1、基于曲波变换的图像去噪摘要我们描述近似数字实现的两个新的数学转换，即，脊波变换2和曲波变换56。我们要实现的是提供重建的精确性和稳定性，避免扰动的同时实现较低的计算复杂度。一个核心工具是近似计算傅氏频域内的数字转换。我们引入一个非常简单的插值在傅里叶空间一个极标内用笛卡儿样本和产出样本，尽管进行了简单的插值，但产生了超乎预料的视觉表现。脊波变换适用于在频域内有紧凑形态的一个特殊完备小波峰的RANDON变换。脊波变换为一个曲线波变换的一个组成步骤，通过小波滤波器组以实现部分波段有曲线波变换。我们贯穿全文的理念是所应用的变换应该是完整的完备的。而不需要通过进行严格的采样。我们通过应用这些数字转换把
2、嵌入图像中的白噪声消除，以达到给图像去噪的目的。在这份测试报告里，简单阈值作为曲波变换的系数这种方法跟基于小波的方法相比具有非常多的优势，其中包括二进制阈值和非抽样小波转换。基于树形结构的贝叶斯变换后验平均值的方法等等。此外，曲波变换重建可以提供更加锐化的图像，还有特别是边缘和衰弱线性或者曲线性的高质量的重建使得比基于小波的重建展示出更高的知觉质量。曲波变换和脊波变换的现有理论表明这些新方法可以在某些特定的图像重建问题中优于小波方法。本论中的实证结果也为这种观点提供有力支撑。索引词曲线波变换，离散小波变换，FFT，滤波器，快速威尔变换。RANDON变换，脊波变换，阈值变换，小波变换引言小波图像
3、去噪过去的十年中，人们对于用小波去噪这种方法在信号去噪和图像去噪方面产生了深厚的兴趣。在发表于工程科学杂志上的数以百计的资料中，许多基于小波方法的工具和想法被提出和研究。起初的努力包括一些很简单的想法，像噪声数据阈值变换的正交小波系数，接着是重建。后来的工作发现在视觉质量可以通过基于阈值变换的小波抽取采用平移不变的变换实现根本性的改善。近来又有了更多的发现，基于树形结构的小波去噪方法在图像去噪方面又有了新的发展。，具体是通过提取树形结构的小波系数和所谓的类似于父子关系存在于图像边缘的小小系数。还有许多科研人员还进行了不同的基本方案改进，包括改进阈值方程，等级相关阈值，自适应阈值，贝叶斯条件期望
4、非线性等等。研究者们广泛的工作产生了大量的关于文献，通过结合达到了大量的改进，产生了许多实质性的成果。未来可以的新方法前瞻在这篇文章里，我们提及最重要的新近引进的变换方法在图像去噪的领域的应用，像脊波变换和曲线变换均被提出作为替代图像数据的小波变换。这些方法将会在下面被详细介绍，但是基础的理论仍然在进行研究中。用软件来计算这些新的变换仍然处于成型期，作为各种权衡和选择仍然在萌芽之中。尽管我们已经完成了最重要部分的软件研究，尽管在实施和细心订正上付出了时间和精力，跟小波变换图像去噪相比较，我们对于已经取得的成功非常惊奇。我们在这里所展示的新方法，在它前期的发展过程中已经表现出和小波变换相比一致也
5、许好于这种方法。特别地，我们在标准图像一系列潜在的噪音水平上显示出更好的峰值信噪比，像BARBARA和LENA。（其它的一些例子在我们的网站也有展出）。我们比较主要在标准小波变换方法的阈值标准抽取小波变换、小波变换的阈值大幅度下降和基于树形结构贝叶斯方法之间进行。尽管只用一些举例来论证的结论是正确性是有限的，我们目前提出的结论与曲线变换去噪的理论的发展是一致的显示出在复原边界模糊的图像方面，曲线变换比小波方法可以获得更小的渐近均方误差。由于我们所研究的图像都是小尺寸的，所以渐近线理论并不一定完全符合。但是，我们也已经发现，在一些特定的尺寸当中出现了比小波方法更好的新方法。把我们这里所展示的理论
6、和其它地方已经出现的理论相结合，我们可以得出这样的结论新的方法可以提供一种更好的前景，更有可能回馈给我们在近似图像重建方面更加深远的发展。C新变换在过去几年中新的脊波变换和曲波变换方法的发展都试图打破小波图像去噪方法的不足。这种限制源于著名的经常被描绘的事实二维小波变换会显示出很大的小波系数，即使在正常尺寸当中的图像一些重要的边缘，所以在出现很大小波系数的图像当中，人眼可以发现图像的边缘在不同尺寸当中重叠。然而这种视觉效应非常有趣，但它意味着需要更多的小波系数来使图像边缘的重建成为可能。当存在很多小波系数需要估计的时候，其中必然面临许多困难。存在一种基于为人熟知的统计在简洁和精确度之间施行折衷
