1、1（20_届）本科毕业设计数学与应用数学浅谈变量代换法在微积分学中的应用目录21基础篇111变量代换法112微积分的研究的对象和范围113微积分的相关概念及相关定理2131函数的极限2132函数的导数2133可微微分2134不定积分2135定积分3136其他相关定义定理32基本应用篇321利用变量代换法求极限322利用变量代换法求导数和微分523利用变量代换法求不定积分5231第一换元积分法（凑微分法）6232第二换元积分法92321根式代换法102322三角函数代换法102323万能代换法112324倒代换法12233思考1224利用变量代换法求定积分13241变量代换法换元积分法13242
2、变量代换法不变限代换1425利用变量代换法求重积分17251二重积分17252三重积分183结束语19参考文献20英文摘要20摘要本文主要对变量代换法在微积分学中一些应用的基本方法、技巧及注意的问题进行归纳总结,以利于有更深刻3的认识。关键词变量代换法；应用；极限；导数；不定积分；定积分；重积分1基础篇11变量代换法化归方法1是数学研究中一类基本的思维方法。辞海称,化，改变、变化、高超也；归，趋向、归结、返回也。所谓“化归”,就是转化和归结。数学思维方法中所论及的“化归方法”,就是通过变换,促使转化,将复杂的问题回归到较为简单的问题,将困难的问题归结为较为容易的问题,将未知问题化归为已解决问题
3、的过程。变量代换法是化归法在微积分中应用所谓变量代换法2是指某些变量的解析表达式用另一些新的变量（或变量表达式）来代换,从而使原有的问题转化为较简单的、易解决的问题的方法。变量代换法的解题实质就是一种命题的转化，即把原来的命题转化成另一等价的命题的过程。基于这一等价性，我们进行命题的转化以实现原问题的解决。然而这一转化并不是任意进行的，不仅要遵循等价性，还需要我们具备一定的基础知识，掌握好知识间的联系，并将其融会贯通，将方法与技巧内化为自己的储备。变量代换法也可以形象说成是一般公式的变形应用，变量代换法可以帮助我们更好地认识公式的本质。12微积分的研究的对象和范围3微积分是建立在实数、函数的基
4、础上的。其基本概念更是基础中的基础。微积分的基本内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括定积分、不定积分、重积分等。一般而言，微积分中的计算问题，对于求极限有一般求法、洛必达法则等；求导有公式法、性质法则的运用、复合函数求导法等；求积分有公式法、性质法则的运用、换元法第一换元法、第二换元法、部分分式法、特殊类型的算法等。其中利用变量代换法解决微积分中的计算问题，是本文要研究的问题在我们对各对象展开更深入的讨论之前，做好知识的预备是非常必要的，在此先回顾相关的定义和定理。13微积分的相关概念及相关定理34131函数的极限定义1（X时函数的极限）设F
5、为定义在A,）上的函数，A为定数，若对任给的0，4存在正数M（A），使得当XM时，有FXA，则称函数F当X趋于时以A为极限。记作LIMXFXA或FXAX定义2（0XX时函数的极限）设函数F在点0X的某个空心邻域0,OXU内有定义，A为定数，若对任给的0，存在正数（）,使得当00XX时,有FXA,则称函数F当X趋于0X时以A为极限。记作0LIMXXFXA或0FXAXX132函数的导数定义1设函数YFX在点0X的某邻域内有定义，若极限000LIMXXFXFXXX存在，则称函数F在点0X处可导，并称该极限为F在点0X处的导数。定义2（导函数也称导数）函数在区间I上的每一点都可导，建立每个XI,都有导
6、数FX与之对应，从而定义了一个区间I上的函数，称为F在I上的导函数，简称导数。133可微微分微分设函数YFX定义在点0X的某邻域0XU，当给0X一个增量X，XX0XU时，相应得到函数增量为00YFXXFX，如果存在数A，使得Y表示成YAXOX，则称函数F在0X可微。并称AX为F在0X的微分，记作0XXDYAX或0XXDFXAX，AFX，DXX。（微分DY与增量Y相差一个OX，是关于X的高阶无穷小量）134不定积分原函数设函数F与F在区间I上都有定义，若FXFX，XI，则称F为F在区间I上的一个原函数。不定积分函数F在区间I上的全体原函数成为F在区间I上的不定积分。记作FXDXFXCC为任意常数
