1、（20_届）本科毕业设计数学与应用数学微分方程的积分因子解法1目录引言11两个基本概念11恰当方程112积分因子22特殊形式的积分因子的求法21方程存在只与X或Y有关的积分因子的充要条件222方程存在给定形式的积分因子的充要条件33求解实例（一）44较复杂方程的积分因子的求法95求解实例（二）10致谢17参考文献182微分方程的积分因子解法摘要恰当微分方程可以通过积分求出它的通解因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念关键词常微分方程；恰当方程；积分因子；引言在学习常微分方程理论时，总是对不同类型的方程给出不同的解法能否有一种普遍的方法
2、能解各种类型的微分方程呢著名的美国数学史家M克莱因在所著的古今数学思想中写到“总的说来，这门学科还是各种类型的鼓励技巧的汇编”，然而寻求普遍解法的努力从十八世纪就一直没有停止过EULER在其论文中指出凡是可用变量分离法的地方可以用积分因子法由此本文对教材中常见类型的一阶常微分方程，包括可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、贝努利方程等，讨论用“积分因子法”求解的一般方法1两个基本概念11恰当方程2求解方程,DYFXYDX时，平常看待X、Y，将上述方程写为下述对称形式,0FXYDXDY有时会更方便一些现在我们考虑比上述方程更一般的对称形式的微分方程,0MXYDXNXYDY（11）注意在关于
3、这种方程的求解问题中，既可视X为自变量，又可视Y为自变量，这要根据具体情况使其方便而定若方程（11）的左端恰好是某个二元函数,UUXY的全微分，即,DUMXYDXNXYDY，则称方程（11）是恰当方程（或全微分方程）12积分因子53定义如果存在连续可微的函数,0XY，使得,0XYMXYDXXYNXYDY（12）为一恰当微分方程，即存在函数，使MDXNDYDV则称,XY为方程,0MXYDXNXYDY的积分因子2特殊形式的积分因子的求法21方程（11）存在只与X或Y有关的积分因子的充要条件若方程（11）存在只与X有关的积分因子X，则0DUDX，这时方程（11）变为DUMNNDXY即MNDYXDXN
4、（21）由此即知方程（11）存在只与X有关的积分因子MNYXXXN（22）这里X仅是X的（连续）函数假如条件（22）成立，则由（21）即可求得方程（11）的一个积分因子为XDXXE同理可求得方程（11）存在只与Y有关的积分因子MNYXYYM这里Y仅是Y的（连续）函数，从而可求方程（11）有仅与Y有关的一个积分因子为YDYYE22方程（11）存在给定形式的积分因子的充要条件方程（11）存在给定形式的积分因子Z（,ZZXY具有一阶连续偏导数）4MNYXFZZZNMXY（23）这里FZ仅是Z的（连续）函数事实上，因DZZXDZX（24）DZZYDZY（25）故将（24）（25）代入MNNMXYYX，
5、得DZZDZZMNNMZDZXDZYYX即MNDZYXDZFZZZZNMXY（26）0ZZNMXY由此可知方程（11）存在给定形式的积分因子Z（,ZZXY具有一阶连续偏导数）MNYXFZZZNMXY，这里FZ仅是Z的（连续）函数假如（23）成立，则由（26）可求方程（11）的一个给定形式的积分因子为MNYXDZZZNMFZDZXYZEE3求解实例（一）例1试用积分因子法求可分离变量方程5DYGXHYDX（31）的通解解方程（31）的对称形式为0GXHYDXDY（32）易知（32）存在与Y有关的积分因子Y，且011MNGXHXYXDYDHYDYGXHYHYMYEEEHY故当0HY时，方程（32）
6、，也就是（31）相应与Y的恰当方程为10GXDXDYHY两边积分，得10GXDXDYHY（C为任意常数）这就是方程（31）的通解例2试求齐次方程,0MXYDXNXYDY（33）的积分因子解当,0NXY时，方程（33）1,NXY后改写为,DYMXYYGDXNXYX（34）方程（34）的对称形式为0YGDXDYX（35）方法一（直接利用例1的结果）令YZX，则DZZDXXDZ，代入（11），得0GZZDXXDZ（35）6（35）1X，得10GZZDXDZX（36）将（36）与（31）加以比较即知（14）的积分因子为10ZGZXGZZ（37）于是，方程（33）的积分因子为1111,XYGZZXNXY
