椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题.DOC

1、 1 椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题 （ 1）过椭圆 221xyab的右焦点 ( ,0)Fc 作两条互相垂直的弦 AB ， CD 。若弦 AB ， CD的中点分别为 M ， N ，那么直线 MN 恒过定点 222( ,0)acab。 （ 2）过椭圆 221xyab的长轴上任意一点 ( , 0)( )S s a s a 作两条互相垂直的弦 AB ，CD 。若弦 AB ， CD 的中点分别为 M ， N ，那么直线 MN 恒过定点 222( ,0)asab 。 设 AB 的直线为 x my s，则 CD 的直线方程为 1x y sm ， 2 2 2 2 2 2 0x m y sb x a y a

2、 b ， 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0m b a y b m s y b s a ， 2 2 2 2 2 24 ( ) 0a b m b a s ， 211 2 2 22msbyy m b a ， 2 2 211 2 2 2()a s ayy m b a ， 由中点公式得 M 222 2 2 2 2 2( , )a s m sbm b a m b a， 将 m 用 1m 代换，得到 N 的坐标 2 2 22 2 2 2 2 2( , )a sm m sbm a b m a bMN 的直线方程为 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2() ()( 1 )b s m

3、a b m a syxb m a a m b m a ，令 0y ，得 222asx ab 所 以 直线 MN 恒过定点 222( ,0)asab。 （ 3） 过椭圆 221xyab的短轴上任意一点 (0, )( )T t t t t 作两条互相垂直的弦 AB ，CD 。若弦 AB ， CD 的中点分别为 M ， N ，那么直线 MN 恒过定点 222(0, )btab 。 2 （ 4）过椭圆 221xyab内的任意一 点 2222( , )( 1)stQ s t ab作两条互相垂直的弦 AB ， CD 。若弦 AB ， CD 的中点分别为 M ， N ，那么直线 MN 恒过定点 222 2

4、2 2( , )a s b ta b a b。 设 AB 的直线为 ()x s m y t ，则 CD 的直线方程为 1 ()x s y tm ， 2 2 2 2 2 2() 0x s m y tb x a y a b ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) 0m b a y b m s m t y b s m t a b ， 211 2 2 22 ( )m b s m tyy m b a ，由中点公式得 222 2 2 2 2 2( ) ( )( , )a s m t m b m t sM m b a m b a直线 MN 的方程为： 222 2 2 2 2 2

5、( ) ( )()MNb m m t s a s m ty k xb m a b m a ， 即 222 2 2 2()MNa s b ty k xa b a b ，所以直线 MN 恒过定点 222 2 2 2( , )a s b ta b a b。 3 重庆高 2018 级理科二诊 20（本题满分 12 分） 已知 1( 1,0)F ， 2(1,0)F 是椭圆 22143xy的左右焦点。（ 2）过 2F 作两条互相垂直的直线 1l 与 2l （均不与 x 轴重合）分别与椭圆交于 ABCD 四点。线段 AB ， CD 的中点分别是 M ，N ，求证：直线 MN 过定点，并求出该定点坐标。 设直

6、线 : ( 1)AB y k x，联立椭圆方程 223 4 12xy得： 2 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x k x k ， 221 8 42 4 3 4 3M kkx ，221 8 42 4 3 4 3M kky ， 222444 343N kx kk ,213( 1 ) 34NN kyxkk 由题意，若直线 BS 关于 x 轴对称后得到直线 BS，则得到的直 线 ST与 ST 关于 y 轴对称，所以若直线 ST 经过定点，则该定点一定是直线 ST与 ST 的交点，该点必在 x 轴上。 设该定点坐标 (,0)t ， N M M N M NMM N M N My y x y

7、 y xy tt x x x y y ，代入 ,MN坐标化简得 47t ，所以过定点 4( ,0)7 。 4 结论（一）以 00( , )xy 为直角定点的椭圆 221xyab内接直角三角形的斜边必过定点2 2 2 2002 2 2 2( , )a b b axya b b a。 推论 1： 以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的 斜边必过定点，且定点在 y 轴上 。 证明：设右顶点 (0, )Pb，设 y kx b， 1y x bk 2 2 2 2 2 2 0y kx bb x a y a b ， 2 2 2 2 2( ) 2 0a k b x a b kx ， 21 2 2 22 ,a

