1、本科毕业论文学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2010级姓名论文题目关于和与积相等的矩阵对指导教师职称讲师2014年5月3日学号20105031305目录摘要1关键词1ABSTRACT1KEYWORDS10前言11引理及相关定理22满足ABBA的矩阵对的一些性质63主要结论及证明7参考文献121关于和与积相等的矩阵对姓名学号20105031305数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师职称讲师摘要满足ABBA的矩阵对之间有着密切联系本文从矩阵的秩、迹、非奇异性、特征值、对角化等方面，讨论了矩阵对的一些性质，并给出满足这种矩阵对条件下的一些特殊矩阵在迹与秩，行列式计算等方面的性质关
2、键词特征值；秩；迹；矩阵对；HERMITE阵MATRIXHAVINGEQUALSUMANDPRODUCTABSTRACTIFMATRIXPAIRBA,SATISFIESTHECONDITIONABBA,THESETWOMATRICESHAVESOMECONNECTIONSINTHISPAPER,WEDISCUSSESSOMEPROPERTIESOFTHEMATRIXFROMTHERANK,TRACE,INVERTIBILITY,EIGENVALUES,DIAGONALIZATION,ANDGIVETHENATUREOFSOMESPECIALMATRIXWHICHSATISFIESTHISMAT
3、RIXINTRACEANDRANK,THEDETERMINANTCALCULATIONANDSOONKEYWORDSEIGENVALUERANKTRACEMATRIXPAIRHERMITEMATRIX0前言矩阵的和与乘积是矩阵的两种基本运算，它们的特征值、秩、正定性等方面的关系问题,在理论上和实际应用中都很有意义,例如矩阵特征值与奇异值估计在矩阵计算、误差分析中有着重要的应用,因此对矩阵和与乘积的研究得到了许多学者的关注对于两个N阶矩阵A,B的乘积,一般主要研究它们的可交换性BAAB但事实上,矩阵对,AB,它们的和与积相等这对矩阵在矩阵的秩、特征值和特征向量、正定性、非奇异性等方面都有一些很密
4、切的联系通过对此题目的探讨不仅可以加深对矩阵的进一步了解同时也将所学知识与实际结合，更加深刻认识特殊矩阵在实际中的重要应用文中NE表示N阶单位矩阵，RA为矩阵A的秩，TA表示矩阵A的转置，NNH为N阶HERMITE矩阵，2TRA为矩阵A的迹，HU表示矩阵U的共轭转置，AB和AB分别为矩阵A和B的KRONECKER积和HADAMARD积以下用M表示集合,|,NNABABABABC，即N阶矩阵对AB符合条件M如矩阵231111153和211120322以及0123001200010000和0138001300010000都是符合条件M的矩阵对1引理及相关定理定义71设NNAR且TAA，若NNXR0
5、，有0TXAX，则A为正定矩阵定义2设NNAR，若TTAAAA，则称A为规范矩阵引理71若A是正定矩阵，则RE0A引理2若NNAR，P是非奇异矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是TPAP是正定矩阵引理73A是规范矩阵，若RE0A，则A是正定矩阵引理4相似的矩阵有相同的特征值引理5N阶矩阵A，B符合条件M的充分必要条件是AE和BE互为逆矩阵；且若矩阵对,AB符合条件M，则ABBA及RARB证明因为ABBAABABEEABEBEEAEBEEBEAEEBABA即ABBA又AE和BE互为逆矩阵，所以RAERBE，故RARB引理6若矩阵对,AB符合条件M，则存在N阶非奇异矩阵P和Q，使得APBQ证明由引理1
6、显然得证3引理37（HOFFMANWIELAND定理）设BCA，A，B，C均为NN实对称阵，它们的特征值分别为12N，12N，12N，则A，B，C的特征值之间有如下关系成立2211NNIIIII引理28（NEUMANN不等式）设A，BNNH的特征值分别为A，B，则111NNINIIIIIABTRABAB（1）设A，BNNH的奇异值分别为A，B，则11RENNIIIIIIABTRABAB（2）引理109设NM是交换族，那么存在一个酉阵MU，使得对每个A，AUUH是上三角的定理1设A、BNNR，A是正定对称矩阵，11TTABBAABBA，则AB是正定矩阵的充要条件是RE0B证明若AB是正定矩阵，由
