基于蒙特卡洛算法的状态依赖期权定价问题研究.doc

1、基于蒙特卡洛算法的状态依赖期权定价问题研究THEINVESTIGATIONOFPRICINGSTATEDEPENDENTOPTIONBASEDONMONTECARLOALGORITHM指导教师姓名申请学位级别学士论文提交日期2014年6月12日摘要当今，世界经济瞬息万变，经济风险随处可见，围绕套期保值的期货、期权及其它金融衍生产品，已经成为经济发展必不可少的工具。特别是，状态依赖型期权由于其自身特点，常常被投资者用来规避风险，但同时需要采用更加合理的数学模型和方法来对期权定价。本文基于蒙特卡洛算法研究一种状态依赖型期权定价问题，将状态依赖性很强的回望期权作为研究主体，主要研究股票为标的资产的欧

2、式标准回望期权的定价问题。复杂的期权定价模型使得在许多情况下都无法得到期权价值的解析解，而蒙特卡洛方法由于其自身的优点，能够有效的得到期权定价的数值解。本文首先详细介绍了期权的相关概念和分类、状态依赖期权的概念和分类、维纳过程和蒙特卡洛方法等基础知识，重点介绍了蒙特卡洛算法在期权定价模型中的应用。其次，分别在BLACKSCHOLES模型、CEV模型、VASICEK模型下给出对应回望期权的蒙特卡洛算法，并用MATLAB软件得到相对应期权的数值模拟，并且在BLACKSCHOLES模型下还进行了理想模拟次数的探讨，在保证时间间隔一定的情况下，得出10000次模拟可以看作是理想的模拟次数。本文在相应的

3、模型下给出回望期权定价的蒙特卡洛算法，不仅丰富了回望期权定价的研究成果，而且能够在一定程度上对实践具有指导意义。本文最后指出了今后研究需要进一步改进和探讨的方面。关键词蒙特卡洛算法；状态依赖期权；回望期权；定价ABSTRACTNOWADAYS,THEWORLDECONOMYISCHANGINGRAPIDLYANDECONOMICRISKSAREBEINGEVERYWHEREMANYPEOPLECHOOSEHEDGINGWITHFUTURES,OPTIONSANDOTHERFINANCIALDERIVATIVESWHICHHAVEBECOMEINDISPENSABLETOOLSFORTHEDEV

4、ELOPMENTOFECONOMYSOMEINVESTORSAREALWAYSUSINGSTATEDEPENDENTOPTIONSTOAVOIDRISKSBECAUSEOFITSOWNCHARACTERISTICSWENEEDTOADOPTREASONABLEMATHEMATICALMODELSANDMETHODSTOPRICEOPTIONSINTHISPAPER,WEPRICETHESTATEDEPENDENTOPTIONSBASEDONMONTECARLOALGORITHMANDCHOOSELOOKBACKOPTIONSASTHESUBJECTOFRESEARCHINMANYCATEGOR

5、IESOFTHELOOKBACKOPTIONS,WESTUDYTHEPRICINGOFEUROPEANLOOKBACKOPTIONSWITHTHESTOCKASTHEUNDERLYINGASSETBECAUSETHEOPTIONMODELSAREMOREANDMORECOMPLEX,INMANYCASES,WECANNOTGETTHEANALYTICSOLUTIONOFTHEOPTIONSHOWEVER,MONTECARLOMETHODCANOBTAINTHENUMERICALSOLUTIONSOFTHEOPTIONPRICINGWITHITSOWNADVANTAGESTHEPAPERFIRS

6、TLYINTRODUCESTHECONCEPTSOFOPTIONSANDSTATEDEPENDENTOPTIONS,WIENERPROCESSANDMONTECARLOMETHODS,ANDMONTECARLOALGORITHMAREAPPLIEDTOPRICEOPTIONSWERESPECTIVELYGIVETHEMONTECARLOALGORITHMONLOOKBACKOPTIONSUNDERTHEBLACKSCHOLESMODEL,CEVMODEL,VASICEKMODEL,ANDALSOIMPLEMENTALGORITHMBYMATLAB,ANDFINALLYRUNTHENUMERIC