8、bkx a k b ，将 k 换成 1k 得： 22 2 2 22a bkx a b k 由题意，若直线 BS 关于 y 轴对称后得到直线 BS，则得到的直线 ST与 ST 关于 x 轴对称，所以若直线 ST 经过定点，则该定点一定是直线 ST与 ST 的交点，该点必在 y 轴上。 设该定点坐标 (0,)t ， 1 2 1 21 2 1 1 2 1 21 2 1 2 1 2 11( ) ( )k x b x x x bt y y y y x x yktx x x x x x x ， 2 2 22122211 ( )xxk b b atbk x x b a ，所以过定点 2222()(0, )b

9、 b aba。 推论 2： 以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 x 轴上 。 证明：设右顶点 ( ,0)Pa ，设 x my a， 1y x am 2 2 2 2 2 2 0x m y ab x a y a b ， 2 2 2 2 2( ) 2 0b m a y b a m y ， 21 2 2 22b amy b m a ，将 m 换成 1m 得： 22 2 2 22b amy b a m 由题意，若直线 BS 关于 x 轴对称后得到直线 BS，则得到的直线 ST与 ST 关于 y 轴对称，所以若直线 ST 经过定点，则该定点一定是直线 ST与 ST 的交点，该点

10、必在 x 轴上。 设该定点坐标 (,0)t ， 1 2 1 21 2 1 1 2 1 21 2 1 2 1 2 11( ) ( )m y a y y y ay y y x y y xmtt x x x y y y y ， 5 2 2 22122211 ( )yym a a btam y y a b ，所以过定点 2222()( ,0)a a bab。 下面探求 ABP 面积的最大值： 2222()a a bx my ab 代入椭圆得： 2 2 4 42 2 2 2 22 2 2 2 2( ) 4( ) 2 0()a a b a bb m a y b m ya b a b 2 4 2 2 2 4

11、2 2 24 ( ) 4 ()a b a b m aab ，2 2 2 42 2 2 2 4212 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 41 ( ) 2( 2 ( )ABP a b m aa a b ab a bS a y ya b a b a b m a b a b m 242 2 24()abab ，当且仅当 0m 时等号成立取最大值。面积在 2m 0, ) 单调递减。 结论 2： 以 00( , )xy 为直角定点的抛物线 2 2y px 内接直角三角形的斜边必过定点0(2xp ， 0)y 结论 3： 以 00( , )xy 为直角定点的双曲线 221xyab内接直角三

12、角形的斜边必过定点2 2 2 2002 2 2 2( , )a b a bxya b b a重庆高 2018 级文科二诊 20（本题满分 12 分） 已知 1( 1,0)F ， 2(1,0)F 是椭圆 22143xy的左右焦点， B 为椭圆的上顶点。 （ 2）过点 B 作两条互相垂直的直线与椭圆交于 S ， T 两点（异于点 B ），证明：直线 ST过定点，并求该定点的坐标。 （ 2 ） 解 ： 设 1 1 2 2( , ), ( , )S x y T x y，直线 :3BS y kx， 联 立 椭 圆 方 程 得 ：22( 4 3 ) 8 3 0k x kx ， 1 28343kx k ，

13、2 2283834 343kkxkk ， 由题意，若直线 BS 关于 y 轴对称后得到直线 BS，则得到的直线 ST与 ST 关于 x 轴对称，所以若直线 ST 经过定点，则该定点一定是直线 ST与 ST 的交点，该点必在 y 轴上。 6 设该定点坐标 (0,)t ， 1 2 1 21 2 1 1 2 1 21 2 1 2 1 2 11( 3 ) ( 3 )k x x x xt y y y y x x yktx x x x x x x ， 代入 1x ， 2x 化简得 37t ，所以过定点 3(0, )7 。 重庆巴蜀中学高 2018 级届月考卷九理科 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆

14、22:1xyCab的左右焦点分别是 1F ， 2F ，上顶点 M ，右顶点为 (2,0)N ， 12MFF的外接圆半径为 2 。 （ 1） 求椭圆 C 的标准方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，若以 AB 为直径的圆经过点 N ，求 ABN 面积的最大值。 解：（） 右顶点为 (20)， ， 2a ， 122MF MF， 12 1s in 2M O b bM F F M F a ，21224 24sin2MF RbM F F b ， 1b， 椭圆的标准方程为 2 2 14x y （ 4 分） （ ） 设直线 l 的方程为 my x b ， 1 1 2 2( ) ( )

