1、函数的极值和最大、最小值,中国青年政治学院邓艳娟,一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。,反需求函数为 P=100-x,厂商的利润 (x)=px-C=100x-x2-25x,一、函数的极值,1、定义,设 f(x) 在区间 (a, b) 内有定义,是 (a, b) 内的一点.,都有,( 极小值 ).,极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,注,（1）极值是局部概念，不同于最大（小）值，极小值不一 定小于极大值。,（2）极值点不能在端点,证,(极小值的情况可类似
2、证明),驻点.,2、必要条件,(1),(2),(负),(正),(极小值);,3、第一充分条件,求函数的极值可按如下步骤进行:,（1）求定义域,（2）求使 f(x)=0 的点，或使 f(x) 不存在的点,（3）上述各点把定义域分成若干个区间，列表讨论在 各个区间上的单调性，并求极值。,一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。,反需求函数为 P=100-x,厂商的利润 (x)=px-C=100x-x2-25x,x*表示使厂商利润最大化的产量，可得, (x*)=100-x-25=,x
3、*=37.5,厂商的利润最大化价格P*=100-x*=62.5和最大化利润(x*)=1406.25。,一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=0.1x-x+50x+200，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。,厂商的利润 (x)=100x-x2- 0.1x-x+50x+200,(x*)=100-2x- 0.3x2+6x-50 =,例,解,(2),(1),厂商的利润最大化价格P*=100-x*=78.80和最大化利润(x*)=806.07。,一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是
4、价格。这个厂商的成本函数为C=25x，图书的作者可以得到每本卖出的书的销售价格的作为版权费，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。,作者的收入(x)=.1px.1R()=0.1(100x-x2),出版商的利润(x)=R(x)-C(x)-Y(x)=65-0.9x2,作者的希望销售量 x*=50 销售价格P*=50出版商的希望销售量 x*=36.1 销售价格P*=63.9,出版商总是定一个更高的价格而卖出比作者希望的数量少的书。,作者的收入(x)=rpx ,0r1,出版商的利润(x)=R(x)-C(x)-Y(x)=(1-r)R(x)-C(x),最大化Y(x)得到Y(x)=0= R(x),只要边际成
5、本大于零，即，出版商的期望销售量肯定和作者的期望销售量不同，由于我们通常假设边际收入随产量的增加而减少即 。所以出版商总是定一个更高的价格而卖出比作者希望的数量少的书。,出版商最大利润(x)=0， R(x)=C(x)/(1-r),4、第二充分条件,证,那么,(1),因此,(2)可类似证明.,一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。,反需求函数为 P=100-x,厂商的利润 (x)=px-C=100x-x2-25x,(x)=-20,例,解,注,例,解,假设垄断厂商有线性需求函数x
6、=a-bp，其中x是需求，p是价格，且总有一个线性总成本函数C=cx。但是这个垄断者不能自由的选择它的价格。一个监管机构设定了一个它能要求的最大价格q。其中qc，否则这个厂商将会倒闭。,厂商收入函数R(p)=px=ap-bp2,厂商成本函数C(p)=cx=ca-cbp,问题：max(p)=ap-bp2-(ca-cbp) s.t. qp,二、函数的最大、最小值,1.,最大（小）值点,端点,内部,驻点,求出端点和驻点的函数值，其中最大（小）的就是函数的最大（小）值,注,问题如果x*是问题maxf(x)s.t. axb的一个最优解，则它至少满足下面一个条件：,f(x*) 0 且 (x*-a) f(x
7、*) =0f(x*) 0 且(b-x*) f(x*) =0,其中如果函数同时满足两个条件且f(a) 0，f(b) 0，我们一定有ax*b。,问题如果x*是问题minf(x)s.t. axb的一个最优解，则它至少满足下面一个条件：,f(x*) 0 且 (x*-a) f(x*) =0f(x*) 0 且(b-x*) f(x*) =0,其中如果函数同时满足两个条件且f(a) 0，f(b) 0，我们一定有ax*b。,一个区间上最优化,假设垄断厂商有线性需求函数x=a-bp，其中x是需求，p是价格，且总有一个线性总成本函数C=cx。但是这个垄断者不能自由的选择它的价格。一个监管机构设定了一个它能要求的最大
8、价格q。其中qc，否则这个厂商将会倒闭。,厂商收入函数R(p)=px=ap-bp2,厂商成本函数C(p)=cx=ca-cbp,问题：max(p)=ap-bp2-(ca-cbp) s.t. qp,由问题得到 (p*)=a-2bp*+cb 0且 (q-p*) (p*)=,得到两种情况：,若p*q，则 (p*)=即p*=(a+cb)/2b这显然是垄断厂商利润最大化价格。约束价格没有约束力。厂商价格相对监管者允许的价额低，看起来对消费者是好事，但实际上只是说明监管是无效的。,若p*=q，则监管有效 (p*) 或者监管无效 (p*)=。,二、函数的最大、最小值,2.,最大（小）值点,端点,内部,驻点、不可导点,求出端点、不可导点和驻点的函数值，其中最大（小）的就是函数的最大（小）值,
