1、（20_届）本科毕业设计数学与应用数学应用矩阵的性质求解行列式1目录1运用与可逆矩阵有关的特殊加法计算式211利用11AAA计算行列式212利用112221ABBAEBAB求解行列式42运用矩阵的乘积行列式性质的计算行列式53分块矩阵的若干性质在行列式计算中的应用64矩阵的特征值在行列式计算中的应用102应用矩阵的性质求解行列式摘要矩阵的性质和行列式的计算是高等代数中最重要的两个组成部分,是解决其他高等代数问题的基础,具有较为广泛的应用本文探讨运用矩阵的性质进行行列式的计算,并初步探讨运用矩阵乘法,矩阵的分块和矩阵的特征值等性质计算行列式关键词矩阵行列式分块矩阵特征值在高等代数的学习中,行列式
2、是其一个重要的工具计算行列式的方法很多,但具体到一个行列式,要针对其特征,选取适当的方法,才能提高解题的效率行列式与矩阵是不同的两个概念,但他们又是密切相关的本文就运用矩阵的性质,探究行列式的一些计算方法1运用与可逆矩阵有关的特殊加法计算行列式对于一些可以表示成可逆矩阵与特殊矩阵的和的方阵的行列式,如可逆矩阵与秩1矩阵的和,或可逆矩阵与22NN矩阵的和等形式矩阵的行列式,可以运用一些特殊的公式来计算11利用11AAA计算行列式；定理1设A是N阶可逆矩阵,和是两个N维列向量,则有11AAA证明由11111AOAAAOEN,得到1101AAA11AA由111OAOEAN得到01AA结论得证例1计算
3、行列式0231031201230NNDN解112011201DNN3令1200AN,11,12N得1111NAAANN例2计算N阶行列式NAABABABABAABABDABABAABABABABA解220200NBBBABABABBBABABABDBABABAB22021100BBBABBBABBAB,1）B0时,0,1,1,NNDAN2）设0B,令220200BBBBBAB,12112122121201000NNBBBBABBBB,ABABAB,111得1,NNNABNDBN为奇数时，为偶数时4例3计算D2212211212121111NNNNNAAAAAAAAAAAAAAA解D121231
4、000010000000001NAAAAAA1211NNAAAAA211NIIA类似的题目还有NNNNAXXXXAXXXXAX21221211,222212222122221NNNAXAAAAXAAAAX等均可以用该方法计算12利用112221ABBAEBAB求解行列式定理2设A为N阶可逆矩阵,1B为2N矩阵,2B为N2矩阵,则有112221ABBAEBAB证明方法与定理1类似,故此省略例4设10NIIA,计算行列式12121212000NNNNAAAAAAAADAAAA解11112122122212222NNNNNNNAAAAAAAAAAAAAADAAAAAAA511221221211112
5、1NNNAAAAAAAAA令12222NAAAA,121111NAABA,212111NBAAA,记2E是二阶单位阵,112221ABBAEBAB22,1122NNNIIIJIJAANA例5计算行列式2212211212121111111NNNNNAAAAAAAAAAAAAAAD解1111111112121NNAAAAAAD,令111,11121NAAABA,则有111|121212NIINIINAANNBABEABBAD例6计算121212111111NNNNAAAADAA解112212100110101111100111NNNNAAAAADA61）110NIIIA，令11221000100
6、01NNAAAA,111111B,12111NAAAC,故12DAECAB1111NIIIAA21211NIIIIAA11211NNIIIIAA11NIIIA121IIA,而111NIIIIIJDAA，这时（1）同样适合，因而（1）为计算公式2运用矩阵的乘积行列式性质的计算行列式定理3A,B是两个N级方阵,则有ABAB例7计算行列式ABCDBADCDCDABDCBA解取行列式1111111111111111H,显然0H,由矩阵乘法的行列式性质有1111111111111111ABCDBADCDHCDABDCBAABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDAB
7、CDABCDABCDABCDABCDABCD7HDCBADCBADCBADCBA等式两边消去H,得DCBADCBADCBADCBAD例8计算4阶行列式4ABCDBADCDCDABDCBA解因为2444ABCDABCDBADCBADCDDDCDABCDABDCBADCBA000000000000FFFF,其中422222222FABCDABCD,所以22224DABCD，但行列式4D中4A的系数为1,故222224DABCD例9计算行列式DNNNNNNNNNNNNNNNBABABABABABABABABA101110101000解在行列式中,每一个元素都可以利用二项式定理展开,变成乘积的和据行列