7、135定积分分割设闭区间A,B上有N1个点，依次为011NNAXXXXB，它们把A,B分成N个小区间1IIIXX，I1，N这些分点或这些闭子区间构成对A,B的一个分割，记为T011NNXXXX，或TN,21，其中小区间I的长度为1IIIXXX，并记51MAXIINTX称为分割T的模。定积分设函数F为定义在A,B上的一个函数，J是一个确定的实数，对任给的正数，总存在某一正数，使得对A,B的任何分割T，以及在其上任意选取点集I，只要T，就有1NIIIFXJ，则称函数F在区间A,B上可积，数J称为其定积分。记作BAFXDX136其他相关定义定理三角函数有理式指由三角函数经过四则运算所组成的式子，由于
8、TANX,COTX,SECX,CSCX都可用SINX,COSX表示,所以把三角函数有理式记为RSINX,COSX。微分形式的不变性在求函数微分时，不需辨别函数与自变量的关系是直接的还是复合的，对于两种情形，所用的微分公式在形式上是完全一致的。2基本应用篇21利用变量代换法求极限利用变量代换法求极限需要建立在求极限的基本方法之上，遇到较复杂的函数形式时，使用变量代换法可使得求极限变得简单。变量代换法结合第一个重要极限0SINLIM1XXX，得推广形式0SINLIM1TTFTFT，其中0LIM0TTFT例1求极限AXAXAXSINSINLIM解2COSSINSINSINSIN222LIMLIMLI
9、MLIMCOS22XAXAXAXAXAXAXAXAXAXAXAXA1COSCOSAA变量代换法结合第二个重要极限1LIM1XXEX，得推广形式01LIM1FTTTFTE，其中0LIM0TTFT例2求极限01LIMXXAX解令1XAT，则610011LIMLIMLNLOG1XXTTAAAXT本题是00型不定式极限，运用洛必达法则自然可以。变量代换法结合洛必达法则，主要用于将其他的不定式极限0，1，0，0，等类型转化成00型与型，再运用洛必达法则求解。例3求极限218001LIMXXEX分析本题是00型不定式极限，但直接运用洛必达法则求解后幂函数次数越来越高，所以必须找一个新的变量将幂次降低，于是
10、可以令TX1解令TX1，则222222180797876080018040403940LIMLIMLIMLIMLIMLIM02XTTTTTXTTTTTTTTTTEXEETEEE之前所做的都是一元函数求极限问题，对于多元函数问题则思考能否作变量代换转化为一元函数求极限问题。例4求多元函数的极限2222001LIMSINXYXYXY解令22XYT，则222200011LIMSINLIMSIN0XTYXYTXYT22利用变量代换法求导数和微分变量代换法在求导中的应用主要在于利用复合函数求导法则进行求导。要求能看出复合函数的内外函数及其复合关系，再以链式法则结合基本求导公式进行的计算。如果中间变量不止
11、一个的复合函数，可简单由外而内层层进行。例5（利用变量代换法求复合函数的导数）设22,SINZFXYXY且F具有一阶连续偏导，7求ZX解令22UXY，SINVXY，则ZFU,V），有2SINUVZZUZVXFYFXUXVX例6（利用变量代换法求隐函数的导数）设由方程1ZEXYZ确定了一个ZFX，Y函数,求ZX解将Z看作X，Y的函数，方程两边同时对X求导得0ZZZEYZXYXX，整理得ZZYZXEXY学习了利用变量代换法求函数的导数，又知微分DYFXDX，即求微分可以通过求导数来得到。利用变量代换法求微分，也是在复合函数中进行，先利用变量代换法求得复合函数的导数，再写成DYFXDX，两步得解。即
12、通过求导来解决，这里不做累述。23利用变量代换法求不定积分利用变量代换法求不定积分又叫做换元积分法。换元积分法,就是通过适当的变量代换,把积分转化为积分表中的形式。包括第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。因此我们可以从基本的积分公式出发获得灵感，并结合平时的练习，来掌握这类积分方法。231第一换元积分法（凑微分法）第一积分换元法设GU在,上有定义，UX在A,B上可导，且X，XA,B,并记FXGXX,XA,B。若GU在,上存在原函数GU,则FX在A,B上也存在原函数FX，且FXGXC，即FXDXGXXDXGUDUGUCGXC微分形式的不变性是此式成立的理论依据。常用的凑微分公式5主要有1DX