7、ALRESULTSUNDERTHEBLACKSCHOLESMODEL,WEDISCUSSTHEIDEAABOUTTHEIDEALSIMULATIONTIMESINTHECASETHATTHETIMEINTERVALISCONSTANT,10000CANBEVIEWEDASTHEIDEALNUMBEROFSIMULATIONSTHISPAPERGIVESANDIMPLEMENTSTHEMONTECARLOALGORITHMFORPRICINGLOOKBACKOPTIONSUNDERTHESELECTEDMODELS,WHICHENRICHESRESEARCHRESULTSOFPRICINGTHE

8、LOOKBACKOPTIONSATTHEENDOFTHEPAPER,WEALSOPOINTOUTAREASFORFURTHERRESEARCHARISINGFROMTHISWORKKEYWORDSMONTECARLOALGORITHM；STATEDEPENDENTOPTIONS；LOOKBACKOPTIONS；PRICING目录1前言111研究意义112文献综述113论文的研究内容及方法22基础知识321期权基础322状态依赖型期权523维纳过程824蒙特卡洛方法103BLACKSCHOLES模型下回望期权定价问题研究1331BLACKSCHOLES期权定价模型1332BLACKSCHOLES

9、模型下回望期权的蒙特卡洛算法1433数值分析1534模拟次数分析164CEV模型下回望期权定价问题研究2141CEV模型下回望期权的定价模型2142CEV模型下的蒙特卡洛算法2243数值分析235VASICEK模型下回望期权定价问题研究2451VASICEK模型下回望期权的定价模型2452VASICEK模型下的蒙特卡洛算法2653数值分析27结论29参考文献30致谢31天津科技大学2014届本科生毕业论文11前言11研究意义状态依赖期权是期权中一类比较特殊的金融衍生产品，其定价与有效期内标的资产的价格变化有关。它的价值不仅仅依赖于敲定价格、到期期限T、到期日标的资产价格、还依赖于有效期内标的资

10、产的价格。状态依赖型期权的最大优点就是可以用来规避风险，而对于投资者，最为关注的就是如何把风险降到最低并获得最大利益，所以状态依赖型期权应投资者需求而产生并不断的发展壮大。自从期权推出以来，伴随而来的如何为期权定价成为学者关注的问题。学者们一直致力于推导出期权定价的公式，从而得到精确的期权价值的解析解；但是随着期权模型的逐渐复杂，在许多情况下推导出期权价值的精确解析解是非常困难的。因此，在许多期权定价模型中，就需要用到数值方法来估计期权价格，得到近似的数值解。在期权定价问题研究中经常使用有限差分法、二叉树方法和蒙特卡洛方法等数值方法，相比较前两种方法，蒙特卡洛方法的误差收敛速度与维数无关，能够

11、克服维数效应，可以很好的解决期权定价问题，在期权定价的数值方法中占有重要地位。12文献综述为了满足投资者的需求，金融市场不断的设计开发出新金融衍生产品，期权市场也由此得以发展和完善。状态依赖型期权的推出受到投资者的喜爱，为其定价也快速成为学者们关注的重点。张利花5对状态依赖型期权的定价模型及其定价方法进行了全面深入的研究，从模型的建立，到定价方法的选取都进行了系统的研究。由于本文以状态依赖型期权中的回望期权作为研究主体，下文则以回望期权为例叙述其定价模型与定价方法。国外学者最先研究回望期权定价问题，在假设标的资产价格行为变化过程服从几何布朗运动的情况下，推导出欧式回望期权的定价公式。但假设标的

12、资产价格行为变化过程服从几何布朗运动具有一定的局限性，不能满足市场的实际情况，学者们发现，不能呈现“波动率微笑”现象。COX和ROSS1对标的资产的波动率进行实证研究，建立了不变方差弹性模型（CONSTANTELASTICITYOFVARIANCEMODEL，CEV模型）。BOYLE和TIAN2构建三项式方法来接近CEV过程，并用该方法为标的资产价格行为变化服从CEV过程的回望期权和障碍期权进行定价。袁国军6,7对标的资产行为服从CEV过程的回望期权进行定价研究，根据ITO公式推导出CEV模型下回望期权价值所满足的微分方程，进一步在该微分方程下给出了差分算法并证明了算法具有稳定性和收敛性。前人

