1、1（20_届）本科毕业设计数学与应用数学浅析近五年上海数学高考题2摘要本文分析了近五年上海数学高考题（理科），展望未来上海市高考的命题趋势，谈了对今后教学活动的一些想法。关键词总评，亮点，预测，想法。高考越来越受到人们的重视，高考对社会、家庭和学生都有着不同的重要的意义。作为比较有代表性的上海市数学高考有其独到的风格和特点。从题型设置、考查技巧和蕴含的数学技巧等不同角度进行评析。1近五年上海数学高考题分析本文主要浅略分析了近五年上海市数学高考题，从当年试题与上一年相比有何变化、总体的难易程度、试题中的亮点试题评析以及试卷的不足等方面来进行阐述，也会讨论考生答卷所反映的一些主要问题，当然再好的一
2、张高考试题都有它不足的值得改进商榷的地方，在这里也会提出一些自己的意见和建议。112006年上海数学高考题一对试卷的总体分析与前几年相比，今年高考数学试题（文、理）题型基本保持不变，仍由12道填空题、4道选择题和6道解答题组成，分值分别为124、44、121214141618，其分值比为24843。其中6道解答题分别由三角、应用题、立体几何、解析几何、数列和函数大题构成。当然，这种稳定也不是一层不变的，最明显的就是将复数大题换成了三角题；把函数、数列建模的应用题改成了解三角形的应用题。2006年的上海市数学高考试题可以用16个字来概括立足基础、突出能力、注重方法、意在创新。2006年上海数学高
3、考试卷以“能力立意”为主线，注重基础、注重思想与方法、注重一般能力的考查；试卷入口平缓、双基突出、能力型试题有新意，有利于创新精神与实践能力的考查。上海二期课改的核心理念是“以生为本”，2006年的上海试卷从上海学生实际出发，在有助于高校选拔人才、有利于中学素质教育的大前提下，更加注重基本知识与基本技能的考查。试卷体现了通性通法的考查，关注数学思想（数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想、函数与方程的思想等）的考查。试题载体集中于试点非试点教材交集的主干线上，主要是函数、数列、直线与圆锥曲线，以及不等式、空间线面关系、向量、复数与概率；试卷中源于课本略作变异的熟悉题型占了极大多数。二
4、结合试题具体分析3今年的高考命题从规范数学教学的要求出发，在考查“双基”方而能与时俱进，强调对基木概念的理解和对基木知识的掌握，突出知识的基本性质和方法能力的基木特征题目立意平稳，难易适中，不偏不怪，不仅具有合理坡度，而且增强了试题亲和度，不回避陈题甚至是与以前的高中真题相同。例如理科19题，13,14,17,18题，都是比较基础、常规、常见、不偏、不怪、不难的基本题，在平时训练中处处可见，甚至在教材中都可找到他们的“影子”不存在仟何思维上的障碍。接下来让我们一起来看看其它试题的特点。1O通过阅读、理解以前没有学过的新的数学知识（包括新的概念、定理、公式的法则等）并能用它们作进一步的运算、推理
5、、解决有关问题，是学习能力型试题考查的内容。这实际上是在全新的数学背景下，考查学生即时阅读理解和即时应用求解的能力，有利于学生思维敏捷性和独创性的培养。因而这类试题一直受到上海高考命题人员的青睐。今年文、理试卷各推出二道学习能力型小题，题虽小但思维力度不小。例1（2006理第10题）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是本例首先得抓住关键词“正交线面对”，理解其含义，确认其特征。不仿画个草图（如右），数形结合有助于直观理解；符合“正交线面对”的“线面对”似乎盘根错节，咋办分类讨论
6、是好办法。可以根据“线”的特征分成三类侧棱、面对角线和体对角线。第一类是侧棱为线，选取侧棱1AA，易知与其正交的面是二个，即面ABCD和面1111ABCD，类似的侧棱共有12条，于是“正交线面对”有12224（个）；第二类是面对角线为线，易知每线只对应一个正交面，而面对角线有12条，于是“正交线面对”有12112（个）；第三类是体对角线为线，易知不存在相应的“正交线面对”。综合上述各类情况，合计有36个“正交线面对”。例2（2006理第16题）如图，平面中两条直线1L和2L相交于点O，对于平面上任意一点M，若P、Q分别是M到直线1L和2L的距离，则称有序非负实数对,PQ是点M的“距离坐标”已知
