1、第二节 偏导数与全微分,多元函数微分学,第二节 偏导数与全微分,一.偏导数,1.偏导数的定义,定义,设z=f(x,y) 在点 的某邻域内有定义,当y固定在 时,得一元函数 ,z=f(x,y)在点 处对x的偏导数,类似的, z=f(x,y)在点 处对y的偏导数,注:,(1).若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数,则此偏 导数也是 x,y 的函数-偏导函数.,(2).二元函数偏导数定义可以推广到更多元.,例如: u=f(x,y,z),(3).由偏导数定义,一元函数的求导法则可用于求偏导数.,例如:求 时,只要将y视为常数,求 f(x,y)关于 x 的导数.,例1.,求,例2.,求偏导数
2、,例3.,求,分段点处偏导数要用定义求,例4.,在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?,故在(0,0)点连续.,由定义易知在(0,0)点偏导数不存在.,注意:,对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系.,2. 偏导数的几何意义,表示曲面z=f(x,y)与平面 的交线L在点 处的切线 对x 轴的斜率,表示曲面z=f(x,y)与平面 的交线L在点 处的切线 对y 轴的斜率,二.高阶偏导数,二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 仍为 x, y 的函数.,它们的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数.,混合偏导数,类似的定义三阶以上偏导数,定理,
3、若 z=f(x,y)的二阶混合偏导数 在(x,y)连续,则,(适用于三阶以上),例5.,求,例6.,求,三. 全微分的概念,1.全增量:,设 z=f(x,y) 在点P(x,y) 的某邻域内有定义,全增量,2.定义:,仅与x,y有关,则称 z=f(x,y) 在点 (x,y) 可微分,称为 z=f(x,y) 在点(x,y) 的全微分,注:,(1).若函数在区域D内处处可微分,则称它在D内可微分.,(2).可微分一定连续.,(3).全微分特征:,全微分是自变量增量的线性函数;,全微分与全增量之差是比 高阶的无穷小,注:,(1).与一元函数类似:,(2).此定理反之不然,这是与一元函数的区别.,例如:,但是函数在(0,0)不可微.,四. 全微分与偏导数的关系,定理1(可微的必要条件),若函数 z=f(x,y) 在点(x,y)可微分,则称它在该点的偏导数必存在,且,以上所有的全微分定义及定理都可以推广到二元以上,定理2(可微的充分条件),若函数 z=f(x,y) 的偏导数在点 (x,y) 连续,则函数在该点可微.,注意:反之不然.,例如:,在点(0,0)处可微,但偏导数不连续.,(证明略),例6.求 在(2,1)点的全微分,例7.求 的全微分,注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别,一元函数:,多元函数:,练习,