13、进行了大量的实证研究表明，市场中无风险利率是随时间变化的，国天津科技大学2014届本科生毕业论文2内学者对随机利率模型进行了研究。王莉君和张曙光8在利率服从VASICEK模型的情况下，对状态依赖期权中的亚式期权进行定价研究；田萍、张屹山等人9分别在两种利率模型下推导出欧式期权的定价公式，该公式的推导是建立在标的资产价格行为服从BLACKSCHOLES模型的基础之上；张艳秋10对随机利率下回望期权价值问题进行研究，基于利率遵循一般形式的维纳过程，推导出回望看跌期权的定价公式，并在利率服从VASICEK模型下研究回望期权定价问题。期权定价模型的发展，不仅要把标的资产的价格行为过程建立的比较符合市场

14、实际情况，而且还要重点探讨其定价方法。由于状态依赖型期权的定价依附于有效期内标的资产的价格行为变化，所以在很多情况下即使对于很简单的BLACKSCHOLE模型，也不能推导出期权定价的解析解。因此经常会使用数值方法进行近似计算。数值方法中的蒙特卡洛方法由于其自身优势，已经成为非常有效的期权定价方法。GILES3研究出多层次蒙特卡洛方法且应用该方法为期权进行定价，多层次蒙特卡洛方法能够节省计算成本。现如今，世界经济瞬息万变，投资风险随处可见。利用期货、期权和其它金融衍生产品进行套期保值，这种降低风险的交易活动受到投资者的欢迎，这些金融衍生产品也成为金融市场乃至于经济发展中必不可少的工具。然而怎样选

15、取恰当的数学模型和方法对期权进行定价成为关注的焦点。13论文的研究内容及方法本文基于蒙特卡洛算法研究状态依赖期权定价问题，选择回望期权作为研究主体，它属于状态依赖性很强的期权，其收益依赖于回望有效期内标的资产价格出现的最高点或最低点。在回望期权众多分类中，本文统一研究股票为标的资产的欧式标准回望期权的定价问题。本文先介绍论文中所要用到的基础知识，包括期权基础知识、状态依赖型期权、维纳过程、蒙特卡洛方法等。下文将介绍本文的核心。首先，在经典的BLACKSCHOLES模型下给出回望期权价值的蒙特卡洛算法，并用MATLAB软件编写程序实现算法以及进行数值分析，在数值分析的基础上进行理想模拟次数分析，

16、在其他变量恒定的情况下，进行不同的模拟次数，得到理想的模拟次数。其次，由于BLACKSCHOLES模型把波动率和利率都假设为常数，存在一定的局限性，所以下文两部分将在随机波动率模型与随机利率模型下分别研究回望期权定价问题。随机波动率模型选择CEV模型，随机利率模型选择VASICEK利率模型，分别给出CEV模型和VASICEK利率模型下回望期权的蒙特卡洛算法，并用MATLAB软件编程实现以上两个蒙特卡洛算法以及进行数值分析。最后，总结全文并对多层次蒙特卡洛方法进行简单介绍。天津科技大学2014届本科生毕业论文32基础知识21期权基础211期权概念期权（OPTION），是一种金融衍生产品，也通常被

17、叫做选择权。期权实际上是一份经济协议，签订协议的双方承诺，一方拥有在某一既定时间以某一既定的价格购买或出售协议中标的资产的权利，并且当购买权利一方行使权利时，对方必须履行相应的义务。我们称期权的购买者为买方，期权的出售者为卖方。从期权概念中，我们知道，期权买方可以行使期权，也可以放弃期权，没有必须行使期权的义务16。因此，期权买方必然需要为他所拥有的权利而支付一定的费用，这个费用就是期权的期权费（OPTIONPREMIUM），期权卖方因需要履行这种不平等的义务而获得期权费。综上，期权至少要包括以下要素买方（BUYER），购买期权者，通常也被称为多头方，需要为获得的权利付出期权费。卖方（SELL