15、A x y B x y， ， ， ， 与椭圆联立得 2 2 2( 4 ) 2 4 0m y m by b ， 21 2 1 2222444m b by y y ymm ， （ 6 分） 以 AB 为直径的圆经过 点 N ， 0NA NB ， 1 1 2 2( 2 ) ( 2 )N A x y N B x y ， ， ， ， 1 2 1 2 1 22 ( ) 4 0x x x x y y ， （ 7 分） 1 2 1 2 2 8( ) 2 4bx x m y y b m ， 22221 2 1 2 1 2 244() 4bmx x m y y m b y y b m ，代入 式得 25 16 1

16、2 0bb ， 65b或 2b （舍 去 ） ， 故直线 l 过定点 6 05， （ 9 分） 2 2122 2 2 21024161 6 2 8 2 5 6 4252 | |2 5 5 ( 4 ) 2 5 ( 4 )ABN m mS y y mm ， （ 10 分） 7 令 222 5 6 4( ) 0 )( 4 )th t t mt ， ， 则 2 28( ) 0 2 5 1 2 8 1 1 2 0 425h t t t t ， ， ()ht 在 0 )t ， 上 单调递减， max( ) (0) 4h t h， 0m 时，max 1625ABNS （ 12 分） (一般化结论 )： 直线

17、 AB 与椭圆 22:1xyCab交于 ,AB两点， P 为上顶点。 (1) 若 PA PBk k t，则直线 AB 过定点；（ 2）若 PA PBk k t，则直线 AB 过定点； 证明：设直线 AB 方程为 y kx m， 2 2 2 2 2 2 0y kx mb x a y a b ， 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0b k a x k m a x a m b ，2 2 2 2 2 24 ( ) 0a b k a b m ， 211 2 2 22kmaxx k a b ， 2 2 211 2 2 2()a m bxx k a b ， （ 1） 1 2 1 21 2 1

18、 2P A P Ay b y b k x m b k x m bk k t t tx x x x 2 2 2 22 2 2 21 2 1 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0a m b a k mk t x x k m b x x m b k t k m b m ba k b a k b 等式两边同时除以 ()mb ，化简得： 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0k t a m b a k m m b a k b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 320a k m a k b a m t

19、 a b t a k m a k m b m a k b b 2222b a tmbb a t ，所以直线 AB 过定点 2222(0, )b a tbb a t。 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2( ) ( )( 2 ) 2P A P A y b y b k x m b k x m b m b x xk k t t t k tx x x x x x 2( ) ( )2 ( 2 )22bxt m b t m bk y x m by tbx tx b m tbbyb 所以直线 AB 过定点2( , )b bt。 8 （ 2017 年全国卷 1 理科 12 分 ） 已知椭圆 221xy

20、ab，四点 1(1,1)P ， 2(0,1)P ，3 3( 1, )2P ，4 3(1, )2P中恰有三点在椭圆上。（ 1）求椭圆方程； 2 2 14x y（ 2）设直线 l 不经过点 2P 且与椭圆相交于 ,AB两点，若直线 2PA与直 线 2PB的斜率之和为 1 ，证明： l 过定点。 解析： （ 1）略；（ 2）（一）当直线 l 斜率不存在时，设 :l x m ， ( , )AAmy ， ( , )ABm y ， 2211 2 1AAP A P A yykk m m m ，得 2m ，此时直线 l 过椭圆右顶点，无两个交点，故不满足。 （二）当直线 l 斜率存在时，设 : ( 1)l y

21、 kx m m ， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，联立 2 2 222 ( 1 4 ) 8 4( 1 ) 014y k x mk x k m x mx y ，12 2814kmxx k， 212 24( 1)14mxx k ， 22 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 21 2 1 1 1 11 1 ( ) ( ) 2 ( 1 ) ( ) 8 ( 1 )2 4 ( 1 )P A P A y y x k x m x x k x m x k x x m x x k m mk k kx x x x x x m 2211kmk m ，又 1 2 1m m k ，此时