7、常数P0，Q0，给出下列命题4若0PQ，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若PQ0，且PQ0，则“距离坐标”为,PQ的点有且仅有2个；若PQ0，则“距离坐标”为,PQ的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是（）（A）0；（B）1；（C）2；（D）3这又是一例学习能力型试题。在阅读的基础上，首先得读懂新概念点的“距离坐标”含义。大致包括以下三个含意1O背景是二条给定的相交直线；2O是用有序非负实数对,PQ刻画定义的；3OP、Q分别是M到直线1L和2L的距离。如果抽象字母的表示对于概念的理解还有些模糊的话，可以通过具体化、数字化、特殊化的方式去感性地加深这个新概念的理解，比如“距离坐
8、标”为1,2的点在哪里呢对照题目给的定义找找看，注意到1L的距离为1的轨迹是两条平行直线1112,LL，到2L的距离为2的轨迹是两条平行直线2122,LL（如右图），易知“距离坐标”为1,2的点有4个，即图中的A、B、C、D，如果把“距离坐标”的含义读懂了，搞清了，那么应用这个概念处理本题，易知答案选择（D）。2O注重对学习过程的学习与探究，体验感悟数学木质与过程。从考试的评价角度来看，既要关注学生的“双基”的掌握情况，又要关注学生在学习知识、数学思维过程中的情感与体验，展现思维的形成过程；不仅要关注“结果”，史要关注在学习过程中的变化与发展，今年高考理科12题，给出的是“思维过程”解题思路，
9、在对给出甲、乙、丙同学提出解题思维“过程”的分析、尝试、探究的过程中，不难发现乙同学的思路是可行的。该题较好地为学生提供了学习、探究的空间，从中体验数学本质属性。3O含绝对值的题是历年高考的一个知识点。以理科为例，含绝对值的题有2002年第15题；2003年第6，13题；2004年第10题；2005年第10，14，16题；2006年第11，12，21题，其中除5了第12题是一道三次含参数的绝对值不等式题之外，第21题是一道文字量大、信息量多，并且包含不等式、数列的含绝对值的综合性大题。由此看出，高考命题对含绝对值的题量、难度有逐步加大的趋势，逐渐形成一个新的高考热点。例3（2006理第21题）
10、已知有穷数列NA共有2K项（整数K2），首项1A2，设该数列的前N项和为NS，且1121,2,21NNAASNK，其中常数A1（1）求证NA数列是等比数列；（2）若2212KA，数列NB满足2121LOG1,2,2NNBAAANKN，求数列NB的通项公式；（3）若（2）中的数列NB满足不等式12212333342222KKBBBB，求K的值。根据上海中小学数学课程标准的教学要求，含有绝对值的不等式，只要求会解可化为形如FXA或12FXFX的不等式，其中12,FXFXFX是一次多项式。但21（3）却是含K个绝对值的不等式,并且绝对值里含有参变量，导致本题难度偏高，得分率偏低。本例的第1问是常规的
11、数列证明题,第2问在第1问的基础上，利用对数的基本性质，不难得出111,2,221NNBNKK。第（3）问难度加大了，不少人思维在此受阻，如何去找突破口呢首先要读懂题意，分清变量和常量，区别N和K在题中的不同地位；其次要观察不等式的结构,易知左边是一个数列的前2K项的和，通项是含绝对值的代数式32NB。对此通项式，通法是脱掉绝对值符号化为分段式，易得3331,3222233312,2222NNNNNNNBBBNKBBBBNK注意到整数2,NN,所以3,1,2,23232,1,2,2NNNBNKKKBBNK从而6122121212121233332222333332222211210122212
12、121KKKKKKKKBBBBBBBBBBBBBKKKKKKKKKKK由题意得221KK4，即2840KK，所以423423K又因为整数K2,故原不等式成立时，K2,3,4,5,6,7为所求。三亮点点评稳定发展中锐意创新例4（2006理第22题）已知函数YAXX有如下性质如果常数0A，那么该函数在0,A上是减函数，在,A上是增函数（1）如果函数20BYXXX的值域为6,，求B的值；（2）研究函数22YCXX（常数C0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数AYXX和22AYXX（常数A0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数