18、ER），出售期权者，因需要接受买方的决定而获得期权费。期权费（OPTIONPREMIUM），我们也把这个买方为享有权利而支付的费用叫做权利金。这就是本文所要研究期权定价问题中的“价”。期权费是期权协议中的变量，影响期权费的因素主要是期权标的资产的敲定价格、标的资产的市场价格、标的资产价格波动率、无风险利率、标的资产的分红、期权协议有效期，这六个因素通过影响期权的时间价值或内在价值来共同影响期权价值，期权价值、内在价值和时间价值将在后面的213节中介绍。敲定价格（STRIKEPRICE或EXERCISEPRICE），也被称作交割价格、执行价格，也就是期权行使时，买卖双方交易标的资产的价格。到期日

19、（EXPIRATIONDATE），一般也被称为最后交易日，是期权可以交易的最后一天，如超过该日，就等于放弃期权。对于欧式期权来说，也只有在这一天可以交易。履约日，期权买方实际行使期权的日期，是由期权中的协议所确定的。对于欧式期权来说，它的履约日与最后交易日是同一天。标的资产期权协议中买卖双方交易的对象。212期权价值期权买方需要支付给期权卖方多少期权费呢这就是所谓的期权定价。期权价值体现期权费的多少，所以获得期权费需要利用合理的定价模型和定价方法来估计期权的价值，期权价值可以由内在价值与时间价值的和来表示。期权的内在价值（INTRINSICVALUE）是指期权被行使时，获得期权收益的现值，用标

20、的资产即时市场价格与期权敲定价格的关系来表达。对于看涨期权，天津科技大学2014届本科生毕业论文4其内在价值为MAX,0SX；对于看跌期权，其内在价值为MAX,0XS；其中S表示标的资产的市场价格，X表示期权敲定价格。期权的时间价值（TIMEVALUE）又称为外在价值，是一种隐含价值，这种价值建立在标的资产价格在有效期内的波动为期权买方带来收益的可能性。期权的时间价值可以表达为期权买方支付的期权费减去期权的内在价值。对于期权买方，期权距离到期日的时间越长，标的资产价格行为波动的可能性会越大，就使得增长期权内在价值的可能性变大，从而获得收益的机会就会更大，因此期权买方接受期权时间价值所产生的费用

21、。对于期权卖方而言，期权的时间价值表现在风险上，他需要承担在长时间内期权内在价值增长的不确定性所产生的风险，所以买方需要为此而向卖方支付费用。213期权分类期权依据不同的分类标准有不同的分类方式。（1）依据期权的行使时间不同，可以分为美式期权和欧式期权。美式期权，期权买方可以在期权到期日之前的任何一天行使的期权。欧式期权，期权买方不能在到期日之前行使并且只有在到期日这一天才可以行使的期权。若超过到期日还没有行使期权，则等于放弃期权。在期权有效期内，美式期权为期权买方提供了更多行使期权的机会，从而增大了获利的机会，因此美式期权的期权费一般较高。（2）依据期权所赋予权利的不同，可以分为看涨期权和看

22、跌期权。看涨期权（CALLOPTIONS），该期权的买方拥有在期权有效期内依照敲定价格向期权卖方购买期权标的资产的权利，且不履行必须购买标的资产的义务。对于期权卖方，在期权有效期内必须履行相应的义务，当期权买方选择购买标的资产时，卖方必须以期权协议中的敲定价格出售标的资产。看跌期权（PUTOPTIONS），该期权的买方拥有在期权有效期内依照敲定价格向期权卖方出售期权标的资产的权利，且不履行必须出售标的资产的义务。对于期权卖方，在期权有效期内必须履行相应的义务，当期权买方选择出售标的资产时，卖方必须以期权协议中敲定价格购买标的资产。例某市场上，期权双方达成协议，期权买方买入一份敲定价格为12美元

23、的某股票看涨（看跌）期权，当买方行使期权时，无论即时股票价格是多少，他都有权利在有效期内以12美元的价格买入（卖出）一份该股票期权。（3）依据期权协议中标的资产的不同，可以分为现货期权与期货期权。标的资产是现货资产的期权称为现货期权，期权双方交易的对象为现货；标的资产是期货合约的期权称为期货期权，行使期货期权后，期权协议将转到协议中的期货合约。图21是以标的资产不同为标准的分类图。天津科技大学2014届本科生毕业论文5图21期权分类图（4）依据期权是否具有内在价值，可以分为实值期权、两平期权和虚值期权。实值期权具有内在价值，并且有可能在日后行使时获得利润。在本章前文中我们已经介绍了内在价值的含

