讲 如图，设,ABCD为O的两直径，过 B作 PB垂直于 AB，并与CD延长线相交于点 P，过 P作直线与 分别交于,EF两点，连接,AEAF分别与 交于,GH. ( )设 EF中点为1C，求证：1, , ,C B P四点共圆 .( )求证 :OG OH. 23（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为123 2 2 32xtty （ t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 C 的极坐标方程为 4cos () 分
12、别将直线 l 和曲线 C 的方程化为直角坐标系下的普通方程； () 设直线 l 与 曲线 C 交于 P、 Q 两点，求 PQ 24. （本小题满分 10 分）选修 4 5: 不等式选讲 已知函数( ) 7 1f x x x m 的定义域为 R. ( )求 m的取值范围； ( )当 取最大值时，解关于 x的不等式| 3 | 2 2 12x x m- - -. 一、选择题： （ 本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分。 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A A D B D C A C C B 18.解 : （ 1） 1 c o s( ) 2 s
13、i n c o s s i n s i n2f x x x x s i n s i n c o s c o s s i n s i nx x x x s in c o s c o s inxx sin( )x 函数 f(x)在 x 处取最小值， sin( ) 1 由诱导公式知 sin 1 , 0 , 2 . ( ) s in ( ) c o s2f x x x （ 2） 23)( Af , 3cos 2A 角 A 为 ABC 的内角 , 6A . 19、解 :（ 1）由直方图知 ： 4,8T 时交通指数的中位数为 5+1 0.20.24 =356 .2 分 4,8T 时交通指数的平均数 4 .
14、 5 0 . 2 5 . 5 0 . 2 4 6 . 5 0 . 2 7 . 5 0 . 1 6 4 . 7 2 .4 分 （ 2）设事件 A 为“一条路段严重拥堵”，则 0.1PA .5 分 则 3 条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为 ： 2323331 1 1 711 0 1 0 1 0 2 5 0P C C .7 分 3 条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为 7250 .8 分 （ 3）由题意，所用时间 x 的分布列如下表： x 30 35 45 60 P 0.1 0.44 0.36 0.1 则 3 0 0 . 1 3 5 0 . 4 4 4 5 0 . 3 6 6 0 0 . 1
15、 4 0 . 6Ex .11 分 此人经过该路段所用时间的数学期望是 40.6 分钟 .12 分 19.解： （ ） 112 n n na a aQ -+=+( 2, )n n N na 是等差数列 又1213,44aaQ = 1 ( 1) 2 14 2 4n nna -= + =2 分 1133nnnbbQ -=+( 2, )n n N 11 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1()3 3 4 3 1 2 3 4n n n n nn n n nb a b b b+ + + - - = + - = - = -)(31nn ab 又1 1 1 14b a bQ - = -不等于 0 411 b
16、ab nn 是为首项，以 31 为公比的等比数列 5 分 （ ） 11 1 1 2 1( ) . ( ) ,4 3 4nn n n nb a b aQ - - = - = 11 1 1 2 1( ).( )4 3 4nn nbb - -= - + 当 2111 2 1 1( ) ( )2 3 4 3 nnnb b b - = - - 又 1 0b ， 1 0nnbb- nb 是单调递增数列 8 分 （ ） 3n当且仅当 时， 取最小值nS 0043bb ， 即21315 1 1( )( ) 04 4 37 1 1( )( ) 04 4 3bb ， )11,47(1 b 12 分 20.解： (
17、1)设椭圆 1C 方程为： 221xyab（ 0ab ）， 直线 AB 方程为： 1xyab 1 分 1( 1,0)F 到直线 AB 距离为22| | 77b a bdbab 2 2 27 ( 1)a b a 2 分 又 221ba，解得： 2a ， 3b 4 分 故：椭圆 1C 方程为： 22143xy. 5 分 (2) 椭圆 1C 的 3 倍相似椭圆 2C 的方程为 ： 22112 9xy 6 分 设 Q 、 R 、 P 、 S 各点坐标依次为 11( , )xy 、 22( , )xy 、 33( , )xy 、 44( , )xy 将 y kx b代人椭圆 1C 方程，得： 2 2 2
18、( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k b x b 2 2 2 2 21 ( 8 ) 4 ( 3 4 ) ( 4 1 2 ) 4 8 ( 4 3 ) 0k b k b k b （ *） 7 分 此时：12 2834kbxx k ， 212 24 1234bxx k 2221 2 1 2 1 2 24 3 ( 4 3 )| | ( ) 4 34kbx x x x x x k 8 分 将 y kx b代人椭圆 2C 方程，得： 2 2 2( 3 4 ) 8 4 3 6 0k x k b x b 34 2834kbxx k ， 234 24 3634bxx k 2234 24 3 (12 9
19、)| 34kbxx k 9 分 1 2 3 4x x x x ，可得线段 PS 、 QR 中点相同，所以 | | | |PQ RS 10 分 由 2PS RS QSuur uuur uuur PQ QRuuur uuur ，所以 | | 3| |PS QR ，可得： 3 4 1 2| | 3 | |x x x x 2 2 2 2224 3 (1 2 9 ) 4 3 ( 4 3 )33 4 3 4k b k bkk 2212 9 4kb （满足 (*)式） . 11 分 又 2294kb，联立上式得： 30, 2kb 故：直线 PS 的方程为 32y 12 分 21.解： (1) ,xxf x
20、e e x f x e e 当 1x 时， 0fx ；当 1x 时， 0fx ； fx的单调减区间为 ,1 ， fx的单调增区间为 1, ， 4 分 (2) fx为偶函数，所以若 0k ，且对于任意 , ( ) 0x R f x恒成立等价于对于任意 0, ( ) 0x f x恒成立 .当 0,x 时 10fx 恒成立， 0,x 时用分离参数法易求 0,ke ； 8 分 (3) xf x e kx， 2 31f x x kx 即 2 31xe kx x kx 等价于 2 2 1 0xe x kx .令 2 21xg x e x k x ， 22xg x e x k 令 22xh x e x k ， 2xh x e，当 0,ln2x 时， 0hx 当 ln 2,x 时， 0hx l n 2 2 1 l n 2h x h k ln2 1k， 0hx ，即 0gx gx在 0, 单调递增， 00g x g，故命题成立 . 12 分