7、XMXYYNXY（38）或者1,XYXMXYYNXY（39）（其中，,0XMXYYNXY）方法二（直接利用给定形式的积分因子公式）由方程（35）的形式特点易推知具有给定形式的积分因子,YZZX，且由公式（26）及（35），有210111101MNYXDZZZNMXYDGZDXXDZYGZXXDGZDZDZZGZDZGZZGZZGZDZZGZZZZENMXYEEEEZZGZ0GZ（310）于是，方程（33）的积分因子为,1,XNXYYDXMXYYNXYXXYZNXYXEXMXYYNXY,0XMXYYNXY（311）7在这里，我们用上述两种方法求出齐次方程（33）的两个不同的积分因子（39）或（3
8、8），据此我们可顺便求出方程（33）的通解，看它们是否亦不同由方法一知方程（37）的积分因子为（38），故方程（37）相应于（38）的恰当方程为110DXDZXGZZ两边积分，得1LNLN|XDZCGZZ（C为不等于零的常数）故再由方程（36）即知方程（33）的通解为1DZGZZXCE（C为任意常数）其中，,MXYYGZZNXYX由方法二知方程（35）的积分因子为（310），故方程（35）相应于（310）的恰当方程为1110DZDZZGZZGZEDZXEDZZGZ即10DZZGZDXE两边积分，得1DZZGZXEC（C为任意常数）于是，方程（33）的通解为1DZGZZXCEC（C为任意常数）由
9、此易知由方程（32）的两个不同积分因子求得的通解是完全相同的例3试用积分因子法解线性方程DYPXYQXDX（312）解方程（312）的对称形式是0QXPXYDXDY（313）显然，方程（313）存在只与X有关的积分因子X，且01MNYXDXNPXDXPXDXXEEE（314）8于是，方程（313）相应于（314）的恰当方程为0PXDXPXDXQXPXYEDXEDY，分别组合，得0PXDXPXDXPXDXQXEDXYPXEDXEDY，两边积分，得PXDXPXDXYEQXEDXCC为任意常数，故方程（312）的通解为PXDXPXDXYEQXEDXC这与前面用常数变易法所求出的结果完全一样利用本题的
10、结果以及例1与例2求积分因子的方法容易求得贝努利方程NDYPYQXYDX0,1N（315）的积分因子为1,0NPXDXNXYYEY（316）从而相应的恰当方程为1111NPXDXNPXDXNPXDXNNDYYEPXYEQXEDX，即1111NPXDXNPXDXNDYENQXEDX两边积分，得1111NPXDXNPXDXNYENQXEDXC，故方（315）程的通解为1111NPXDXNPXDXNYENQXEDXC（317）注意（316）成立的条件，最后得到方程（315）的通解为1111101010NPXDXNPXDXNNPXDXNPXDXNYENQXEDXCNNYYENQXEDXCN且这与前面所
11、求出的结果亦完全一样到此为止，我们可以说凡是可分离变量方程和可分化为可分离变量方程，线性方程和可化为线性方程的方程，都可用积分因子法去求解因此积分因子法是求解一阶方程的较为一般的方法，只9是有时并不一定简捷由此，我们通常把分离变量法和积分因子法作为求解一阶方程的基本方法4较复杂方程的积分因子对于一般形如（11）的一个较复杂的方程，往往不容易直接求得它的积分因子，但若能将它的左端分成几组，比如分成如下两组11220MDXNDYMDXNDY（41）后，可分别求得这两组的积分因子1和2以及相应的恰当函数1U和2U则借助于1，2，1U，2U，常可求得整个方程（11）的积分因子事实上，对于任意非零连续函