24、义及其表达形式，也分别给出了看涨期权与看跌期权内在价值的表达式MAX,0SX与MAX,0XS，其中S表示标的资产的市场价格，X表示期权敲定价格。通过表达式我们可以发现，实值期权、两平期权、虚值期权对应于看跌期权和看涨期权有不同的表达形式，将他们彼此之间的关系总结如表21表21看涨期权、看跌期权与实值期权、两平期权和虚值期权关系看涨期权看跌期权实值期权XS两平期权XSXS虚值期权XSXLOOKBACK_PUT_OPLOOKBACK_PUT_MTCL100,02,01,1,1000,1000LOOKBACK_PUT_OP11625034模拟次数分析在用蒙特卡洛算法解决期权定价问题时，模拟次数与计算

25、精度之间相互制约。对于蒙特卡洛算法，时间间隔T应充分小，模拟路径的次数应尽可能多，使得模拟标的资产的价格尽可能涵盖标的资产价格的真实分布，从而会提高计算精度，但与此同时计算的工作量也会增大。因此选择理想的模拟次数和适当时间间隔是非常有必要的。徐成贤、薛宏刚根据实证经验提出，对于期限短的期权，可以选取一个工作日作为时间间隔，对于期限相对较长的期权，可以选取一周或十个工作日作为时间间隔11，从而既能减少模拟标的资产市场价格所需的运算量，又能较好的模拟标的资产市场价格的走势。本文研究回望期权的定价，由于回望期权的价值依赖于整个有效期内标的资产各个时刻的市场价格，所以本文选取较小的时间间隔，本节与后文

26、中的数值分析中离散时间点的个数统一选取1000个。本节在相同的离散时间点个数天津科技大学2014届本科生毕业论文171000DT的情况下，研究适当的模拟次数。选取第33节的例子，在1000DT的情况下，得到不同模拟次数下的期权费，进行模拟次数分析。调用OPTIMAL2OUTPUT函数，OPTIMAL2OUTPUT函数模拟次数从1000开始，模拟次数间隔为200次，总共得到100个不同模拟次数下的期权费。OPTIMAL2OUTPUT代码FUNCTIONX,YOPTIMAL2OUTPUTS0,SIGMA,GAMA,ET,DT,PAXPALOOKBACK_PUT_OPZEROS1,100FORJ11

27、00RNRANDNPADT1DELTATET/DT1SS0ONESPA,1ZEROSPA,DT1FORI1DT1S,I1S,IS,IGAMADELTATSIGMADELTAT05S,IRN,IENDPMAXS,2S,ENDLOOKBACK_PUT_OP1,JEXPGAMAETMEANPPAPA200ENDXX200XJ1200YLOOKBACK_PUT_OPPLOTX,YEND调用OPTIMAL2OUTPUT函数X,YOPTIMAL2OUTPUT100,02,01,1,1000,1000调用OPTIMAL2OUTPUT函数XLSWRITEDATAXLS,X,SHEET1,A1A100将数据X导

28、入EXCELXLSWRITEDATAXLS,Y,SHEET1,B1B100将数据Y导入EXCEL调用OPTIMAL2OUTPUT函数，得到100个不同模拟次数下的期权费，将得到的100对数据导入EXCEL，绘制表31天津科技大学2014届本科生毕业论文18表31OPTIMAL2OUTPUT函数输出的100对数据模拟次数期权费模拟次数期权费模拟次数期权费100011547367600115565514200116433712001138293780011662481440011513081400115473080001145542146001168796160011796148200116637

29、214800116703518001180519840011550291500011564302000119236186001164003152001160628220011554808800116069415400116205824001128326900011612041560011731752600115116892001153725158001154996280011521079400115731716000115363230001171391960011461791620011663913200115729998001160004164001160700340011643391000

30、011585421660011764643600116447410200117058716800116581138001171405104001154318170001159117400011665791060011649231720011583094200114873910800116663317400116458644001171600110001156913176001155055460011603971120011439281780011443544800115308511400116997118000115023550001169302116001158844182001167104

31、520011731101180011689451840011631175400116104012000115008218600116243056001172106122001158106188001154883580011626121240011623531900011614496000116669612600116926219200116316062001158729128001163135194001154431640011518091300011694571960011620156600115535513200115296919800116320468001165317134001178