13、DAXBA；111111KKKXDXDXDAXBKKA；812DXDXX；1LNDXDXX；XXEDXDE；COSSINXDXDX；SINCOSXDXDX；XDXDXDXXTANSECCOS122；221CCOTSINDXCSXDXDXX；21ARCSINCOS1DXDXDARCXX；21ARCTANCOT1DXDXDARCXX。形如FAXBDX，令UAXB,DUADX,DUDXA,则有111FAXBDXFUDUFUCFAXBCAAA例7求不定积分COS35XDX解令U3X5，则DU3DX，得UDUXDXDXXCOS315353COS3153COSCXCU53SIN31SIN31形如1MMFA
14、XBXDX，令UMAXB,DU1MAMX,11MXDXDUAM,则有111111MMMMMFAXBXDXFAXBAMXDUFUDUFUCFAXBCAMAMAMAM例8求不定积分2XXEDX解令2UX，则2DUXDX，有CECEDUEDXXEDXXEXUUXX222212121221如果GX能写成XXFEE的形式,那么可作代换XUE。例如21XXEDXE、92XXEDXE、COS1XXEEDX等。例921XXEDXE解令XUE,则XDUEDX，有22ARCTANARCTAN11XXXEDUDXUCECEU对SINCOSRXXDX或2SIN,COSCOSRXXXDX类型，此种类型可用代换USINX
15、,所以DUCOSXDX如SINCOSXEXDX，可作代换USINX对COSSINRXXDX或2COS,SINSINRXXXDX类型，用代换UCOSX,所以DUSINXDX例10求不定积分2SIN1COSXDXX解令UCOSX,则DUSINXDX,有22SIN1SIN1COS1COSXDXXDXXX21ARCTANARCTANCOS1DUUCXCU对于SINCOSMXNXDX，COSCOSMXNXDX，SINSINMXNXDX类型，先积化和差（要用到积化和差公式），将被积函数化作两项之和,再分项用凑微分换元法积分。例11求不定积分SIN5COS3XXDX解111SIN5COS3SIN8SIN2S
16、IN88SIN222164XXDXXXDXXDXXDX11COS82162XCOSXC如果GX能写成FARCTANX211X的形式,那么可别作代换UARCTANX,UARCSINX。如21ARCTAN1XDXX、32ARCTAN1DXXX等。10例12求不定积分21ARCTAN1XDXX解令UARCTANX，则DU211XDX,有332221ARCTAN22111ARCTAN133XDXUDUUCXCX使用凑微分法主要在于选取合适的变换UX，而识别的关键是对基本初等函数的导数、微分比较熟悉事实上任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的途径，为了灵活掌握第一换元法,应演算大量习题才能熟能生巧,但有
17、时需要进行必要等价变形6，进而解决一些难度较大的不定积分。例13计算积分4TANXDX分析通过被积函数式中加、减同一个数的等价变形，使“凑成”所需函数形状，便于积分解44TANTAN11XDXXDX22TAN1TAN11XXDX222TANSECSEC1XXDXXDXDX22TANTANSEC1XDXXDXDX31TANTAN3XXXC例14计算SINSINCOSXDXXX分析通过把被积函数式拆开，使“凑成”所需函数形状，便于积分。可以是分子分母有理化或者三角函数的积化和差的公式来展开。解SIN1SINCOSCOSSINSINCOS2SINCOSSINCOSXXXXXDXDXXXXXXX1CO
18、SSIN12SINCOSXXDX1SINCOS2SINCOSDXXDXXX11LNSINCOS22XXXC11例15求不定积分2411XDXX分析通过被积函数式中分子分母同乘除同一个数的等价变形，使“凑成”所需函数形状，便于积分解22242222111111221ARCTAN11112222DXXXXXDXDXDXXCXXXXXXXX232第二换元积分法第二积分换元法设FX在,上有定义，XT在A,B上可导，且T，TA,B,并记FXFTTGT,TA,B。若0T，TA,B，则第一积分换元法可逆，即当GT在A,B上也存在原函数GT时，FX在,上存在原函数FX，且FXCXG1，即CXGCTGDTTGD
19、TTTFDXXF1常用有根式代换法、三角代换法、万能代换法、倒代换法等。2321根式代换法原理7若被积函数中含有,NRXAXBDX，可令NTAXB；,NAXBRXDXCXD，可令NAXBTCXD。例16求6XXDX解令6TX，则X62T,DX2TDT,有242662212XXDXTTTDTTTDT53532222464655TTCXXC2322三角函数代换法原理8若被积函数中含有22AX时,用代换XASINT或XACOST,12若被积函数中含有22AX时，用代换XATANT或XACOTT；若被积函数中含有22XA时，用代换XASECT或XACSCT。例17求积分DXX24解令TXSIN2，则2