7、的方法，但即便是最好的平衡也会存在相对大的均方误差。虽然这是小波方法固有的折衷方法（以及傅里叶和许多其它标准方法），在理论方面还存在更好的平滑图像边缘重建图像的方案。例如，渐近参数表明，在一定的针对用一般噪声参数处理带噪图像的连续介质模型中，为了恢复一个图像边缘，理想的MSE只适用于小波变换方法。为逼近这个理想的MSE，应该开发只用非零参数精确表示的平滑方程和图像边缘。因此，因为如此少的系数用于平滑方程和图像边缘，在简洁和精确方面可以实现更加理想的折衷和更小的均方误差MSE。脊波变换和曲波变换主要被用来展示在表示平滑方程和同时照成图像边缘方面之间的相关程度。连续的脊波变换可以提供平滑方程和完美
8、直线边缘。像2中所述二维脊波变换可由任意二元叠加的方程元素表示,21XXF，/SINCOS212/1ABXXA，在这里是小波，A0是标量参数，是定向参数，B是位置标量参数。这些所谓的脊波是沿着SINCOS21XX，也沿着正交方向。因为较小的脊波0A会在BXXSINCOS21。还有各种离散脊波变换，像扩展成基于帧的可数的离散的生产元素。对于所有这些观念，有一个帧或元素位于所有地方和方向，置于所有尺寸之中。已经表明了的这些方案，离散脊波的简单阈值变换可以提供不错的平滑方程和沿着7，4，17的不连续的线。简单的说，离散脊波变变换表示法可以解决平滑方程和图像边缘的疏松近似。在图像处理中，边界一般都是弯
9、曲的不是直线，脊波并不能单独有效的表示出来全部内容。然而，在足够小的尺寸中，一个弯曲的边界往往近似是直线，所以要想捕捉这些直线，必须将脊波变换布置在一个局部的方面中。两种用于定位脊波的可能方法1）单尺度脊波在这里想象平面可以被分割为给定大小的合适尺寸，建立在大小3一个正常平滑脊波。2多尺度脊波想象平面属于一个无穷级数的分区，基于一种动态的尺度，其中任一部分，象单尺度变换一样包含动态尺度的一个方形。对应生成元素法则是一个脊波窗口的金字塔，可以转化成任何尺寸和位置，参见IIB和IV部分。以上两种方法在本文中都占有重要的地位。曲波变换是基于多尺度脊波与带通滤波器的结合65。像脊波变换，曲波变换可能出
10、现在不同尺度和位置方位。然而，尽管脊波都具有通用的长度和可变的宽度，曲波除了有可变的宽度还有可变的长度，还有各向性。长度和宽度在合适的尺寸是通过2LENGTHWIDTH联系起来的，所以各向性的增长和尺寸的减小像一个能量法则。最近的研究表明，离散曲波阈值系数可提供最优N项代表平滑不连续伴随2C曲线。数量上，曲波阈值尺寸的N项平方近似误差类似23/LOGNN。这种近似理论性的结论表明了下面的统计结果。选择一个阈值使得通过3/2N的最大曲波系数在一个带噪图像中的噪等级为，使得它获得MSE值3/4O。反之，在分析一些带边界的图像时，拥有N项平方的小波变换的近似误差大小在1N，小波阈值可以提供一个相符的
11、MSEO，没有比这更好的方法了。D本论文以下根据一个特定连续空间理论模型，离散脊波变换和离散小波变换可以提供在简洁和精确度之间的相关度近于理想的的值。在一个特定的连续空间统计理论中，这表明简单的噪音阈值在这些扩展中是一个最优的白噪音去噪方法。本论文我们提供一个重要的用于检测这些用于数字图像处理设置方法的测试，这些图像都是基于BBYNGRID大小。我们首先复习一下一些基本的关于用脊波和曲波代表连续空间的概念。下一步我们用这些概念去开发一系列数字脊波和数字曲波变换，把数字数据放入笛卡尔网格中。下一部，我们试图用一个去噪的模型，在那我们用一些标准的带白噪声的图像，运用曲波阈值变换。最后，我们讨论翻译