32、417200001174473700011563411360011689932020011672417200116953213800116172820400116796974001143494140001155292206001166854208001162842从表31可以看出蒙特卡洛算法在期权定价中的应用，随着模拟次数的增长，得到的期权费数值逐渐具有稳定性，也就是说用蒙特卡洛算法得到的结果是收敛的，直观结果见图31。天津科技大学2014届本科生毕业论文19005115225X10411211311411511611711811912121模拟次数期权费图31OPTIMAL2OUTPUT函数

33、输出数据的直观图通过图31，我们可以直观的发现，用蒙特卡洛算法得到期权费，其收敛效果是很明显的，模拟次数的增长使结果的波动减小，当模拟次数达到一定程度时，结果波动很小，可以不再增加模拟次数。徐成贤、薛宏刚根据实证经验提出，对于模拟次数，一般要求不少于1000次，5000至10000次之间是比较理想的模拟次数11。周世军等在对蒙特卡洛模拟在期权定价中的应用的研究中，提出通过1000期权价值的变动度边际模拟价值每次模拟来判断是否停止运算。当边际模拟价值近似为0时，则此时的模拟次数可以看作是最佳的蒙特卡洛模拟次数12。调用OPTIMAL5OUTPUT函数，OPTIMAL5OUTPUT函数模拟次数从1

34、000开始，模拟次数间隔为1000，总共得到20个不同模拟次数下的期权费。OPTIMAL5OUTPUT代码FUNCTIONX,YOPTIMAL5OUTPUTS0,SIGMA,GAMA,ET,DT,PAXPALOOKBACK_PUT_OPZEROS1,20FORJ120RNRANDNPADT1DELTATET/DT1天津科技大学2014届本科生毕业论文20SS0ONESPA,1ZEROSPA,DT1FORI1DT1S,I1S,IS,IGAMADELTATSIGMADELTAT05S,IRN,IENDPMAXS,2S,ENDLOOKBACK_PUT_OP1,JEXPGAMAETMEANPPAPA1

35、000ENDXX1000XJ11000YLOOKBACK_PUT_OPPLOTX,YEND调用OPTIMAL5OUTPUT函数X,YOPTIMAL5OUTPUT100,02,01,1,1000,1000调用OPTIMAL5OUTPUT函数XLSWRITEDATAXLS,X,SHEET2,A1A20将数据X导入EXCELXLSWRITEDATAXLS,Y,SHEET2,B1B20将数据Y导入EXCEL调用OPTIMAL5OUTPUT函数，得到20个不同模拟次数下的期权费，将得到的20个数据导入EXCEL，绘制表32表32OPTIMAL5OUTPUT函数输出的20对数据模拟次数期权费边际价值模拟次

36、数期权费边际价值1000118525411000115924600000720001156868000028120001156567000003300011456230000111300011702130000144000117164800002614000114871100002250001167062000005150001165625000017600011762420000091600011656780000007000117481000000117000116006900000680001149431000025180001174433000014900011642410000151

37、90001166978000007100001165901000002200001169169000002通过前文对模拟次数的研究，从图31可以看出，模拟次数在10000次时，结果趋于平稳；从表32得到，模拟次数在10000次时，边际价值为000002，可以看作接近于0；所以10000次模拟可以看作是理想的模拟次数。天津科技大学2014届本科生毕业论文214CEV模型下回望期权定价问题研究标的资产的价格波动率对期权市场的买卖双方是非常重要的，标的资产的价格波动率可以看作是衡量市场行情发展速度的指标。标的资产价格波动率大的市场是市场发展速度快的市场；标的资产价格波动率小的市场是市场发展速度慢的市

38、场，标的资产市场发展速度慢会造成期权价值下降。前人的实证研究表明，通过BLACKSCHOLES期权定价公式，利用金融市场上的期权费得到的隐含波动率不是恒定的常数，具有波动率微笑的现象。同时，标的资产对数收益的波动率不是恒定不变的，其变化呈微笑型并且具有波动率聚类现象，所以BLACKSCHOLES模型中把标的资产的波动率假设为常数是有一定缺陷的。许多学者对波动率的随机性进行研究，提出了大量的波动率模型。COX和ROSS对波动率进行实证研究，建立了CEV模型，CEV模型将在下文中具体介绍，之后的学者对波动率呈微笑型变化进行研究并在波动率微笑型下为期权定价。在本章中，选择CEV模型作为随机波动率模型