20、ARCSINXT,TDTDXCOS2，有DTTTDTTTDDXX2COS12COS4SIN2COS2422CXXXCTT2422ARCSIN22SIN2例18求积分221DXXX解令XSECT,则DXSECTTANTDT,有2222SECTAN1COSSIN1SECTAN1DXTTDTTDTTCXCTTXXX例19求不定积分21DXXX解令TANXT，则2SECDXTDT，有2222SINSINCOS111COSSINSINSINCOS12COS1COS11DXDTTTDTDTDXDTDTTTTTTTXX22111COS11LNLN2COS1211XTCCTX2323万能代换法原理对三角函数有
21、理式SIN,COSRXXDX的积分,有些不易积出,令2TANXT,则有SINX221TT,COSX2211TT,DX221TDT。故2222122SIN,COS,111TTRXXDXRDTTTT，使原积分就化为关于T的有理函数的积分。对于三角函数有理式的积分,作代换2TANXT总可以将积分有理化,故此代换常称为万能代换。但对具体问题也要采用灵活的方法处理。13例20求不定积分35COSDXX解令2TANXT，则COSX2211TT,DX221DTT,有22212135COS1351DXDTTXTTDTTTTDT212141421LN2LN24TTC12LN42TCT2TAN12LN42TAN2
22、XCX2324倒代换法例21求不定积分72DXXX分析积分表达式分母中两个自变量的幂之差大于1时，可以运用倒代换。解令1XT，则XT1,21DXDTT，有677771212211421DXTDTDTXXTT77111LN21LN2LN14142TCXXC233思考两类换元法的关系9区别第一换元积分法，并没有引进新变量，只是从被积函数分解出部分，使得满足FXDXFTTDT，并将部分当作整体来看待解题；而第二换元积分法在我们遇到复杂的不定积分问题时，如果能够适当地选择新变量T，根据公式FXDXFTTDT，以T代替X，那么就能得到比较简单的被积式或者基本公式的形式，从而容易求出它的结果。例如无理14
23、式的积分问题，我们无法找到思路，就可以引进新变量T来代替整个无理式来达简化的目的。联系其基本思想都是把被积函数化成基本积分公式中的形式，两种方法在最后都是要进行变量还原的一题多解，由于变量代换法的多样性、灵活性，因此我们在解决一个数学问题时所用的变量代换常常不是唯一的，既要能够选择最佳方法，又要尝试用各种方法来解题,不断积累经验，体会方法间的联系以提高解决问题的能力。例22多种方法求21DXXX解法一凑微分法222211111111DXDXDXXXXXX222111111LN1LNLNXXCCCXXXX解法二三角代换法令XTANT，则2SECDXTDT，有22SECCSCTANSEC1DXTD
24、XTDTTTXX221111LNCSCCOTLNLNXXTTCCCXXX解法三根式代换法令21TX，21XT，则21TDXDTT，有DTTDTTTTTXXDX1111122222222221111111111LNLNLNLN212211TXXXCCCCTXXX24利用变量代换法求定积分241变量代换法换元积分法定积分最后的结果是具体数值。定积分计算的一般方法可以分为两个步骤进行操作，先是利用15不定积分求法求出原函数部分，再结合使用牛顿莱布尼茨公式计算出结果。即定积分的计算可以转化为不定积分的问题来进行求解。如果求原函数时需要使用换元法，则叫做定积分的换元积分法。其特点是在变换积分变量的同时也
25、要变换积分限,而在找出新变量的被积函数的原函数以后,不必换回原变量。在其计算数值部分，就是直接应用牛顿莱布尼茨公式计算结果即可。定积分换元积分法若函数F在A,B上连续，在,上连续可微，且满足A，B，ATB，,T，则有定积分换元公式BAFXDXFTTDT牛顿莱布尼茨公式若函数F在A,B上连续，且存在原函数F，即FXFX，XA,B，则F在A,B上可积，且AFBFXFDXXFBABA例23求定积分401XDXX解令TX，则2XT，2DXTDT；当X0时，T0；当X4时，T2234220001122111XTTDXTDTDTTTX2220011211TTTDTDTTT222001211DTTTDTT2