12、和在以后工作当中的可行性方案。不出意料，其它一些研究者也正在对实现脊波曲波变换方面作出，正在相应的开发出一些程序。在本论文的同除了已经提及的内容，我们还将指出DOANDVETTERLI13和DONOHOANDDUNCAN18和所作的一些工作，我们也将提及SAHINERANDYAGLE2123的文章。OLSONANDDESTEFANO20，ZHAOETAL30，ZUIDWIJK31。尽管这些参考与本文并不直接相关。II连续脊波变换二维连续脊波变换中的2R可以被定义为2我们选择一个平滑不变方程RR，包含足够的延迟，满足容许的条件有近零的均值。我们假定是标准值，则122D）（，对于每个A,我们假设二
13、维变量脊波2/SINCOS212/1ABXXAXAB方程中的常数与CONSTXXSINCOS21有关。脊波的系数与R有关。最后我们得出重建020,BARXFF方程其中这个方程是稳定的基于帕斯维尔关系。因此，像小波变换和傅里叶变换，证明3表明可以表示任何函数是连续脊波函数的叠加。离散与模拟（3）和（4），其中2和17稍有不同。ARANDON变换一种基本的计算脊波系数的方法是在RANDON域内分析一系列小波变换。我们回忆RANDON变换F是线性积分RRRRRR其中，就迪拉克服从分布。脊波系数通过RANDON变换DTABTATRFBARF/,2/1得出。因此脊波变换其实就是一维小波变换在RANDON
14、变换内的几部分。其中角变量是常数，T是变量。B脊波型用O表示一个二值代表所有的O值，其中O，用表示一个极好的平滑窗服从于其中SQQQS,2然后不难得出，再计算出ABQQABQQQQQQTWTWFFWFS,2证明（6）表明脊波元素接近Q均方时可以代表任一由ABQQTW组成的方程。服从SIN2COS2,221SSQQSQKKBBAA，ABQQTW是一个加窗的脊波，所以可以将其命名为局部脊波变换。上一段介绍了由固定长度的局部脊波变换，其中S2是固定的，通过ABQQQABTW上述就是全部的脊波变换型，可以代表所有基于多尺度脊波变换系统和方程III。近似的数字脊波变换综上所述，计算一个脊波系数的第一步就
15、是计算RANDON变换,TRF，第二步就是把是应用小波变换,TRF，在这一部分我们讲简介数字程序。ARANDON变换的四个步骤解决RANDON变换的基本事实是投影方程12,SIN,COSDTETRFFTI以上方程说明RANDON变换可以通过一维傅里叶反变换和二维傅里叶变换得到这同时也表明RANDON变换可以通过电脑运用快速傅里叶算法实现，这是在医学图像和合成孔径雷达图像上被广泛运用的方法。其中关键的近似误差和可能产生的假象被广泛的讨论。通过1,0,2121NIIIIF12DFFT计算2DFFT中的F运用12/,2/,2121NKKNKKF2）笛卡尔极变换，运用插值的方法代替傅里叶取样值3）1D
16、IFFT计算每一行的1DFFT值这种与脊波变换有关的策略在前文1415已经被提及。B一种数字化数据的极抽样方案在进行笛卡尔极变换时，我们用近似极变换我们用方形近似代替圆形，这种方格在信号处理文献中常被称为同轴方格，在医学X影像文献中经常与LINOGRAM相联系起来，而在（14）中被称作方形格，方形格在的几何学中的表述在表1。中已经被展现。我们选择2N作为在频域平面内的辐射线通过,21KK。更确切的说，样本点都在线上，它的偏角在4/之间，平面方向根据2/,12/,2/,222NNNKKX，同理在垂直方向上是2/,12/,2/,111NNNKKX最终，在方格上的数据结构形状将呈现出矩形，我们在观察
17、时会因为角变量的的变化而调整。C在极方格网格内的插值为了从网格内获取样本，我们通常通过笛卡尔网格上样本的插值方法来得到。原则上比较（15）傅里叶变换的插值是一种很微妙的关系，因为众所周知的是一个图像的傅里叶变换是动荡的，其中相位包含了图像中的重要信息。在这里，我们用一种很简单的插值方法简单的把傅里叶的值,MF从笛卡尔网格最邻近M,的一个点中取出。然而，很明显，这需要更加复杂的方法从笛卡尔极变换中实现。甚至简单的双线性插值也能实现理论上的精确度。一种更加精确的方法在14中已经应用，它要通过把,21KKF当作样本，其中F可以通过来定义，在方点阵中/2,/2,2121NKNKFKKF，其中2/,2/