13、2211NNFXXXXX（N是正整数）在区间1,22上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）1O本题考查了在学习能力背景下函数YAXX的探究与推广，试题形式新颖，取材匠心独运，试题设计考虑到横向有联系余地、纵向有思维发展空间，并能发散地研究史深层次的问题在己知函数的基础上，提出一个新的更一般的问题，将函数作进一步的推广，要求学生用研究性学习方式学习这个性质，并且会科学地提出问题并子解决问题。2O立足于基础，取材于教材，在一期、二期课改教材中均可找到它的雏形，试题给出的条件简洁明了。3O试题设计者为引发探究，别具匠心地改变以往设问方式，题目中的（1）（2）两问为研究问题的提出做好准备，为第（3）
14、问研究与解决做好铺垫，既能让学生体会数学本质，又能感悟到归7纳规律的数学过程。4O倡导研究性学习，展示强者的风采。该题的选拔功能极强，具有一定的开放性、探究性，新而活且不难，但却使考生很难在第（3）问中找到切入点，而解决问题的办法又隐含在你的研究结果中，这就加大了试题难度，较好地体现出不同的思维层次，给能力较强的考生提供了展示自我的舞台，对中学数学教学具有较强的异向作用。四总评今年的上海卷本着立足于基础、淡化技巧、掌握通性通法、加强对数学思想方法渗透、提炼与运用。对数学思想方法的考查主要涉及数形结合、转化与化归、分类讨论、函数与方程等。所以在学习和教学中应该在对基础知识、基木联系、基木方法牢固
15、掌握的基础之上，去感悟数学思维方法，再以这种感悟去解决数学问题。总之，2006年上海高考数学试题与往年相比又添新意，体现了改革之理念，不仅是对学生数学素养的一次考查，也是对我们数学教学工作的检验。多年的事实旱己证明，为了考试而学习是很难学好数学的。122007年上海数学高考题一对试卷的总体分析2007年的高考试卷继承了上海市近年来的改革方向，体现了从知识立意向能力立意转变，并且既保持了一定的稳定性，又有创新和发展。具体特点是1O试题的量比前几年减少了一个填空题，使总题量由原来的22题减少到了21题。这样有利于大部分学生能集中更多的时间思考问题，提高学生的成绩。2O去年作为考试“亮点”的研究性试
16、题，今年没有考。3O大题所涉及的学科与去年相同，继续考在空间图形、三角、应用题、函数、数列、解析几何，其中最后三题分别是函数、数列、解几等传统重点知识上。4O题目难度与去年相当，我个人觉得要比去年略显简单些。试题的主要部分，120分左右是考“三基”即基本概念、基本技能、基本思想和方法。二结合试题具体分析1O立体几何在解答题中难度不大，但出现在填空题中的问题就不容乐观。这些问题不仅要求学生对数学概念的理解要准确，更要具有抽象的空间想象能力。新课标中添加了“空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力能观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系”07年的第10题正是要求学生研究所给图形中几何元素
17、之间的相互关系。例5（2007理第10题）平面内两条直线有三种位置关系相交，平行与重合。已知两个相交8平面，与两直线12,LL，又知12,LL在内的射影为12,SS，在内的射影为12,TT，试写出12,SS与12,TT满足的条件，使之一定能成为12,LL是异面直线的充分条件【答案】1S/2S，并且1T与2T相交（1T/2T，并且1S与2S相交）【解析】作图易得“能成为12,LL是异面直线的充分条件”的是“1S/2S，并且1T与2T相交”或“1T/2T，并且1S与2S相交”。2O数列是特殊的函数，而不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合求解题对基础和能力实现了双重检验，三者的综合求证题
18、所显示的代数推理是近年来数学高考命题的新的热点，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前N项和的公式，对基本的运算技能要求比较高。NS与NA之间的关系经常是考查的重点，需要灵活应用。例6（2007理第20题）若有穷数列12,NAAA（N是正整数），满足1211,NNNAAAAAA即1INIAA（I是正整数，且1IN），就称该数列为“对称数列”。（1）已知数列NB是项数为7的对称数列，且1234,BBBB成等差数列，142,11BB，试写出NB的每一项；（2）已知NC是项数为211KK的对称数列，且121,KKKCCC构成首项为50，公差为4的等差数列，数列NC的前21K项和为21KS，则当K为