26、3202LN132TTTT8422LN33282LN333LN2216例24求定积分3209XDX解令3SINXT，则3COSDXTDT；当X0时,T0；当X3时,T2322222000999SIN3COS91SINCOSXDXTTDTTTDT16222001COS299COS924TTDTDT242变量代换法不变限代换在积分计算中,往往强调根式代换、三角代换、万能代换、倒代换等常用方法,而不变限代换没有加以强调,但在很多情况下不变限代换相当有效。命题110设FX在A,B上连续,则BBAAFXDXFABXDX证明令XABT,则BBBBAAAAFXDXFABTDABTFABTDTFABXDX最后
27、一个等号用到定积分与积分变量选取无关性。结论左右两边的积分具有相同的上下限,这里姑且称XABT为“不变限代换”。为便于记忆,将不变限代换写成XTAB。它为计算定积分提供了一种思路若想将原积分化为相同积分区间的积分,那么使用不变限代换。例25计算101XXDX1,2解用不变限代换XT1,则110011XXDXXXDX111211200011232XXXXDX例26计算401SIN21SIN2XDXX解用不变限代换XT4,则44001SIN21SIN241SIN21SIN24XXDXDXXX224440001COS2TANSEC111COS24XDXXDXXDXX上面几个实例有个共同点,使用不变限
28、代换,转换得到的新积分比较容易计算。事实上,不变限代换的作用不仅仅在此。17命题210若FX满足FXFABXKK为常数,则2BAKBAFXDX证明记BAIFXDX，由BBAAFXDXFABXDX，得到2BBBAAAIFXDXFABXDXFXFABXDXBAKDXKBA，结论得证例27计算40LN1TANXDX解由于LN1TANLN1TANLN244FXFXXX，因此，40LN20LN24LN1TAN28XDX例28计算20442XDXXX解由于42214224XXFXFXXXXX，因此，2041201242XDXXX命题1显示可以用不变限代换将原积分转化成相同积分区间的积分,当FXFABX为常
29、数时,命题2提供了一种简便的定积分计算方法。事实上,如果FXFABXGX,而且BAGXDX又容易计算,则仍可以使用不变限代换方法计算。推论10若FX满足FXFABXGX,则12BBAAFXDXGXDX例29计算2424SINCOSXXDXXX解由于222SINSIN2SECCOSCOSXXXXFXFXXXXXX，因此2224442444SIN12SECSEC2COS2XXDXXDXXDXXX18例30计算244COS12XXDX解由于222COSCOSCOS1212XXFXFXX,因此418COS2121COS442442XDXDXXX25利用变量代换法求重积分251二重积分设FX,Y在有界区
30、域D上可积，变换TXXU,V,YYU,V将UV平面由按段光滑封闭曲线围成的闭区域一对一地映射成XY平面上的闭区域D，函数XU,V,YU,V在内分别具有一阶连续导数且它们的函数行列式,10,XXXYUVJUVYYUVXYUV,则,DFXYDXDYFXUVYUVJUVDUDV例31计算重积分322DXYDXDYX，其中积分域D由抛物线2Y2X和直线XY4,XY12所围成解作变量代换YUX，VXY,把X，Y平面上区域D变为U，V平面上的矩形域D22U，124V，其雅可比行列式为32,112,1,21,211XYXJUVUVXYXYXXX23222222221242223232323DVDUDUDVD
31、UDVYXXXYXDUDVJXYXDXDYXYXDDDD当积分区域是圆域或环域的一部分，或者被积函数的形式为22FXY时，采用极坐标变换,19往往能达到简化积分区域或被积函数的目的。设此时FX,Y满足条件，极坐标变换TCOS,0SIN,02XRRYR，XY平面上有界闭区域D与R平面上区域对应，得JU,VR,则,COS,SINDFXYDXDYFRRRDRD例32计算二重积分2DXDXDY，其中D是以圆221XY及圆224XY为边界的环形区域解选用极坐标代换，则区域D对应得到形域D02,12R，则222222223301011COS215COSCOS24DDXDXDYRRDRDDRDRDRDR总结