18、21NKKN。结果我们发现在极网格中，141是一个可以实现快速计算F值的算法。这种高精确度的方法应用用反变换中可以实现从方格样本中精确重建原始三角多项式的可能。我们的最近领域插值，虽然很简单，但是能在实际应用中提供非常好的结果。实际上，非常多的实验表明，在总体系统表现当中，可以实现准确的插值方案。以下内容可以提供很清楚的解释。简单的说，这种三角多项式中的高频项F与NN的网格中边界像素具有很高的相关度。我们简单的插值在重建这种高频项中不太可能实现。然而，在曲波应用中参见下面内容我们用窗函数去减除接近图像边界排列的权值。那么，不精确的简单插值图像重建当中，可以期望得到对图像重建很少的影响。最后，关
19、于我们实现的重要一点。因为，我们感兴趣的部分是图像去噪，那么手工去噪就显得很重要。在我们考虑SNR时，会产生非常多的走样的高阶精确的插值方程相对基本不会产生走样的低阶精确度方案来比，显得并不是那么有用了。一种常见的三角多项式走样插值本地的扰动，像不连续性，会产生大范围的间断。这就是说，我们简单的插值方法可能会在实现特定用途方面表现出相对好的效果。D准确的重建和稳定性关于笛卡尔变换是可以实现反变换的。换个说法，在这种方法中给定的极值下，可以精确的复原出笛卡尔值。要想参看这部分内容，详见THEASSIGNMENTOFCARTESIANPOINTSASNEARESTNEIGHBORSOFRECTOP
20、OLARPOINTSHAPPENSINSUCHAWAYTHATEACHCARTESIANPOINTISASSIGNEDASTHENEARESTNEIGHBOROFATLEASTONERECTOPOLAR。它服从每一个输入阵列的笛卡尔值都被至少一次复制进入方格输出阵列之中。因此，完备的重建，很明显，在原则上，这种实现是可能的，只需要寻找输入端的位置，然后取消进程。我们关于重建的法则包括，对于每一笛卡尔网格内的点，在方格网格内所有算术平均值都能找到在笛卡尔网格中最近的点。这就提供了字上的左变换运算。事实上，如果应用于一组不定的方格值，这种法则可以提供一种近似的在笛卡尔值重建，会实现比不定的方格值下
21、更加小的误差系数。（最终的评价会在本论文去噪部分阐述，我们的重建会一直从噪音数据通过方格FT变换中得到），用数学公式表示就是/1CRRRCYCRX其中，C是在笛卡尔网格中给定的点，RCR是一组方格中最近于C的点。例如，我们可以从以下观察到，因为CCR是一组方格中一组点的一部分，计算通过笛卡尔网格的这最后的不等22YX，它可以用来解释斜体字所表述的要求，因为我们可以看到，它服从准确的重建和反变换的稳定性。考虑到方格点是由时间轴上一系列基本的竖直的线组成，也就是说，这些线在竖直方向上的角度不超过4/，更确切的的说，这些点都在一条水平的扫描线上。假设这条扫描线不是在阵列的顶端或是底端，这些点在空间的
22、分布都严格型的小于一个单位的距离，这里所说的单位距离是指在笛卡尔网格的距离。因此，当我们笛卡尔网格内的点C属于这条扫描线时，问问方格内的点R和R哪一个是最接近它的左边，哪一个逼近它的右边，它们各自都不可能多于一个单位的距离1RLRR。因此，两个点里至少有一个必须严格小于1/2个单位距离，在笛卡尔网格内。或者说，不管2/1CRL还是2/1CRR。不排除普遍性的假设。然后，很明显C是R在笛卡尔网格内最近的点。简单的说，每个笛卡尔点在时间轴上都有一条基本竖直的线在方格点上最近。相似的表述可以说成时间轴边界的点，虽然评价这些说明都非常的简单，本质上仍然只是观察。相似的表示也可以说成平移的时间轴上的点。