7、引理2知，1212ABA是正定矩阵,由引理1得RE0B反之，若RE0B，则由引理4得1212RE0ABA因11TTABBAABBA故1212121212121212TTABAABAABAABA因此，1212ABA是规范矩阵，由引理3知，1212ABA是正定矩阵由引理2知AB是正定矩阵4定理2若矩阵对,AB符合条件M，则（1）矩阵A和B的特征值均不为1；若是A的特征值，则B对应的特征1，A和B有公共的特征向量系；（2）A可以对角化的充分必要条件是B可以对角化，即A，B可以同时对角化；（3）若A有N个不同的特征值，存在一个次数不超过1N的多项式FX使得BFA,证明（1）由引理1，0EA，0EB，即
8、1既不是A的特征值，也不是B的特征值设是矩阵A的特征向量，对应的特征值是,则1，而A,故ABABBA,1B，1B，所以也是矩阵B的特征向量，对应的特征值为1；若是矩阵B的特征向量，同理可证它也是A的特征向量,这说明A与B有公共的特征向量系2只证必要性由A相似于对角矩阵,因而存在非奇异矩阵P,使112,NPAPDIAG,I为A的特征值,所以12,NAPPDIAG令12,NP则IIIA,1,2,IN,I为A的特征向量,由1知,I也是矩阵B的特征向量,设IIIB,I为B的特征值,1,2,IN,则11121212,NNNPBPBDIAG,于是B相似于对角矩阵3A有N个不同的特征值,故A可对角化,由2知
9、B也可对角化令12,NCDIAG,取多项式F,由于I互不相同,根据LAGRANGE插值定理可知,存在一个次数不超过1N的多项式F,使得IIF1IN,则DFC,即有111PBPFPAPPFAP,从而BFA,定理1得证5推论设A,BNNC为正定的HERMITE阵，且满足条件M，则存在酉阵NNPC，使得HPAP和HPBP同时为对角阵定理3若A,B都是数域F上满足条件M的矩阵，若A,B的特征值都在中，则存在上非奇异矩阵P，使得1PAP及1PBP都是上三角矩阵，即A，B可同时上三角化证明对矩阵的阶数N用数学归纳法当1N时，结论显然，假定对1N阶矩阵结论成立，因为A，B满足条件M，则ABBA，且A与B有公
10、共的特征量，不妨A，B，其中，分别为A，B的特征值，则存在F上的N阶非奇异矩阵2,NQ，使得110QAQA，110QBQB其中向量2,NNF，1A，1B都是1N阶矩阵显然1111ABBA，于是根据归纳假设，存在F上的1N阶非奇异矩阵R，使得11RAR及11RBR同时为上三角矩阵令100PQR，则111111010000PAPQAQRARRR为上三角阵同理111111010000PBPQBQRARRR也是上三角矩阵，定理2得证推论1设矩阵对,AB满足条件M，若A是HERMITE矩阵，则B也是HERMITE矩阵，且存在N阶酉矩阵U，使得HUAU和HUBU为对角矩阵证明因为A是N阶HERMITE矩阵
11、，所以存在N阶酉矩阵U，使得612,NUAUDIAG，由定理1中（2）可知，12,NUBUDIAG显然，B也是HERMITE矩阵，且可同时对角化，推论1得证推论2设A,B是满足条件M的正规矩阵，则AB，AB，AB，AB都是正规矩阵，且存在酉矩阵U，使得HUAU和HUBU为对角矩阵推论3若矩阵对,AB满足条件M，则下列条件等价IA非奇异，（II）B非奇异，（III）AB或AB非奇异，（IV）AB非奇异推论4设A，B是满足条件M的正定（或半正定）矩阵，则AB，AB，AB及AB都是正定（或半正定）矩阵两个HERMITE矩阵积与其特征值之间的关系问题有著名的NEUMANN不等式，两个实对称矩阵和的特征
12、值关系问题有HOFFMANWIELANDT定理，故由引理3，引理4及推论1和4，有推论5设A，B是满足条件M的正定矩阵，则对任意正整数K，有KKTRABTRAB推论6若A，B是满足条件M的HERMITE阵，设I为A的特征值，则1III为B的特征值，IIII1,2,IN为AB和AB的全体特征值2满足ABBA的矩阵对的一些性质性质1如果ABBA，则有（1）ABABMM，KKKBAAB，LLBABA，KLM,均为正整数；（2）ABFBAF，其中BF是B的多项式，即A与B的多项式可交换；（3）121MMMMMBBAABABA121BABBAAMMM，M为整数；（4）MKKKMKMMBACBA0（矩阵二