19、何值时，21KS取到最大值最大值为多少（3）对于给定的正整数1M，试写出所有项数不超过2M的对称数列，使得211,2,22M成为数列的连续项；当1500M时，试求其中一个数列的前2008项和2008S。【解析】（1）设NB的公差为D，则4132311BBDD，解得3，数列NB为2,5,8,11,8,5,2（2）211211211212,KKKKKKKKKSCCCCCCCCCC222141341350,KSK当13K时，21KS取得最大值，21KS的最大值为626（3）所有可能的“对称数列”是92212211,2,2,2,2,2,2,2,1OMMM22112221,2,2,2,2,2,2,2,2
20、,1OMMMM12222132,2,2,2,1,2,2,2,2OMMMM12222142,2,2,2,1,1,2,2,2,2OMMMM对于1O，当2008M时，2200720082008122221S当15002007M时，212220092008122222MMMMS12200912200921222221MMMMMM对于2O，当2008M时，2008200821S当15002007M时，1220082008221MMS对于3O，当2008M时，2008200822MMS当15002007M时，20092008223MMS对于4O，当2008M时，2008200822MMS当15002007
21、M时，20082008222MMS3O新课标中指出“实践能力是将客观事物数学化的能力，主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决”。的确，数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要领是深刻理解题意，学会将文字语言向数学的符号语言或图形语言转化，这就要求学生能够建立恰当的数学模型，其中函数、数列、不等式是较为常见的模型。例7（2007理第18题）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34，在此后的四年里，增长率以每年2的速度增长（例如20
22、03年的年生产量增长率为36）（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到01兆瓦）（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到01）【解析】（1）由已知得2003,2004,2005,2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为36，38，40，42。10则2006年全球太阳电池的年生产量为67013613814014224998（兆瓦）。（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为X，则44142019524998142X。解得0615X。因此，这四年中太阳电池的年安装
23、量的平均增长率至少应达到615。三亮点点评例8（2007理第21题）已知半椭圆2210XYXAB与半椭圆2210YXXBC组成的曲线称为“果圆”，其中222,0,0,0ABCABC。如图，设点012,FFF是相应椭圆的焦点，12,AA和12,BB是“果圆”与,XY轴的交点，（1）若三角形012FFF是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若11AABB，求BA的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数K，使得斜率为K的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上若存在，求出所有K的值；若不存在，说明理由。O1该题属于学习型问题，学习型问