23、斜体字的要求已经被说明完毕。E一维小波变换为了完成脊波变换，我们必须在半径可变的RANDON变换用一维小波变换实现。现在我们讨论一维数字小波变换。经验告诉我们，紧支集小波当中非线性方法时可能会产生许多视觉走样像单独的小波系数硬阈值特别的像在使用精确取样的抽样小波方案中。还有，由于缺少紧支集小波在频域内的伴，在简单的小波系数会产生小范围的起伏。不是在我们设定中所不愿意看到的。在这里我们选择频域内的方法，其中离散傅里叶变换是通过RANDON反变换重建出来的。这些思考可以指导我们用带限的小波紧支集在傅里叶频域之中要好于在时域之中。别的一些实现可以从紧支频域内做出选择，如14，15。然而，我们已经选择
24、特定的完备系统，它是基于STARCKET的工作成果26，28，他建立了小波变换，然后把它应用到图像重建干涉仪之中。这种小波变换算法是基于尺度函数，以至下降延迟到,CCVV之间。我们定义尺度函数，作为归一化样条，其中作为两个连续结果之间的差值22VVV。因为是紧支的，根据取样理论可以得出基于NNN212/的元素，参见28查看更多内容。这种变换有以下一些特点小波系数是直接从傅里叶空间中计算得出。在脊波变换章节，允许避免一维傅里叶沿着辐线的反变换。每个部分波段都依据尼奎斯特频率被取样，因此，可以避免重叠一种在严格取样的小波变换当中会典型出现的一类现象25。这类重建是琐碎的。小波系数只需简单的相加就能
25、够重建给定点的输入信号。在我们的应用中，这表示，脊波系数也只用进行简单的相加就可以实现重建。这种小涌上变换引入了另外一种余度系数，这种余度系数可以被视作严格抽样正交的一个标准来看待。然而，我们发现我们要完成的实现不是数据压缩或者进行有效的编码在那里的严格的取样具有重要的相关性但在图像去噪方面，系统的完备度是一个非常明显的优势。F整合这些片段表格2表明脊波变换的流程图。NN格式图像的脊波变换是2N2N格式，由于引入了相当于4倍的余度系数。我们发现，因我们的变换是根据一系列的步骤，每一步都是可逆的，整个的变换是可逆的，所以可以进行适当准确的重建。同理，在存在扰动系数的重建当中，重建也将是稳定的。最
26、后一条但也是最重要的一条，我们的离散变换是具有计算机应用可能的。实际上，我们在这里所展示的这种算法并不复杂，因为它只需要进行NN图像关于LOG2NNO的反复计算即可。G数字离散脊波变换坦白的说，在脊波理论和我们要实现数字目标之间有清楚的差异，我们还需要一些纠正性的理论。在我们的数字脊波结构中，方向矢量是数目是常数，也就是说，在单独的尺度的上，理论上，方向矢量的数目是与尺度成反比例的2。换句话说，这个理论表明在一组由两个合而为一的因素倾向于对象是简单的尺寸，在这个方向上取样是减像素取样。从一些程度上说，我们数字实现在简略尺寸上的持续的过采样。与小波算法去噪有一种类比的说法。在正交的小波结构图上，
27、每一个尺寸上元素的数量和位置是固定的独立的尺寸。不抽样的小波变换通常用于不带这服从这个原理的图像去噪。在其它简略的尺寸中每个尺度和位置都有持续的元素。这种有余度的系统在实践中已经被建立。因为我们努力的方向是去噪设定，拥有更多的方向矢量自然是多多益善。继续这种类比，不抽样的小波变换被认为是平移不变的。然而，我们所介绍的数字脊波变换在某些意义上讲是旋转不变的。我们想要明确的认清楚，这里所提及的数字脊波变换主要用于图像去噪的目的。一些其它的方法则可能适用于一些其它目的。H平滑分块局部脊波变换在第二篇IIB当中的提及的关于数字的观点把原始的NN图像分割成平滑重叠的B个像素的部分，以至于两个垂直重叠相信
28、的两部分以2/BBYB尺寸成矩形排列。我们用重叠来避免区域走样的出现。对于NN的图像，我们在各方向上计算BN/2。由于一个像素同属4个邻近的区域，因此这种分割引入了冗余。在此，我们提出两种相匹的策略来分析和综合。1）区域值是依据各不同区域再生出原始像素值的方法来得出的。2）区域值是分析得出的图像像素值，但在进行图像重建时又加权了。当然，我们也有中间策略来解决这个问题，可以把平滑窗应用于分析综合的阶段，例如像篇IIB介绍的那样。在第一个方法中，数据被窗函数平滑了，体现了分析由于边界上升导致的走样的优势。它的缺点，然而，是灵敏度的下降。事实上，假设考虑到简洁性，一个密度L的垂直的线贯穿在一个给定的