8、式的乘法规则,D21DD其中NNNNNNNNNNNNNNNACACCACACCACACCD1011110010101,11111110102NNNNNNNNBBBBBBD对2D进行的行的交换,就是得到范德蒙行列式,于是NNNNNNNNNNNNNNNNBBBBBBAAAAAACCCDDD1010211100212111111111021021NIJIINNNIJIINNNNBBAACCC83分块矩阵的若干性质在行列式计算中的应用性质1设矩阵A是由如下分块矩阵组成123123123AAAABBBCCC其中123123123,AAABBBCCC都是SS矩阵,又M是任一S阶方阵对于矩阵12311223
9、3123AAADBMCBMCBMCCCC则AD证明由00000SSSEEME123123123AAABBBCCC123112233123AAABMCBMCBMCCCC其中SE是S阶单位矩阵,对上式两边同时取行列式得AD性质2设方阵A是由如下分块组成123123123AAAABBBCCC其中123123123,AAABBBCCC都是矩SS阵,又M是任一S阶方阵对于矩阵则BMA证明设SE为S阶单位矩阵,则123123123000000SSEAAABMBBBECCC000000SSEMAE于是123123123AAABBBBACCCSSEMEAMA本性质可以通过性质1的例子同样也以得到1231231
10、23AAABMBMBMBCCC9性质3设方阵A和B写成如下形式123123123AAAABBBCCC123123123BBBBAAACCC其中123123123,AAABBBCCC都是S级矩阵。则,ASBA当为偶数时，当S为奇数时证明A可由B中的123,BBB，和123,AA，A相应的两行对换而得到,而对换行列式的两行,行列式反号,故当S为偶数时,BA,当S为奇数时,BA可以证明,对于一般的分块矩阵也具有相同的性质这些性质同时,这些性质不仅对行成立,对列也同样成立下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用推论1设,AB都是N阶方阵,则有ABAB证明作N2阶行列式,0ABACE由拉普拉斯展开
11、定理得CABEAB又由性质1并应用于列的情况,有00100NABAABABAAAEEBEBEEB11NNABAB因此有|BAAB推论2设,AB都是N阶方阵,则有|ABABABBA证明根据性质1并应用于列的情况,有ABBAABBBAA0ABBABABAB例10计算行列式0000XYZXZYDYZXZYX解这个行列式看似简单,但如果方法选择不当,做起来并不轻松10设00XAX,YZBZY由推论2知ABDBAABABYXZXZYYXZXZY2222YXZYXZZXYZXYZXYZXY例11计算2N阶行列式000000000000000000000000ABABABDBABABA解令A00000000
12、00000AAAAB0000000000000BBB则ABDBAABAB00000000ABABBA00000000ABABBABANNABAB22NAB推论3设A,B,C,D都是N阶方阵,其中0A,并且ACCA,则有ABCDADCB证明根据性质1,因为1A存在,并注意到ACCA,用1CA乘矩阵ABCD的第一行后加到第二行中去得110ACABDCAB从而11ABCD110ACABDCAB1ADCAB11ADACABADCAABADCB例12计算行列式3112243410230114P解设ABPCD,其中,A3124,B1234,C1001,D2314由计算知A100且ACCA所以PADCB31
13、23101224140134611518534矩阵的特征值在行列式计算中的应用定义设A是N阶方阵,若存在N维非零向量X使AXX，则称为A的特征值,并称此非零向量X为A的属于的特征向量如果N阶方阵A的N个特征值为12,N,则12NA一般地，如果N阶方阵A的N个特征值为12,N,设EAAAAAAAAFMMMM1110，则AF的特征值为,21NFFF，因此|21NFFFAF例12设TA，其中为三维列向量，且2T，计算|NAE解由2TTA可知，A的一个特征值为2，为相应的特征向量取与正交的两个线性无关的向量21,，则有01TTA，类似有02A，因此21,为A得对应于特征值0的两个线性无关特征向量，0为