24、题是训练学生思维的敏捷性与独创性的良好素材，是素质教育的必然产物，因此这类学习能力的培养不容忽略。学习型问题一般有学习定义型、定理型、方法型。解决关键是培养学生的阅读理解能力，学会独立获取知识的能力，用过对当前定义、定理、法则、方法的学习并灵活运用于解题之中。O2解决该类问题的关键在于要能对一些基本结构所包含的一般处理方法清楚，使用灵活，对一些固定的、格式化的“东西”反应敏捷，对相近问题或背景能直觉地加以联想。要对所给信息有“加工”能力，通过选择与舍弃、化归与拓展、类比与回归、抽象与概括，实现问题的迁移或求解。O3该题贯彻了新课标中提到“运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确
25、定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”。这一要求显示，对考生运算能力的考查并未降低，还对探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等提出了更为明确的要求。四总评今年的高考数学试卷在秉承历年上海高考命题特色的同时，稳步推进考试改革中又有了许多锐意创新之举，是一份非常成功的试卷。其成功之处具体表现在强调基本概念和基本技能；注重数11学建模思想；突出数学思想方法；关注“变量与常量”的辩证关系的深化认识；在学习能力和探究能力的平台上，尝试研究性学习能力的考查。132008年上海数学高考题一对试卷的总体分析2008年上海数学试卷总体来说比较平稳，理科试卷容易题
26、约为75分，中档题约为55分，难题20分填空题最后一题和解答题最后两题的最后一问，易、中、难比例恰当，编排由易到难，有利于考生发挥。整张试卷立足基础，约有三分之二的试题源于教材，对教学的导向作用明显。试题的量与2007年相同，都为21题，这样有利于大部分学生能集中更多的时间思考问题，提高学生的成绩。今年的试卷相比去年，一是在文字叙述上更规范，没有产生歧意的地方，并且语言精练，减少了阅读量，最后3道解答题共520字，而去年有720字二是更注重学科中的研究性学习，数学语言的转换、数学思想的应用以及概念本质的考查，这些均体现学科特点，试题的设计，更重视思维的深度和严谨性。二结合试题具体分析1O注重双
27、基，回归教材填空题的前8道、选择题前3道过渡平缓，没有台阶，前4道解答题也没有设置思维障碍。三分之二的试题来源于教材，直接考对根本概念的理解和基本方法的掌握，以及运算能力和空间想像能力。专家们提出应从四个层面明确学生应该掌握和应用的基本方法具体的数学方法配方法、消元法、换元法、待定系数法、求函数最值的方法、求动点轨迹方程的方法、求数列的通项公式及前N项和的方法等。数学思想方法数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转换的思想等。逻辑方法分析法、综合法、演绎法、反证法等。实验方法直接观察、假想试验、类比归纳、统计抽样等。2O强调通法，考查数学思想近年来高考命题也更重视数学思想方法的考查，基础知识全面
28、考，重点知识重点考，淡化特殊技巧，注重通性通法。试卷凸显对数形结合和分类讨论思想的考查要求，如第11题，考生对问题的转化及图形分类标准的选择，区分了考生思维层次的差异。3O坚持“能力立意”，考查研究性学习“研究性学习”是上海二期课的亮点，也是高考命题的重点，试卷对能力的考查落到了实处。高12考命题努力使难度保持在一个理想的范围，又能达到一个较好的区分度，体现选拔功能，做到一种理想的平衡，需要发挥研究性学习试题的功能，发展和完善其考查能效。第11、15、21题学生的错误解答，反映了学生过多的被动学习，缺乏自主的研究性学习第21题，考生对以为分类标准的错误理解，说明旧知识发生了负迁移被动的学习，使
29、得学生遇到问题总是等待老师讲解，长此养成了思维的依赖，对新知识的学习缺少方法和兴趣。三亮点点评例9（2008理第11题）方程2210XX的解可视为函数2YX的图像与函数1YX的图像交点的横坐标。若方程440XAX的各个实根12,4KXXXK所对应的点4,1,2,IIXIKX均在直线YX的同侧，则实数A的取值范围是【分析】作为填空题的压轴题，这道题毫无愧色。首先，此题在立意上有新意。解方程可以理解为求两条曲线的交点，而且此题是将方程两边同除以X后得到的两条曲线。接踵而来的是表达，这里给考生设置了一个不大不小的障碍“各个实根12,4KXXXK”；实根“所对应的点4,1,2,IIXIKX”；这些点“