22、 221 6 ( 4 1 ) 1 6k m k ，存在 k使得 0 ，所以直线 l 的方程为： 2 1 1 ( 2 )y k x k y k x ， l 过定点 (2, 1) 。 （一般化直角弦过定点） 过 221xyab上一点 00( , )Px y 作两条互相垂直的弦 PA 、 PB ，试研究弦 AB 是否过定点？ 解 ： 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，由 PA PB 得到 0 1 0 2 0 1 0 2( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y 设直线 :AB 的方程为 y kx m（斜率不存在时容易证明） 2 2 2 222 2

23、 2 2 2 222( ) 1 21 ( ) 1 01y k x m x k x m k k x mxxy a b a a bab 2200220 1 0 2 222() 1( ) ( ) 1x k x mabx x x xkab 9 又 P 在椭圆上 2200220 1 0 2 222()( ) ( ) 1k x m ybbx x x xkab 同理可得：2 2 2 2 20 0 0 02 2 2 2 20 1 0 2 22 2 2 22( ) ( )( ) ( ) 11 1y m x y m k xk a a a ay y y ykk a b ab 将两式代入到得 0 0 0 0 0 0

24、0 022( ) ( ) ( ) ( ) 0k x y m k x y m y m k x y m k xba 点 P 不在直线 :AB y kx m上， 000y m kx 0 0 0 022kx y m y m kxba 整理得： 2 2 2 2002 2 2 2()a b a by k x ma b a b 直线 AB 过定点 2 2 2 2002 2 2 2( , )a b a bxya b a b注：引理：若 1x 、 2x 是方程 2( ) 0 ( 0 )f x a x b x c a 的两个实数根， 则 00 1 0 2 ()( )( ) fxx x x x a 。 证 法 思

25、路 二 ： 设 00( , )Px y 在椭圆上，即 22001xyab，设 00()y y k x x ，001 ()y y x xk 002 2 2 2 2 2() 0y y k x xb x a y a b ， 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0( ) 2 ( ) ( ) 0b k a x a k y k x x a y k x b ，2 2 20 0 0 0 00 1 12 2 2 2 2 22 ( ) ( 2 )a k y k x a x k y b xx x xk a b k a b ， 2 2 20 0 02 2 2( 2 )a x ky b k xx k b a 21

26、 2 0212 1 2 111ABkk x x xyykkk x x x x 211121yyy y x xxx 2 2 2 2002 2 2 2()ABb a a by x k x xa b a b ， 所以过定点 2 2 2 2002 2 2 2( , )a b b axya b b a。 10 已知椭圆 221xyab过点 (0,1)P ，离心率为 63， A 、 B 是椭圆上两个动点，且直线 PA 、PB 的斜率之积为 23 。（ 1）求椭圆标准方程； 2 2 13x y（ 2）求 PAB 面积的最大值。 （一般结论） 设 0 0 0( , )P x y 为椭圆 C: 221xyab

27、上一点，12PP为曲线 C的动弦 ,且弦 01PP , 02PP斜率存在，记为 1k , 2k ,则直线 12PP 通过定点 00( , )M mx my ( 1)m 的充要条件是212 211 mbkk ma 。 （一般结论） 过椭圆 221xyab (a 0, b 0)上任一点 00( , )Ax y 任意作 两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B ， C 两点，则直线 BC BC 有定向且 2 02 0BC bxk ay（常数） . 证明： 设 AB： 0 0ky xy x 即 00y kx y kx 00 22 2 2 2 2 2 222 0 0 0 022201y k x y k xa k

28、 b x a k y k x x a y k x bxyab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 200 0 0 0 0 0 0 0 0 00 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2,BBa k k x y a k x a k y b x a k x a k y b x b y a k y b k xx x x Ba k b a k b a k b a k b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 02 2 2 2 2 2 2 2002 2 4, 4BCa k x a k y b x b y a k y b k x b k x b xCka k b a k b a k y a y 同 理（一般结论） 设 0 0 0( , )P x y 为椭圆 221xyab 上一点，12PP为 椭圆 的动弦 ,且弦 01PP , 02PP斜率存在，记为 1k , 2k ,若 12k k m， 则直线 12PP 通过定点 20000222( , )y b xM x ym a m 。 另一类型定点问题 （衡 水 2018 级全国卷模拟 20）