32、当积分区域是圆域或环域的一部分，或者被积函数的形式为22FXY时，采用极坐标变换,往往能达到简化积分区域或被积函数的目的。252三重积分和二重积分一样，某些类型的三重积分做适当的变换后能使计算方便，设变换T,XXUVYYUVZZUV,把UV空间中的区域V一对一地映成XYZ空间中的区域V,并设函数,XUV，,YUV，,ZUV及其一阶偏导数在V内连续，且行列式,0XXXUVYYYJUVUVZZZUV，则有,VVFXYZDXDYDZFXUVYUVZUVJUVDUDVD介绍常见变换公式柱面坐标变换TCOS,0SIN,02,XRRYRZZZ，则,JRZR，有20,COS,SIN,VVFXYZDXDYDZ
33、FRRZRDRDDZ例33计算22VXYDXDYDZ，其中V是曲面222XYZ和Z4为界面的区域解V在XY平面上的投影区域D为222XY按柱面坐标变换，区域V可表为2,24,02,02VRZRZR，可得2224223300283RVVXYDXDYDZRDRDDZDDRRDZ总结首先，看被积函数FX,Y,Z，如果22,FXYZFXYZ，222,FAXYZ或22,FXYZ应选择柱面坐标法；其次，积分区域是一圆柱体，或在XOY平面的投影区域是圆形、扇形、环形，应选择柱面坐标法。球面坐标变换TSINCOS,0SINSIN,0COS,02XRRYRZR，则2,SINJRR，有2,SINCOS,SINSI
34、N,COSSINVVFXYZDXDYDZFRRRRDRDD例34计算222XYZDXDYDZ，其中2222,XYZXYZR解利用球面坐标法，得2222450004SIN5RXYZDXDYDZDDRDRR总结首先，被积函数为222,FXYZFXYZ或2222FAXYZ，222,FXYZFXYZ应选择球面坐标法；其次，积分区域是一球体或球体的一部分，应选择球面坐标法比较简便。3结束语变量代换法在解题中的应用告诉我们，解决问题时我们应透过其外在来抓其内在的本质，这就是变量代换法的关键。它使不可直接求解的复杂形式通过变量代换变得简洁而易于求解，它是转化思想在数学中的深刻的体现。在运用时，我们首先还是从
35、问题的本身出发，再结合已学会的基本方法，尝试发现两者之间某种联系，设法建立联系来实现这种转化。这不仅需要从前人的经验中吸取21精华，更需要实战和经验总结来做指导致谢词由衷感谢李春娟老师的细心指导感谢她在我的论文写作中给予的耐心指导和宝贵意见参考文献L陈克东微积分学中的化归方法J高教论坛,20046,31731762陈国干变量代换是实现命题转换的一种重要途径J唐山学院学报,20039,16363643华东师范大学数学系数学分析第三版上册M北京高等教育出版社,20014华东师范大学数学系数学分析第三版下册M北京高等教育出版社,20015何挺不定积分三种基本解题方法的归类J安顺师范高等专科学校学报,
36、200410,6478816王锡华换元积分法常用技巧J益阳师专学报,199310,106971017李春娟变量代换法在高等数学中的应用J丽水师范专科学校学报,2003,25275788相秀芬几个不定积分计算问题的教学体会J承德石油高等专科学校学报,20076,9252559刘立新对不定积分、定积分学习之己见J吉林商业高专学报,19982,2374210周彩莲定积分计算中的“不变限代换”J高等数学研究，20082,12（1）787911尹水坊微积分学习指导M北京科学出版社,200512刘里鹏从割圆术走向无穷小揭秘微积分M湖南科学技术出版社,2009713路建民实用微积分学习指导M北京中国水利水电
37、出版社,200814李公国微积分及其应用M北京徐氏基金会出版,1988515许莼舫微积分学习指导M北京中国青年出版社,1980716陈建华微积分名师导学M北京中国水利水电出版社,2005DISCUSSINGTHEAPPLICATIONONSUBSTITUTIONMETHODOFVARIABLEINCALCULUSABSTRACTTHISPAPERFOCUSESONSUMMARIZINGTHEBASICMETHOD,SKILLANDATTENTIONFORSOMEAPPLICATIONSOFVARIABLESUBSTITUTIONMETHODINCALCULUS,TOFAVORAMOREPROFOUNDCOGNITIONKEYWORDSVARIABLESUBSTITUTIONMETHODAPPLICATIONLIMITDERIVATIVEINDEFINITEINTEGRALDEFINITEINTEGRALMULTIPLEINTEGRAL