30、均在直线YX的同侧”。好就好在逾越这些障碍并非不可能，只要认真审视，便可过关。第三，在解题理念上对考生是一次考验。数形结合是解题的利剑，要自觉地运用它。画个图吧可是，这里有三条曲线，即直线YX、曲线1YX和3YXA，前两者好画，第三个怎么办令0A吧（看你机智不机智啊）以下需要理性思维，冷静地分析问题当0A时，曲线4YX与曲线3YXA的两个交点A、B在直线YX的异侧（如图1），不合题意。欲使两个交点在直线YX的同侧，只需将曲线3YX向上或向下平移即可。不妨向上平移吧，也就是说先考虑0A时的情形。平移多少总有个界限吧。注意，想到了界限，13就意味着有一种把握全局的能力界限在哪里就是直线YX与曲线4
31、YX在第三象限的交点2,2啊（如图2）接着就要穷追猛打了在图2的情形下，因为B点坐标为2,2，代入方程3YXA，可知6A。若A、B同在直线YX的左上方这一侧，只需要继续向上平移就可以了。这时的A是大于6还是小于6呢通过图像直观可以直接得到，一定是6A。也可以这样用计算的方法推导曲线4YX与3YXA在第三象限的交点B一定在点2,2的左上方，否则就不符合题意。所以当2BX时，32BBYXA（如图3），即22BAX。而当2BX时，226,6BXA。当0A时，同理可知，6A。这样得出答案实数A的取值范围是,66,。这一道题活而不怪，难而不偏，运算量不大，思考量颇重，值得肯定。四总评今年高考的数学试卷，
32、延续了以往的风格。七成试题来源于教材，给考生一种似曾相识的感觉，这样的试卷，更能考查学生的学科素养，同时在试题安排上梯度分明，有利于推进素质教育、有利于高校选拔新生，所以总体上2008年的上海数学高考试题是一份比较成功的高考试卷。142009年上海数学高考题一对试卷的总体分析考完2009年上海高考数学，不少学生显得情绪有些低落。一些学生，尤其是理科生直呼“今年数学卷怎么这么难”部分市重点中学平日数学成绩还不错的学生说“基础题难度加大了，做起来时间紧巴巴的。”今年的题目难在“变化”多。首先，试卷结构变化大。前些年高考数学题型和数量已成定势，1114或12道填空题，4道选择题，6道解答题。这次高考
33、，填空题14道，选择题4道，解答题5道。其次，今年是二期课改全面铺开后的第一年高考，新教材增加了许多内容。理科卷对算法、矩阵、行列式、向量、概率统计等内容进行考查，且有较高要求。此外，题目“新面孔”多，对学生数学思维能力的要求也高。不少题目呈现的方式与传统题目不同，要回归为基本数学问题对能力的要求高；有些题给出了新定义、新情境，对学生阅读理解能力要求较高。今年数学卷并没有超纲，命题组更注重新课程标准，二期课改知识点较之一期课程多了20左右，因此这次数学高考知识覆盖面比较大。那些数学基础知识学得扎实，善于活学活用的学生，考下来感觉不错。二结合试题具体分析1O对比往年的数学试题，今年的知识点较多，
34、没有“挖陷阱”的题目。但拿到题目时不要计算器当家，应有所分析，让大脑指挥手。只要对题目给出的提示信息获取充分，试题本身并不难。试卷没有一道题目直接来自教材，但从教材改编的题目很多。这些源于教材，又不同于教材的题目，目的在于鼓励师生钻研教材，不远离课本，减轻学生负担。例如理科第13题，源于高三的“统计案例”一章，教材分析了在一维条件下到有限点距离最短的结论，试题在此基础上，利用它的思想方法考查学生在二维条件下的结论是什么。由于这里横坐标、纵坐标可以独立考虑，因此并不需除教材例题之外的方法。又如理科第17题，源于高三统计基本方法一章，教材对具体数学对象中的中位数、众数和平均值作了详尽的说明，试题结
35、合社会实际现象，设计的问题落在考查准确把握上述统计内容中的基本概念，以及如何解释它的实际意义上。再如理科第20题，源于高一（二）对数函数例3“学习曲线”的描述，第（2）题的问题是要验证参数的区间，相当于对模型的应用和检验。由于每年的应用题得分率都不高，失分大多是因为未能建立数学模型，今年的应用题（理科第20题）改编自课本，题目给出了数学模型，从某种意义上说扫清了“拦路虎”。2O数学科学的特点之一就是理性思维，在高考考试目标中对理科考生尤其如此。理性思维要求考生在问题解决中，运用所学的基本知识和基本概念，会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点，会正确而简明地表述推理
36、过程，而不是都以算为手段，用算解决问题。例如理科第17、20题，依据统计中的有关基本概念、函数单调性的概念等对问题作出判断。如果只是用计算器将所有情形算一遍，虽然得分不低，但可能损失时间，不利于考生的整体发挥。又如理科第21（2）题，将含有点的方程代入双曲线方程，由演绎推理得到所设方程不成立即可，如果用判别式和韦达定理则要大算一通。3O从理科试卷的几个能力型问题考查目标分析，尽管试题体现了一定的能力要求，但落脚点都在基础知识上。如理科第14题，将一个函数图像旋转以后仍然是函数的图像，关键是对函数基本15定义的理解，即对任何自变量，函数值必须是唯一的。又如第22（3）题，虽然是一个自主学习能力的