12、数1U和2U，11U和22U都分别是方程（41）的第一组和第二组的积分因子，由于、,使1122UU则既是（41）的第一组的积分因子，又是（41）的第二组的积分因子，因而也就是整个方程（41）的积分因子一般来说，我们有这样的结果定理122如果方程（12）有积分因子,XY和相应的原函数,UXY，即,DUXYXYMXYDXXYNXYDY则,XYHUXY也是方程（12）的一个积分因子，其中H是任意一个可微的非零函数证明由假设知,XYHUXYMXYDXXYHUXYNXYDYHUXYXYMXYDXXYNXYDYHUXYDUXYDHUXY其中H是H的一个原函数假设方程（12）左端可以分成两组11220MDX
13、NDYMDXNDY其中第一组和第二组各有积分因子1和2及相应的原函数1U和2U有定理22，对任意可微函数1H，2H，这两个组可以分别有积分因子111HU和222HU为了找出两组公共的积分因子，我们需要寻求合适的可微函数1H，2H使得111222HUHU10如果这样的1H，2H已经找到，那么111HU就是原方程（12）的积分因子运用找积分因子进而求解方程的方法，通常称为分组积分因子法下面我们举例说明求解方程的分组积分因子法5求解实例（二）例4试用分组积分因子法求解方程42343250XYYDXXXYDY（51）解将方程（51）的左端分组为两组后的等价方程为24342350XYDXXDYYDXXY
14、DY（52）显然，第一组的积分因子为1,1XY,且相应的恰当函数为21,UXYXY,而第二组的积分因子为333212575520MNYYYXDXDXNXYXEEXX,相应的恰当函数为121234552005,054XYUXYDXXYDYXY,于是，若选取11UU，则21111UUXY,若再选取142245UU，则7127314255554224554UXXYXXYXY,故当20XY时，原方程的积分因子为21122,UUXYXY,方程（52）相应于2,XYXY的恰当方程为11222342350XYDXYXYDXXYDY,即223520XYDXYDXY,两边积分，得2235CXYXYC为任意常数,
15、当20XY时，方程（51）仍成立故0Y亦是方程（51）的解于是，综上所述即知原方程的通解为323XYXYCC为任意常数（53）由上述讨论及本例可知一般来说，运用分组积分因子法求解较复杂的对称方程时，有两个问题应注意全力解决其一，关键在于将较复杂的对称形式的方程进行适当分组，使各组的积分因子与相应的恰当函数易于求出；其二，重难点在于适当选取1U和2U，使1122UU显然，在实际运用分组积分因子法求解较复杂的对称形式的方程时，上述需要注意全力解决的第二个重要问题也是可以设法避免的，其作法是首先在分组后的各组中，选取一组，求出这组的积分因子,IXY及相应的恰当函数,IUUXY然后从I和IU出发，注意
16、观察其他各组DX、DY项的特点，最后再适当选取IU的非零连续函数IU，使IIU成为整个原方程的积分因子例如，本题可如下解之首先，容易看出第一组的积分因子,1IXY，相应的恰当函数为21UXY于是，方程（52）可改写为2432350DXYYDXXYDY其次，注意到第二组含DY的项中，Y的次数是3，系数是5由此即可选择1U的一个非零可微函数11UU，使第二组乘以211UXY后即成为35XY的全微分了12因此，最后可选择211,0XYUXY为方程（51）的积分因子，由此可同样求得方程（51）的通解为（53）显然，有时另外的其他组的积分因子不容易看出这时，也可同样从原方程分组后的各组中选择某一组，求出
17、这组的积分因子I及相应的恰当函数IU后，再从这组出发，利用给定形式的积分因子公式，通过计算可求得其他组也即整个新方程的积分因子例如本例可如下解之由于已知方程（52）的第一组的积分因子为1I，相应的恰当函数为21UXY所以方程（52）可改写为2432350DXYYDXXYDY（54）显然，这时（54）的第二组亦即整个新房成（54）应有给定形式的积分因子22,ZZXY，且22332222342212512523MNXYDZYYZZDXYDXYNMXYXYXYYXXYZEEEXY由此，同样可立即求得方程（51）的通解为（53）最后，我们还要顺便指出方程（51）亦可通过作变量变换3YUX，化为可分离变