29、区域B中。不计耗损，则噪音标准差近1。当RANDON变换的角参量与那条线一致时，我们得到一个信号密度BL的量度，而噪音标准差近于B在这种情况下，SNR近LB。当在分析阶段计算时，SNR近似等于LBWWLBIIIBI121/。实验表明这种灵敏度的损失对于以有实质性的影响，因此，由于我们的目标是图像重建，第二种方法可能显得更加合适。我们计算一像素值，通过一致的四个区域值2/B也就是,2131,1122111JIBJIBJIBJIB和,224JIB，其中2/,11BJI，计算,JIF，按下面所讲的方法其中2/COS2XXW。当然，也可以选择其实的平滑非递增方程来满足00,01,10WWW，而且服从对
30、称性11XWXW需要注意的是，空间划分带来四倍的余度。最后，我们阐述，为了与理论保持一致，引入一个基于区域尺寸的标准因子。然而，由于我们考虑去噪和单独系数的阈值，归一化不是所要关心的问题。归一化系数与阈值一样相应自动生成，参见篇V。IV数字曲波变换A连续方程的离散曲波变换我们简单回顾一下篇IIB中的连续观点。假设我们确定一个重要的目标，为产生一个用多尺度脊波结构的分解。这种想法可以允许我们一下就可以重建图像，当所有长宽都提供的时候。特别的，这也可以允许我们用一些非常小带宽的伸长元素来精确追踪尖锐边界。像篇IIB中提及的那样，全尺度脊波结构是非常完备的，因此，当好的分割存在时，便捷的算法像简单阈
31、值法，不能找出稀疏分割，。一个重要的曲波变换成分是通过减小尺度冗余来重建疏松度。详细的说，可以通过子带滤波器引入正交尺度。概略的说，不同多尺度脊波变换结构用于展示不同子带滤波器输出值。同时，这种部分波段分割也明示出宽度和长度这种重要框架元素的关系，使得它们具有多向性并服从2LENGTHWIDTH连续函数2,1XXF的离散脊波变换去用二阶尺度序列和滤波器，其中带通滤波器S是介于2,2222SS的频率之间的。例如，FSS2,222SS。在小波理论中，可以运用分割二阶部分波段2,21SS。相反，在连续方程的离散曲波变换的子波段具有非标准的形式如2,2222SS。这种非标准的离散曲波变换的形式是值得记
32、住的。在篇IIB的概念中，曲波分割是依据以下几步来完成的。子波段分割。F被分为子波段,210FFFPF平滑分割，每个子波段被平滑加窗成为合适的均方以其SQQSQSFF再归一化操作，每一个结果的平方都被统一成一个单位尺度。SSQQQQQFTG,1脊波分析，每个平方均通过脊波变换来分析。在这里的定义中，二阶子波段2,2122SS和2,22212SS在应用脊波变换之前是联系在一起的B数字实现在进行像类似于连续方程,21XXF离散曲波变换NN数据量的变换中，我们用以上提到过的近似数字概念来代替每一个连续的概念。通常情况下，转换是很直接和明显的。然而，经验告诉我们，修改是必需的。我们发现，将这些子波段分
33、离，应用空间分割每一个子波段，再对每个子波段应用脊波变换相比把两个二阶的子波段2,2122SS和2,22212SS结合起来，可以显出更加好的视觉和数据结果。我们相信，用ATROUS子波段滤波算法特别适用数字曲波变换。这种算法分割NN的图像I，如下方程JJJJYXYXCYXI1,，其中JC是原始图像平滑，J代表I在尺度为J2时的详细内容，参见28获取更多的信息。因此，这种算法的输出1J，子波段尺度为NN。其指示是1J，与最合适高频是一致的。C算法现在我们总的来看一下离散曲波变换的算法1）将大小为J的尺度通过算法ATROUS处理2）设MIN1BB3）因为JJ,1，所以A）用区域JB分割子波段J，再
34、对每一个区域应用数字脊波变换B）如果JJBTHENBULOJ212MOD1C）否则JJBB1每一个二阶子波段的局部的窗边长加倍了，因此分析长度为2/2J的曲波变换基本组成，再综合JTHE的子波段2,22JJ。注意到图像JC的简单描述是没有进行的。最后，表3。给出了关于算法结构的总括。这种曲波变换的实现也会带来冗余。这种冗余度等同于116J不管什么样的J值被采用。最后，这种方法具有重建性和稳定性，因为流程链的各部分都服从可逆性。表4表示一些不同尺度曲波的方向矢量和位置。V滤波现在我们把数字变换应用于图像数据的去噪。这种方法是标准的，主要是基于简洁性和自足性。假设给定的噪音数据有以下形式JIJIZ