37、试题，但是考查的重点还是反函数的概念和互为反函数的图像是关于对称的基本要求。再如第23（3）题，它有一定深度的探究能力，然而从研究问题的一般方法入手，可以从具体到一般地层层深入，对P的开始几个值上的试探，即可获得这小题的部分分值是我们对不少考生的期望。三亮点点评例10（2009理14题）将函数2Y4620,6XXX的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角0，得到曲线C。若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为第14题是填空题的压轴题，看上去较难，如果注意到函数2Y46206XXX的图像，正是以3,2C为圆心、13为半径、通过原点且位于第一象限的一段圆弧（圆弧两端点在X轴上），若过原点
38、且切于圆的直线是OP，利用数形结合的数学思想，那么使圆弧保持为函数图像的条件下，求解其绕原点逆时针方向的最大旋转角问题，就显得十分的直观与方便，易知即为直线OP与Y轴的夹角。因为132OPOCKK，于是2TAN3ARC为所求。例11（2009理18题）过圆22111CXY的圆心，作直线分别交X、Y正半轴于点A、,BAOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足1423SSSS，则直线AB有（）A0条B1条C2条D3条第18题是选择题得压轴题，似难以着手，如果利用转化的数学思想、函数的数学思想，去思考探求，求解将变得简洁明了；注意到14233142314SSSSSSSS设Y是B点的纵坐标，
39、于是上式左是函数31FYSS，上式右是定值314；易知FY是递增函数，且其值域是,；从而存在唯一的0Y，使得0314FY，即满足1423SSSS的点B是唯一存在的。等价于满足条件的直线AB有且仅有一条，选项答案为B。上述二题题意较新，如上的解析过程表明题解的知识点是基础的，思想方法是基本的；考查重在思维过程，重在思维能力；试卷对数学思想方法的能力要求较高，命题人员对此是下了一番功夫的。四总评16综上所述，我们认为今年的上海高考卷，总体上是一份注重双基、注重能力立意，具上海特色的成功之卷；不足之处有二条其一题量多了些，创近年最高，也许这和课改新增的那部分知识点有关，为兼顾知识点的覆盖面，命题人员
40、多出些题似属无奈之举；其二试题难了些，也许这和命题人员众多的创新意识相关，难以忍痛割爱，一举推出较多的能力型试题，客观上提升了整卷难度，这似是命题人员心中“能力立意”理念的强烈驱动所致。然而，高考是面镜子，该卷该如何反映二期课改的成果，这是一个值得研究的大问题。二期课改的理念之一是“削枝强干，构造更为简明的知识结构”，这是否意味着，高考在知识点覆盖面上，不必追求面面俱到，而应该在“强干”内容上下功夫；这是否意味着，“高考手册”应该事先明示切实“强干”了的内容，让师生心中都有数。课改的理念之二是“以生为本”、“减负增效”，但一线师生普遍感到，教学内容越来越多了，负担越来越重了，压力越来越大了，那
41、么高考作为指挥棒，应该如何面对呢152010年上海数学高考题一对试卷的总体分析2010年上海高考数学卷坚持能力立意，依托教材、紧扣课程标准，力求难度适中，大多数试题以常规形式呈现，试卷力求贴近中学数学教学，贴近考生。今年的数学试卷，以现行“数学课程标准”和课本为依据，关注数学核心知识和教学重点，重视基本能力和数学基本思想方法，注重考基础、考能力。试卷中与课本的例题、习题很接近或有密切联系的试题，分值在89分左右（占总分的593）；二期课改中新增的数学内容以及使用科学计算器的要求，在试卷中也有很好的体现。二结合试题具体分析1O紧扣标准，注重“双基”的考查。基本知识与基本内容，是中学数学教学的根本