18、量方程求解，而且还可通过方程（51）乘以待定积分因子XY（常数，待定）化为恰当方程求解例5试用分组积分因子法求解方程32253370XYYDXXXYDY（55）解将方程（55）的左端分组为两组后的等价方程为23253370XYDXXDYYDXXYDY（56）第一组的积分因子为11215611133310MNYXXXDXDXDXNEEEXX相应的恰当函数为1155233331000,50333XYYUXYXXDXXXDYXDYXY第二组的积分因子为222222972127772,0MNYYYXDXDXDXNXYXXYEEEXX13相应的恰当函数为22293323777720007,30773XY
19、YUXYXDXXYXDYXYDYXY若选取121113UU，则151511113333222211133UXXYXXYXY若再选取162237UU，则291231113776714222223773UXXYXXYXY故当11220XY时，原方程的积分因子为11221122,XYUUXY方程（56）相应的恰当方程为335117352222222253370XYDXXYDYXYDXXYDY即3351173522222222533702222XYDXXYDYXYDXXYDY亦即333722220DXYDXY积分，得333722221XYXYC（C1为任意常数）当11220XY时，原方程的左右两端皆为
20、零故0Y亦是原方程的解于是，综上所述即知原方程的通解为53372222XYXYCC为任意常数由本例可知非零连续函数、理论上讲是可以任意选择的，但实际选择时，为求出整个方程的积分因子,XY，须使1122UU由此选择出满足上述等式的、，一半却并非轻而易举之事实际求解较复杂的对称形式的方程时，我们常常采用一种较为渐变的计算方法以避免去选择、这种渐变计算1U或2U的方法是首先求出欲求解的方程分组后的某一组的积分因子和相应的恰当函数，然后把分组后的方程两边都乘以这一组的积分因子，并把这一组改写为相应恰当函数的全微分，这时，相应方程的其他组亦即整个相应方程必定应有以这一组的恰当函数为自变量（中间变量）的给
21、定形式的积分因子14最后用给定形式的积分因子公式即可通过积分计算求得相应方程的积分因子1U或2U等据此积分因子1U或2U等即可求得相应方程的解，进而得到原方程的解，这种求解方法可称为从一组的积分因子出发的分组积分因子法例如，本例亦可用此法解之如下首先，将方程（55）的左端分成如上述相同的两组，并求得第一组的积分因子和相应的恰当函数（已求出）为531,3UXYXY和1310XXX其次，把方程（56）中的第一组变为恰当函数1,XY的全微分后再找相应第二组亦即整个相应方程的积分因子561X，得512323333370DXYXYDYXYDY（57）这时，方程（57）的第二组亦即整个方程（57）必定应有
22、给定形式的积分因子532,ZZXY,且2222112233532215233333535314935733112551332MNYXDZZZMNXYXYXYDXYXYXYXYXDXYXYZEEEXYXY0方程（57）相应的恰当方程为551113533222223370XYDXYXYDXXYDY,即551113533222223370222XYDXYXYDXXYDY亦即5513733222302XYDXYDXY,积分，得533732221XYXYC（C1为任意常数）15注意到520XY时，0Y亦是方程（55）的解故方程（55）的通解为53373222XYXYC（C为任意常数）这与前面已求出的结果
23、完全一样，而且（31）的积分因子为15111332221,0XYXZXXYXYXY,亦与前面求出的结果一样这里，顺便指出方程（55）亦可通过作变量2YZX化为可分离变量方程求解，额日全额还可通过方程（55）乘以待定积分因子XY（常数，待定）化为恰当方程求解例6求解方程2320XEYDXXYDY解分组观察方程的左端，2223232223221323211XXXXEYDXXYDYDEXYDXXYDYXDEXYXDXDEDXYX由分部积分得23223222XXXDEXYXXEXY因此，通解为23222XXXEXYC通过分组观察的方法求解（12）时常会遇到下面一些二元函数的全微分公式DXYYDXXDY