35、JIFX,其中F是要被重建的图像，Z是白噪声，也就是说1,0,NZJI。不同于FFT或者FWT，这里的离散脊波变换不是保范的因此，噪音的脊波系数的变化主要与脊波参数相关。例如，让F表示离散曲波变换矩阵。因为FFT的计算代价是非常大的，我们用对单独的变量用蒙特卡洛模拟它的FFT对元素可以从曲波变换的白噪声图像中估计得出计算一个近似的值2。让Y代表噪音曲波系数FXY。我们用以下硬阈值法则来估计未知的曲波KYIFYY/,KYIFY/,0在我们的实验中，实际上选择了一个与尺度有关的值K，我们让K4，J1，或者K31JVI滤波实验A其它在我们的第一个中，具有标准差近20的高斯白噪声的LENNA图像中（5
36、12512）。许多方法被用于带噪图像的滤波，1）基于蒙特卡洛脊波变换的阈值，其中尺度为区域尺度8，16，32，和642）曲波变换的阈值3）以下四种小波去噪方法A应用DAUCHECHIESANTONINI7/9FILTERFWT7/9和硬阈值方法的双正交小波变换。B非抽样的硬阈值双正交波变换，对合适的尺度用K4，K3则应用于其它尺度之中。CC应用非抽样小波变换的多尺度熵。这种方法在2729中被提及D应用DAUBECHIES长度为8的正交小波WHMM的方法。这种方法在10中试图建立小涌上系数的联结可能，运用BAYESIAN方法。我们用这种方法而并非SIMONCELLI24主要是因为可以在软件上便捷
37、实现。我们用PSNR作为性能的量度。，我们用我们自己视觉能力去观察一引起不能用PSNR量化出来的值如走样。这种走样的介绍在表5。中有展示，它显示出小波重建。这种图像在边界上有一系列问题。重建一些边界时，应该按照平滑曲波如没有被定义和起伏的重建之中像帽子，还有一些边界，它可以精确的重建表现出边界振动的结构，这些没有被当作是基本的图像进行说明像肩膀和帽子边缘。我们把所有这些影响都当作走样来处理。我们的实验结果在表5和表6上有展示。后一张表中的数据集中展示了原始图像的详细情况，可以帮助读者观察量化上两个方法的差异。我们观察下面的内容曲波变换具有比局部脊波变换非常好的性能，在忽略区域大小的时候。非抽样
38、小波变换方法输出PSNR与曲波变换相比具有很高一可比性。曲波重建不包括在小波重建中可以看到的图像边界分布的走样。表。6中关于图像重建部分的一项检测中有详细有益的介绍。抽样小波变换表现出的边界失真和一些重要细节的失真可以清楚的发现。非抽样小波变换可以表现出更好的边界效果，但是完全忽略重建帽子边缘的特定脊线的情况下。另外，它表现出许多小尺度表面的模糊。提高阈值来避免这些模糊可能导致更多的固有的结构失真。曲波重建比小波重建表现出更高的灵敏度。事实上，两种波形重建帽子边缘时都出现一定程度的模糊。比较而言，图像中可以肉眼观察到的每一部分结构都可以清晰的通过曲波重建显示出来。这些观察不仅限于特别的实验之中
39、。我们已经在其它一些实验之中观察出很多相似的特征。参见表。11中举的另外一个例子。更多的结论可以参见HTTP/WWWSTA。STANFORD。EDU/JATARCK。为了研究基于噪音等级方面曲波去噪流程的相关性，我们产生了一组带噪图像（噪音标准差从5到100不等）来自LENNA和BARBARA。然后我们把这三种不同的滤波流程相，分别进行，运用曲波变换和抽样与非抽样小波变换。这些实验的总结部分在表。7中，里面比较了PSNR和噪声的标准差。这些实验结果下肢动脉造影曲波变换在对这些图像去噪方面表现的比小波要好很多，像曲波的PSNR系统性的优于小波的PSNR（对于不同的噪声等级而言）。其它带有彩色图像