13、项式定理），M为整数；7（5）MKKKMKMMBACAB0，M为整数；性质2（1）若ABBA且A是可逆的，则1A,B可交换；（2）若ABBA且B是可逆的，则1B,A可交换性质3（1）若ABBA且A是正交阵，则TA,B可交换；（2）若ABBA且B是正交阵，则TB,A可交换3主要结论及证明结论1A是正定矩阵，A、B都是对称矩阵且满足ABAB，则AB是正定矩阵的充要条件是0B证明因为ABAB，由引理5得ABBA从而易得11TTABBAABBA，而B为实数，由定理1即得结论结论2矩阵A，B为满足条件ABAB的N阶HERMITE阵，且0AB，则22TRABRANKABTRAB上述等式成立当且仅当存在一个
14、具有标准正交列的矩阵1,RNRUUUM和某个R使得HABUU证明设1,R是AB的非零特征值，由CAUCHYSCHWARZ不等式得2TRAB21RII21RIIRR2TRAB，即R22TRABTRAB8因为A，B满足ABAB所以ABABBABA，即ABBA所以A，B可交换又知A，B均为HERMITE阵，所以AB为HERMITE阵下面对等号成立进行证明充分性若HABAUU，且1,RNRUUUM为标准正交列的矩阵，则2TRAB2HTRAUU22RA2TRAB2HTRAUU2RA从而22TRABTRABR必要性记ABC，则22TRCTRCCRANK且NNHC，C为非零矩阵C为HERMITE阵，存在酉阵
15、RNMU,使得UUCH，其中,酉阵U由矩阵C的特征向量正交化，单位化得到,即RUUUU,21，且EUUH，1200R，I（RI,2,1）为C的非零特征值所以9,122221RIIHHHRIIHHTRUUTRUUUUTRTRCTRUTRUUTRUTRC又知22TRCTRCR，所以22221221RRR，将上式展开后重新合并可得23221231221R02122RRR易得R21记I，RI,2,1，则HHCUUUU，R结论3矩阵A，B，C，D均为NN阵，ABAB，且A0，则ACADBCBD证明因为10NNEACBAEBD10ACBACD所以10NNEBAEACBD10ACBACDA1BACD1ADA
16、BAC又知ABAB，所以ABBA10即有10NNEBAEACBD1ADBAACADBC故ACADBCBD结论4设NMBA,分别有特征值N,1和N,1且ABBA，则存在指标N,1的一个排列NII,1，使得BA的特征值是NINII,2121证明因为ABBA，所以BAAB根据引理9可得，它们可以同时上三角化，即存在酉矩阵NMU，使得TAUUH和RBUUH都是上三角矩阵，且分别具有对角元N,1及NII,1，又RTUBAUH有对角元NINII,2121且以它们为特征值，同时，由于BA相似于RT，所以它们必定也是BA的特征值由结论4可得推论41和推论42推论41NMBA,且ABBA，则BA的各特征值之和是
17、A的各特征值和加上B的各特征值的和证明由结论4得，BA的特征值为NINII,2121，故BA的特征值之和为NINII2121又知A的特征值之和为N2111B的特征值之和为N21NIII21显然推论41成立推论41的另一种表述若NMBA,且ABBA，则BTRATRBATR推论42若NMBA,且ABBA，N,1和N,1分别为BA,的特征值，JI，NJI,2,1,，则BA是非奇异矩阵证明由结论4知BA的特征值是NINII,2121其中，NII,1为N,1的一个重新组合又知JI，NJI,2,1,，所以0JI，NJI,2,1,，即NINII,2121均不为零,所以BA有N个非零特征值，故BA非奇异结论5
18、NMBA,，且满足ABBA，如果对角阵A的主对角线上的元素互不相等，那么B也是对角阵证明设NAAA1，其中JIAA（JI），NNIJBB，（NJI,2,1,），因为ABBA，故BAAB，可得IJJIIJIJIBAABBA，整理得0IJJIBAA，又因为JI时，JIAA，故JI时，0IJB12参考文献1杨兴东矩阵之和的特征值与奇异值估计J数学杂志,2004,2432632662席博彦,张晓明关于矩阵和与矩阵积的特征值的关系J数学研究论,2004,2446896963伍俊良,刘飞实对称矩阵和与差的一些特征值与F2范数不等式J高等学校计算数学学报,2004,2643653704SHAHUYUNESTIMATIONOFTHEEIGENVALUESOFABFORA0,B0JLINEARALGEBRAAPPL,1986,731471505黎罗罗可交换厄米特矩阵乘积的特征值J中山大学学报自然科学版,1999,382696黄涵,周士藩对称矩阵和的秩与惯性指数J宁夏大学学报自然科版,1991,124157詹仕林矩阵乘积的正定性J安徽大学学报自然科学版,2003,27210128史荣昌,魏丰矩阵分析M第二版北京北京理工大学出版社,20059王松桂，吴密霞，贾忠贞矩阵不等式M第二版北京科学出版社,200610杨奇矩阵分析M北京机械工业出版社,2005