24、2YXDYYDXDXX222DXYXDXYDY22ARCTANYXDYYDXDXXYLNYXDYYDXDXXY16例7设,RS是任意函数，其中0求方程0SXYYDXXDYXYYDXXDY的通解解取1112,XX则11YDXXDYYXXDYDXY2YDXXDYDXY因此方程中的两组分别有积分因子1134SXXXXXX相应的原函数分别为,XYXY欲求可微函数1H，2H，使得1112RSXYHXYXYHXY（58）由于（58）两边都是由幂函数构成的单项式形式，因此考虑如下形式的1H，2H12,MNHZZHZZ而（58）式两边也都应该是单项式，不妨记为KLXY因为1H，2H的选择有一定的随意性，因此我
25、们不必对函数1H，2H考虑自变量中的系数和这样（58）就简化为11RSMNKLXYXYXYXYXY（59）比较（59）中第一项和第三项中X，Y的指数可得到比例关系11KRLS整理得到110LSKR（510）同理对（59）中的第二项和第三项分别比较X，Y的指数，得到110LK（511）从而确定了方程的积分因子为KLXY，其中K，L满足（510）（511）最后得到通解17111111RKSLKLXYXYCRKK结束语本文讨论了几种微分方程积分因子的求解方法同时，还对积分因子的求解方法进行了推广，总结出几类特定方程积分因子的固定求法（比如分组求解法），以便加深对积分方程积分因子的认识和了解，熟悉一阶
26、微分方程求解方法总结的分组求解法能大致适用于部分常微分方程，并对这几种方法进行了比较，为读者解决一般的实际难题参考文献1朱乃明，李虹利常微分方程M重庆西南师范大学出版社，20052E卡姆克常微分方程手册M北京科学出版社，19803王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松常微分方程M北京高等教育出版社，20064周义仓，靳祯，秦军林常微分方程及其应用方法、理论、建模、计算机M北京科学出版社，20035张伟年，杜正东常微分方程M北京高等教育出版社，20066陈伟解一阶线性常微分方程的积分因子法J高等数学研究，2008，11（3）27297李德新两类特殊微分方程的积分因子解法J高等数学研究，2008，11（3
27、）33348郑重武一类微分方程的积分因子及其解法J运城学院学报2008，26（5）17189吴春絮微分方程中几种特殊积分因子的求法及应用J铜陵职业技术学院学报2008，4969710侯谦民利用积分因子解微分方程J湖北成人教育学院学报2007,134737411陈明玉一阶常微分方程有形如SLAXBXYCY积分因子的充要条件J大学数学2005,211113013312潘鹤鸣几种特殊类型积分因子的求法及在解微分方程中的应用J巢湖学院学报2003，5（3）182213杨淑荣，赵红军一元函数积分因子的一般求法J高等数学研究2001，4（2）131414丁渝生常数变易法与积分因子法J河南电大1994增刊3
28、44415杨宗永用积分因子法试解一阶微分方程J成都纺织高等专科学校学报1994,114233118DIFFERENTIALINTEGRALFACTORSOLUTIONSABSTRACTAPPROPRIATEDIFFERENTIALEQUATIONCANBEOBTAINEDTHROUGHTHEINTEGRATIONOFITSGENERALSOLUTIONCONSEQUENTLY,THEAPPROPRIATEDIFFERENTIALEQUATIONSINTOANONAPPROPRIATEDIFFERENTIALEQUATIONHAVEGREATSIGNIFICANCEINTEGRATINGFACTORISINTRODUCEDTOSOLVETHISPROBLEMTHECONCEPTOFKEYWORDORDINARYDIFFERENTIALEQUATIONSAPPROPRIATEEQUATIONINTEGRALFACTOR