42、。试卷加强了对“双基”的考查，比如，客观题目中考查了解简单不等式、复数的运算、程序框图、抛物线的方程、极限的计算、分层抽样与概率、反函数的性质、向量分解、集合运算、充要条件、利用计算器判断指数方程解的范围、利用正（余）弦定理判断三角形形状等基本知识和技能，19题考查三角函数基本公式的运用以及基本计算化简能力；20题得数列题，考查等比数列以及数列前N项和SN的基本知识，亦属常规题型；22题，在“远离（或接近）”的背景下，考察基本不等式的内容，以及三角函数的基本性质。2O能力立意保持依旧。能力立意一直是上海高考数学卷的特色之一。今年数学卷依然设计试题考查自主学习的探究问题的能力。比如，填空题中关于
43、矩阵对角线元素之和的题目，要求考生具有一定的观察、分析能力以及归纳发现能力；理科卷14题，在分类讨论、思维的严密性等方面具有一定要求。23题以向量加法的平行四边形法则为出发点，探究对于平面上给定的点P以及椭圆上的17点Q，何时存在椭圆上两点12,PP使得12PPPPPQ若存在如何构作两点12,PP第二小题为第三小题做了铺垫，在提供问题解决路径的同时也适度降低了试题的难度。理科第三小题，要求考生具有一定的探究问题的能力，对思维要求较高。3O试题的考查内容，注重数学知识的内涵与内在联系。启示我们在教学中要展示知识的发生、发展和形成的过程，展现数学思维活动的过程，关注学生对知识的理解以及对知识之间内
44、在联系的认识，让学生体会数学知识的真、善、美，领悟数学思维的策略和方法，产生学习数学的浓厚兴趣，努力提高数学学习水平。例11（2010理11题）将直线120,0LNXYNLXNYNNN，X轴、Y轴围成的封闭图形的面积记为NS，则LIMNNS本题以求图形面积的极限为背景，解题时要注意到直线1L、2L均过定点，并关注所围成图形的面积随N变化的趋势。试题将数列极限、直线方程、图形面积等核心知识融于一体，把数形结合、有限与无限等数学思想的运用整合于其中。例12（2010理20题）已知数列NA的前N项和为NS，且585,NNSNANN。（1）证明1NA是等比数列；（2）求数列NS的通项公式，并求出N为何
45、值时，NS取得最小值，并说明理由。其中第（1）小题是由NS证明1NA是等比数列，属常规问题；第（2）小题求NS取得最小值时N的值，有一定的综合要求。解答题（2）时，先要由题（1）导出1575906NNSN，再转化成15115026NNAN；然后利用指数函数与对数函数的性质，将它表达成561LOG115N的形式，再利用计算器求出结果。解答本题，突出了思考问题的过程与策略，第（2）小题还体现了数列、不等式、函数等知识之间的内在联系和转化，同时问题的解决落实在对核心知识的理解与运用上。三亮点点评例13（2010理22题）若实数X、Y、M满足XMYM，则称X比Y远离M。（1）若21X比1远离0，求X的
46、取值范围；18（2）对任意两个不相等的正数A、B，证明33AB比22ABAB远离2ABAB；（3）已知函数FX的定义域|,24KDXXKZXR。任取,XDFX等于SINX和COSX中远离0的那个值。写出函数FX的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）。试题的设计有新颖性，且解题过程中注重于通性通法的运用。引导数学教学要切实关注知识本质、重视通性通法、淡化特殊技巧、突出核心知识的教学，不断提高学生的学习能力和思维水平。四总评2010年上海高考数学试卷，积极贯彻“两个有利”（即有利于推进素质教育、有利于高校选拔新生）的高考命题指导思想，坚持以能力立意，较好地体现了素质教育对考试评价提出的要求
47、；试卷能有效地检测考生真实的数学学习水平，又能引起高中数学老师对改进教学的积极思考，是一份值得充分肯定的好试卷。同时，今年的试卷也非常注重“双基”的考查，因此，我们在平时的教学中要认真贯彻“课程标准”，重视用好数学课本，切实加强基础知识、基本技能的教学；要坚持以学生发展为本，遵循数学学习的认知规律，改变不合理地超前教学、盲目拔高教学要求的状况；要合理安排教学内容，构建完善的知识体系，扎扎实实打好基础。2高考命题趋势分析与展望在看完2006到2010年的上海市高考数学卷之后，我们可以得到一些它们共同的特点，首先，近年来题量和题型保持相对的稳定，难度波动也不大，其中2009年上海市高考数学卷，学生普遍反映该年试卷偏难，但是试卷并未超纲。所以，由此看来2011年的上海试卷试卷的变化也不会很大，我们推测2011年上海数学卷应该会有以下几个特点1O注重考查双基“双基”即基本知识和基本技能。从2006到2010年，每年的上海市高考数学首先强调的都是对基础知识的考查，基础知识在试卷中占着绝大部份的内容，而且中等难度和压轴题都是在基础知识的基础上转变加工而来的，所以，在201