40、的实验也可以得出相似的结论。B线性特征的恢复下面的实验表8包含带走样的图像，这些图像有一些竖条，直线和方形。密度常数与从左到右这10个竖直的栅中每一个独立的栅有关（事实上矩阵有4个像素宽，170个像素长）等于9,0,2/32II这些密度跟其它的线一起接近于1，这些噪声的标准差是1/2。展示出来的图像都已经进行了对数变换使得可以在低SNR下看到更好的结果。这种不垂直的线的曲波重建明锐化于用小波方法得到的图像。曲波变换考虑到垂直的线的话还可能更进一步重建。简单的说，对于这些思考，小波变换不再对SNR近于1的信号进行检查（我们在这里将SNR定义为行间像素的密度，去除噪声的标准差值）然而对于曲波变换的
41、方法截断值等于0。5。非常重要的需要注意的一点就是水平和竖直的线与小波变换的优先方向是一致的，因为基本方程是在水平和竖起方面上变化的方程的直积。小波方法在同样密度条件下给出比较劣的结果，但是使得本质上可以远离笛卡尔坐标系。比较重建图像上模糊的对角线。C曲波的恢复在这个实验中（表9），我们把高斯白噪声加到毕加索的作品战争与和平这幅充满许多曲波的图像中。表9左下底部和右侧表明，它们分别由非抽样小波变换和曲波变换重建得到。曲线在曲波变换当中显示出更锐化的效果。作者正在一些新的方法上进行研究（主要基于曲波变换的方法）目的从带噪数据中精确的提取和恢复曲边，因此，这个举例仅用于阐述目的。D去彩色图像去噪在
42、小波去噪方面，彩色RGC图像通常放在YUV空间中，每个YUV波段都单独被滤波。我们的目的就是为了看曲波变换是否可以提供更加好的结果。我们用4个经典彩色图像，称作LENNA，PEPPERS，BABOON，ANDBARBARA除了BARBARA所有的图像都可以从USC_SIPI图像数据库中找到11。我们所做的实验在篇VIA中有展示，总结可见表。10，里面有四个图像PSNR和标准差的对比结果。在所有的情况下，曲波变换都在PSNR中优于小波变换，至少在中等和大的噪声等级之中是这样的。另外，曲波变换输出图像视觉效果更加舒服，表。11显示出这最后一点。对于其它一些例子，请查看HTTP/WWWSTA。STA
43、NFORD。EDU/JSTARCK。VII结尾这本文，我们展示了关于脊波变换和曲波变换的数字实现策略。实现的结果可以准确适当的重建，在系数扰动的情况下提供稳定的重建，应用于实际中，局部重建并不会产生视觉走样。当然，还有许多其它的关于重建图像脊波曲波理论方面可以相比的文章。通过一系列实验的指导，我们得出一些创新的选择，现在我们来重点说明。1）子波段定义。我们把不标准的频率波段2,2222SS分离，引出曲波改进理论上需要变以2个标准二阶频域的波段2,222SS和2,22212SS，然后分别对他们进行处理。处理的结果很满意。2）子波段滤波。运用ATROUS算法把波段分割。例如，一个可供选择的策略是用
44、抽样二维小波变换在图像边界引入走样，3）曲线片断在90度的范围内以突出边界方向。4）基于脊波变换的小波变换。我们用傅里叶域内紧支集一维小波变换进行脊波变换。如果用小波中空间的紧支集来代替，出现的脊波曲波系数可能会带来视觉上以扰动类似强烈的线性走样。关于哪一个原理是最重要的因为我们主要工作方向是去噪，通常的关于严格取样或者正交性的变换是不符合要求的。相反，冗余和完全完备性可以提供更好的效果，特别的避免视觉走样方面。这里工作的重心在于试图用数字化的数学变换来消除图像中存在的噪声。我们的实验表明，曲波阈值需要的精细复杂的技术已经在过去十年中取得了长足的进步。我们为此欢欣鼓舞，特别当更长远的研究前景出现我们面前的时候。关于深入工作的区域很明显，包括改进插值方案，过空间分割方法等等。另一方面，数字曲波变换是非正交的变换，有很多的冗余，因此，噪声系数与此相关，应该就此设计出相应的选择阈值的法则。已经有的树形结构曲波系数可能用来作这方面的操作。我们还要展望一下检测大容量数据的变换，用来发掘多尺度曲波变换的更大的运用。20482048或者40964096都可以作为一个目标，因为这些分辨率必将成为以后几年发展标准。随着尺度的加大，关于曲波变换的渐近理论的重要相关性也要与日俱增。4）基于小波变换的局部重建在图像的缩放恢复质量方面将会有前景。我们真诚的希望可以通过本文直到抛砖引玉之效。
