1、第十章 曲线积分与曲面积分,返回,1.曲线积分与曲面积分,2.各种积分之间的联系,3.场论初步,一、主要内容,曲线积分,曲面积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,定义,计算,定义,计算,1. 曲线积分与曲面积分,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,2. 各种积分之间的联系,积分概念的联系,定积分,二重积分,曲面积分,曲线积分,三重积分,曲线积分,计算上的联系,其中,理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,三重积分与曲面积分的联
2、系,高斯公式,曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系,推广,推广,梯度,通量,旋度,环流量,散度,3. 场论初步,二、典型例题,二、对弧长的曲线积分,对弧长的曲线积分的计算方法练习,解法：化为参变量的定积分计算,解题步骤：,（1）画出积分路径的图形；,（2）把路径L的参数式子写出来：,（3）将ds写成参变量的微分式，代入并计算：,注意：参数大的作为上限，小的作为下限,解,二、对弧长的曲线积分-例1,a/2,二、对弧长的曲线积分-例2-1,解：,B,O,A(a,0),X,Y,二、对弧长的曲线积分-例2-2,解,oA：,过点 o (0,
3、0, 0) ，平行于 y 轴，,方程：,AB：,过点 A (0, 2, 0) ，平行于 x 轴，,二、对弧长的曲线积分-例3-1,AB：,过点 A (0, 2, 0) ，平行于 x 轴，,方程：,BC：,过点 B (3, 2, 0) ，平行于 z 轴，,方程：,二、对弧长的曲线积分-例3-2,BC：,过点 B (3, 2, 0) ，平行于 z 轴，,方程：,于是，,二、对弧长的曲线积分-例3-3,三、对坐标的曲线积分-解法1,对坐标的曲线积分的计算方法：四种,解法1：化为参数的定积分求解,（1）,（2）,（3）,三、对坐标的曲线积分-解法2,解法2：利用格林公式求解,注意：（1）P（x，y）、
4、Q（x，y）在闭域D上一阶偏导数的连续性；（2）曲线L是封闭的，并且是取正向。,三、对坐标的曲线积分-解法3,解法3：L不闭合，则补充边L使L+L闭合，在再用格林公式,三、对坐标的曲线积分-解法4,解法4：利用与路径无关条件求解,解,三、对坐标的曲线积分-例1,解,P，Q 在 D 上具有一阶连续偏导数。,由格林公式，有,三、对坐标的曲线积分-例2,三、对坐标的曲线积分-例3,解,Y,X,O,2,1,1,A,B,选择路径OBA，则,解,P，Q 在全平面一阶连续偏导数。,且全平面是单连通域。,因此，曲线积分与路径无关。,三、对坐标的曲线积分-例4-1,取一简单路径：AB + Bo .,三、对坐标的
5、曲线积分-例4-2,P，Q 在全平面一阶连续偏导数。,解,补上直线段 AB，L 与AB 所围为 D。,在 D 域上应用格林公式。,三、对坐标的曲线积分-例5-1,三、对坐标的曲线积分-例5-2,解,三、对坐标的曲线积分-例6-1,Y,X,O,-a,a,b,-b,L,在L包围的椭圆区域内作顺时针方向的小圆周L1：,L1,所以，,三、对坐标的曲线积分-例6-1,Y,X,O,-a,a,b,-b,D1,L,在 D1 域上应用格林公式，有,L1,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分的计算法,解题步骤：,1、画出曲面的草图；,2、由曲面的方程，写出其去曲面微分ds,3、计算在投影面上的二重积分；
6、,解法：化为投影域上的二重积分的计算,例1-1,解：,在xOy面上的投影域为：,投影域在极坐标下可表示为：,例1-2,所以，,例2-1,解：,z,x,y,O,a,2,1,如图所示，记上半球面为1,记下半球面为2,则 =1+2,1的方程为：,例2-2,1在xOy面上的投影域为：,投影域在极坐标下可表示为：,z,x,y,O,a,2,1,同理，可得,故,例3-1,解：,z,x,y,O,半球壳的方程为：,例3-2,z,x,y,O,此半球壳在xOy面上的投影域为：,在极坐标系下可表示为：,故，所求转动惯量为：,二、对面积的曲面积分的计算法1,对坐标的曲面积分的计算法,解法有三种：,1、通过投影化为二重积
7、分,二、对面积的曲面积分的计算法2,2、利用两类曲面积分之间的联系,二、对面积的曲面积分的计算法3,3、利用高斯公式,（1）曲面闭合，且P、Q、R在闭曲面所围成的空间区域中有连续的一阶偏导数，则,（2）若曲面不闭合，且P、Q、R比较复杂，P、Q、R在+ *（ + *闭合）所构成的空间区域中有连续的一阶偏导数，则,例1 计算,其中 是圆柱面,在第一卦限中,解,的部分的前侧.,例1-1,例1-2,于是，,例1-3,例2 计算,其中 是平面,在第一卦限内的上侧 。,解,例2-1,方法一，化为投影域上的二重积分,因为取的上侧，所以,例2-2,从而,例2-3,方法二，利用两类面积分的联系,因为取的上侧，所以,例2-4,方法三，利用高斯公式,补充1：x=0 取后侧2:y=0 取左侧3:z=0 取下侧，使其与构成封闭外向曲面。,1,3,2,如图所示， 1：x=0 ,又 1和zOx面垂直 ,从而,例2-5,1,3,2,如图所示， 1：x=0 ,又 1和zOx面垂直 ,从而,同理可得,所以，,例3 计算曲面积分,其中 是由曲面,解,例3-1,所围立体的表面外侧。,z,x,y,1,解,(如图所示),例4-1,补充*：y=3 取右侧,则*与构成封闭外向闭曲面,例4-2,又 *：y=3和面yOz、xOy都垂直 ,三、巩固练习,测验题答案,谢谢使用，再见！,Thank you! Byebye!,