39、的代表，基于CEV模型下研究回望期权的定价问题，选取标准回望看跌期权为例进行数值分析。41CEV模型下回望期权的定价模型COX和ROSS（1976）建立了不变方差弹性（CONSTANTELASTICITYOFVARIANCE，CEV）模型1，该模型假设标的资产价格行为变化过程服从随机微分方程TTTTDSSDTSDW其中表示无风险利率，2（0）表示方差，为常数；TW表示标准维纳过程；（01）称为弹性因子，是一个常数，其作用是衡量标的资产价格与波动之间的关系。如果01，表明标的资产价格与波动之间呈正相关，标的资产价格越高，波动越大，标的资产价格越低，波动越小；如果0，表明标的资产价格与波动之间呈负

40、相关，标的资产价格越高，波动越小，标的资产价格越低，波动越大，但0的这种情况并不具有合理的经济意义，因为在这种情况下，在有效期起始点附近，波动逐渐消失，标的资产价格呈现负值；如果1，表明标的资产价格与波动之间呈正相关，标的资产价格越高，波动越大，反之亦然，但是1的这种情况很少出现；如果1，CEV模型的随机微分方程形式就是几何布朗运动的微分形式。综上，假定的取值范围为01。为建立CEV下回望期权定价模型，做以下假设14（1）标的资产股票价格满足TTTTDSSDTSDW，01，其中TS表示T时天津科技大学2014届本科生毕业论文22刻的股票价格，表示股票价格波动的标准方差，TW表示标准维纳过程；（

41、2）不存在无风险套利机会；（3）证券市场是有效的，允许对衍生证券进行买空卖空操作；（4）不存在交易费用与税收；（5）期权为欧式期权；（6）金融资产的交易是连续进行的；所有证券可以无限细分。42CEV模型下的蒙特卡洛算法CEV模型TTTTDSSDTSDW将有效期区间0,T离散化，离散点为0120NTTTTT，且相邻离散点的时间间隔T相同，则标的资产股票的价格行为过程的离散形式为10TSS21112121TTTTTTSSSTTSWW（41）由标准维纳过程的性质（3）0,WUWTNUT，得到21210,1TTWWNTT且1IITTT则式子（41）简化为2111TTTTSSSTSTZ2111TTTTS

42、STSTZS（42）根据式子（42）的形式，依次进行迭代，得到3222TTTTSSTSTZS4333TTTTSSTSTZS1KKKKTTTTSSTSTZS其中0,1ZN。天津科技大学2014届本科生毕业论文23通过逐步迭代，得到第一条随机路径下有效期内各个时间离散点的股票价格11TS，21TS，31TS，1TS。进行多次模拟，得到每一次随机路径下有效期内的各个时间离散点的股票价格1ITS，ITS。由32节对多种回望期权价值分析知，标准回望看跌期权的期权费0MAXIIETTTTTOPESSE。43数值分析利用MATLAB软件实现上节的蒙特卡洛算法，SIGMA表示，即股票价格波动的标准方差；ALP

43、HA表示弹性因子（01）；其他字符的含义及表示与第33节相同。代码如下FUNCTIONLOOKBACK_PUT_OPLOOKBACK_PUT_CEV_MTCLS0,SIGMA,GAMA,ALPHA,ET,DT,PARNRANDNPADT1DELTATET/DT1SS0ONESPA,1ZEROSPA,DT1FORI1DT1S,I1S,IS,IGAMADELTATSIGMADELTAT05S,IALPHARN,IENDPMAXS,2S,ENDLOOKBACK_PUT_OPEXPGAMAETMEANPEND数值分析某市场中一份标的资产为股票的欧式标准回望看跌期权，初始价格0S为100美元，期权协议从