14、A得二重特征值A的特征值为2,0,0，于是NAE的特征值为1,1,21N因此NNAE21|例13矩阵的特征值与特征向量计算三线形行列式12设00000000000000NABCABCADABCA解按第一行展开得12NNNDADCBD，为求ND的通项变成21NNNDADCBD现在利用矩阵的工具来求ND的通项,根据,2,11112NDDCBDADDNNNNN（2）令211NNNDBD,1NNNDBD,10ACBA那么（2）可以写成1NNBAB（3）由（3）式递推可得11NNBAB（N2,3,N）4其中21ACBBA这样求ND的问题就转化求NB的问题,因而转化为求1NA的问题,如果A可对角化,即存在
15、可逆矩阵P使得,1PAPD（对角形）,就可以算出111NNAPDP由于1ACBEA20ACB得A的特征值2142AACB,2242AACB（1）若24ACBI240ACB,则A有两个不相同的复特征根1,2在复数域上相应于1与2的特征向量分别为12,XX取12,PXX且P可逆于是就有11112200NNNAPP所以13111NNNNDAAAD就可以求出ND,如果A限制在实数域上,A有复特征根,这里A不能对角化II当240ACB,则A有两个不相等的特征值,则A可对角化,按I）在复域上的情况可以得出ND（2）若240ACB,这时A有重根,如果A两个线性无关的特征向量,则A可对角化,若只有一个特征向量
16、,这时可利用相似变换,把A化若当标准形1110,可以算出1NA,即可以求出ND例14计算N阶行列式9500049500049000009500049ND解例13中0180814,5,4,92BCACBA，因此92010A，1619B2920920541EA所以A的特征值为15，24对应于特征值15，代入齐次线性方程组0EAX即1212420050XXXX的基础解系为51，对应于特征值24，代入齐次线性方程组0EAX，即1212520040XXXX的基础解系为41，以51及41为列作一个矩阵5411P，则P的可逆且为11415P于是11N111200NNNAP11541450111504NN11
17、1544554544554NNNNNNNN1NNDD111544554544554NNNNNNNN619121154NN14所以1154NNND，N1,2，例15计算2100012100012000002100012ND解例13中04,1,22BCACBA，2110A,132B矩阵A特征值1（二重），并且属于特征值1的只有一个线性无关的特征向量，A不能对角化，但可以相似变换方法求ND的通项令2111X，且X可逆1XAX121112110211111122110211110111且110101111NN由（1）式得12121102110111111于是得到1112121102110111111N
18、N211011111112N112NN1NNDD11NAB112NN3221NN所以NDN1,N1,2,都成立参考文献1北京大学数学系几何与代数小组教研室前代数小组高等代数（第三版）M高等教育出版社,20032王品超,高等代数新方法。山东教育出版社。3陈黎钦,关于求解行列式的几种特殊的方法福建商业高等专科学校学报20071（01）,P95984刘和义,玉强矩阵特征值的一种新型求法J衡水学院学报,201001009（01）,P5358155冯俊艳,马丽。讨论矩阵的特征值与行列式的关系J价值工程,201011（11）,P60646石华,矩阵在高等代数中的应用J黑龙江科技信息,201031（05）,
19、P85967韩宝燕,行列式的计算方法与应用J科技信息,20103（03）,P56618薛利敏,舒尚奇利用行列式性质求矩阵的特征值J,渭南师范学院报,2010Z5（02）P56609王作中,行列式的计算方法与技巧J,民营科技,20108（08）,P343910林谨瑜,分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用,2010915,P109112CALCULATEDETERMINANTBYPROPERTIESOFMATRIXABSTRACTTHEPROPERTIESOFMATRIXANDTHECALCULATIONOFDETERMINANTAREVERYIMPORTANTPARTINHIGHERALGEBRA,THEYBECOMETHEBASISINRESOLVINGOTHERPROBLEMINADVANCEDALGEBRAINTHISPAPER,WEEXPLORETHECALCULATIONOFDETERMINANTBYUSINGTHEPROPERTIESOFMATRIX,THESEPROPERTIESINCLUDINGTHEMULTIPLICATIONOFMATRIX,PARTITIONINGOFMATRIXANDEIGENVALUESOFMATRIXKEYWORDSMATRIX,DETERMINANTBLOCKMATRIXEIGENVALUE