44、当前时刻开始回望整个有效期且不支付红利。01，02，09，有效期1ET，离散时间点个数1000DT，模拟次数10000PA。调用LOOKBACK_PUT_CEV_MTCL函数LOOKBACK_PUT_CEV_MTCL100,02,01,09,1,1000,10000ANS59511天津科技大学2014届本科生毕业论文245VASICEK模型下回望期权定价问题研究利率是金融市场上最基本的影响因素。在短期时间内，一般认为利率是稳定的，可以把利率看作是恒定的常数；但在较长期的时间内，就不能把利率看作常数，因为经济的发展、一些国家政策的实施以及金融市场的波动等都会导致利率的变化16。在实际中，即使是短

45、期利率，也在时刻的变化着。在本文第3章基于BLACKSCHOLES模型的期权定价研究中，BLACKSCHOLES期权定价模型把无风险利率假设为恒定的常数，所以第3章是在常数利率下研究期权定价问题。显然，在期权有效期内假设利率为常数，是与实际市场情况不相符的，要考虑利率变化对期权标的资产市场价格的影响。前人的实证研究表明，金融市场的无风险利率是随时间变化的，进而学者们提出在利率随机的情况下研究期权定价问题。在随机利率模型的构建中，VASICEK利率模型具有重要意义，VASICEK模型采用随机过程来模拟无风险利率。对于研究期权定价问题，更多的是关注如何使期权标的资产价格行为模型更接近于现实。在这方

46、面的研究中，学者们提出了标的资产价格行为服从标准的ITO过程，并在该情况下推导出期权定价公式；在标的资产价格行为服从带有跳的随机微分方程情况下，推导出期权定价公式等等。然而，这些期权定价公式都是在利率为常数的假设条件下推导的。在实际的金融市场上，期权标的资产价格和利率都是在随机变化的，所以必须要考虑标的资产价格行为和利率都是随机变化的情况9。这就是本章所要研究的问题在标的资产和利率都是随机过程的情况下研究期权定价问题。在本章中，选择VASICEK模型作为随机利率模型的代表，基于VASICEK模型下研究回望期权的定价问题。以股票为标的资产，选取标准回望看涨期权为例进行数值分析。51VASICEK

47、模型下回望期权的定价模型VASICEK（1977）利率模型是利率期限结构模型发展中第一个具有里程碑意义的模型。它是利率期限结构中最为简洁，直观的一种单因素模型，一直在利率期限结构分析中占据非常重要的地位。VASICEK模型具有利率均值回归的特征，且简单易处理。VASICEK利率模型422TTTDKDTDW（51）其中即时利率T服从所谓的OU（ORNSTEINUHLENBECK）过程，即在0K下，对应于随机微分方程天津科技大学2014届本科生毕业论文25,DFTDTRTDZ（52）取,TFTK，2,RT。对于随机微分方程（52），即时利率T服从连续的马尔可夫过程；ZT与本文中的WT、TW都表示标

48、准维纳过程，只是符号的表达形式不同；函数,FT和2,RT分别是T过程的瞬时漂移和方差。对于VASICEK利率模型（51），在0K下，OU过程有时被称为弹性随机漫步，它是服从正态分布的马尔可夫过程。相比较于不稳定的维纳过程，OU过程拥有一个平稳分布。瞬时漂移TK保持在长期中利率均值回归，趋于；随机元素具有恒定的常数瞬时方差22，标准差2，使得过程在一个不稳定但连续的环境下围绕水平波动。为建立VASICEK下回望期权定价模型，首先做以下假设设标的资产股票价格行为变化过程服从几何布朗运动11TTTTDSDTDWS（53）利率随机过程由VASICEK模型给出22TTTDKDTDW其中，T是T时刻的利率

49、，1，2为常数，K，为常数，1TW，2TW为不同的标准维纳过程。其次，在以上假设的基础上做如下假设（1）标的资产股票价格服从预期收益率T为随机过程，标准差为常数1的几何布朗运动；（2）利率T服从前文解释的OU过程；（3）市场由无风险资产和风险资产两种资产组成，无风险资产为债券，风险资产为股票；（4）不存在无风险套利机会；（5）不存在红利的支付；（6）允许使用全部所得进行卖空；（7）市场是有效的，即没有交易费用，对于所有的投资者信息是同时获得的，每一个投资者都是理性的（用所获得所有信息创造多利润而不是少利润）。天津科技大学2014届本科生毕业论文2652VASICEK模型下的蒙特卡洛算法由式子（5